人教A版 (2019)必修 第一册函数y=Asin(ωx＋φ)课时作业

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新课标要求
结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
知识梳理
A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
名师导学
知识点1 平移变换
【例1-1】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】先将两函数转化为的形式，计算两者的差值，利用口诀“左加右减”可知如何平移.
【详解】因为，，且，
所以由的图像转化为需要向右平移个单位.故选：D.
【变式训练1-1】函数的图像如何由函数的图像平移得到（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】运用诱导公式将函数 转换成，根据三角函数的平移变换规律可得结论.
【详解】由题意可得：函数函数
向左平移个单位可得.故选：A.
【变式训练1-2】为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】根据平移变换的定义判断．
【详解】，因此将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：C.
知识点2 伸缩变换
【例2-1】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到.故选：C
【变式训练2-1】将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的一个解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先对函数的图像进行伸缩变换，进一步对函数图像进行平移变换，最后求出结果.
【详解】函数的图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为，再向平左移个单位，得到函数，故选：B
知识点3 图象的综合变换
【例3-1】已知函数．
(1)求函数的单调递减区间及其图象的对称中心；
(2)已知函数的图象经过先平移后伸缩得到的图象，试写出其变换过程．
【解】（1）令，，得，，
因此函数的单调递减区间是，．
令，，得，，因此函数图象的对称中心是，．
（2），先将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，接着把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，
最后把图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象．
【变式训练3-1】把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，将向右平移个单位长度得到；
故选：B
知识点4 由图象求三角函数的解析式
【例4-1】已知函数（其中，，）的部分图象如图所示；将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由图象求三角形的解析式，再由图象平移过程求的解析式.
【详解】由图知：且，则，所以，故，则，
由，则，，所以，，又，故，
综上，，所以.故选：A
【例4-2】已知函数的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像，则在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图像可知，，，求出周期，从而可求出，再由图像过点，可求出的值，则可得的解析式，再由三角函数图像变换规律可求得的解析式，由，得，然后利用正弦函数的性质可求出其值域
【详解】解：由图可得，，，则因为，所以．
由，可得，，即，
因为，所以，故，所以将的图像向右平移个单位长度后，得所以．因为，
所以，所以，所以故．故选：A
【变式训练4-1】已知函数的部分图象如下图所示，先将的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两角和的正弦公式可得，再根据周期求解得，结合图形可得，代入最低点可得可得，进而根据三角函数图象平移的方法求得即可
【详解】，由图知周期，
解得，又最小值为，所以，故.
又，结合，可得，所以.将的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到，再将横坐标缩小为原来的，得到故选：D.
【变式训练4-2】函数，的部分图象如图所示，则函数的解析式为_____________．
【答案】
【分析】由图可得，，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析式；
【详解】解：由图可知，，所以，又，所以，
所以，又函数过点，所以，
所以，解得，因为，
所以，所以；故答案为：
知识点5 三角函数性质的综合问题
【例5-1】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若是函数的一个零点，则的最小值是______.
【答案】
【分析】直接利用函数的关系式变换和函数的图象的平移变换的应用求出函数，再利用函数的零点是方程的根和三角函数的性质求出的最小值.
【详解】由题意，可知函数的图象向左平移个单位长度，
可得函数的图象，所以.
因为是函数的一个零点，所以，
即，所以，因此有或，
解得或.因为，所以当时，的最小值是；
当时，的最小值是.综上，的最小值是.故答案为：.
【例5-2】已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称；
(1)求出的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围.
【解】（1）解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，
所以，即周期，所以，所以，
又因为函数的图象关于直线轴对称，
所以，，即，，
因为，所以，所以函数的解析式为；
（2）解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以，
当时，，,
当时，有最小值且关于对称，因为方程在上有两根，，
所以，，即的取值范围.
【变式训练5-1】设函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．当时，的最小值为
D．将的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象
【答案】ACD
【详解】对于A，，，为奇函数，A正确；
对于B，当时，，不是的对称轴，的图象不关于直线对称，B错误；
对于C，，当时，分别取得的最大值和最小值，
，C正确；
对于D，的图象向右平移个单位可得：，即得到的图象，D正确.
故选：ACD.
【变式训练5-2】已知函数.
(1)求的周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.
【解】（1）解：
，
所以的周期；
（2）解：将函数的图象向右平移个单位，可得，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，
所以，因为，所以，所以，
所以，所以，所以在上的值域为.
名师导练
A组-[应知应会]
1．将的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数平移变换结论求解.
【详解】将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故选：D．
2．已知函数（）的图像的相邻的两个对称中心之间的距离为，则的值是（ ）
A．B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由题意求出，再由，即可求出.
【详解】因为函数（）的图像的相邻的两个对称中心之间的距离为，所以，所以，所以.故选：C.
3．把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用平移求得，再由三角函数对称性即可求解
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，
∵所得函数图象关于轴对称，即=，∴，∵，
∴当时，的最小值为故选：C
4．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的部分图象以及五点法作图，求出的解析式，再计算的值．
【详解】解：由函数，，的部分图象知，，，解得，再由五点法作图可得，解得；，
．故选：A．
5．函数的最小正周期为，点是图象上一个最高点，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在区间上的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最小正周期求出，点是图象上一个最高点求得 A、，利用平移规律得到，
根据的范围得到的单调性，利用单调性可得答案.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，，因为点是图象上一个最高点，所以A＝2，，又，所以，
所以，，当时，，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，，所以在区间上的值域为．故选：A．
6．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据三角函数图象的变换得到的解析式，然后由为偶函数可得答案.
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，因为，所以为偶函数，所以，解得，又，所以的最小值为．故选：D．
7．函数的部分图像如图所示，若，，且，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图象求出，由得到，代入即可求解.
【详解】解：根据函数的部分图象，可得A=1;因为，，结合五点法作图可得，，．因为，，且，所以，由函数对称性可知，，所以.
故选：D．
8．关于函数有如下四个命题：
甲：该函数在上单调递减；
乙：该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为
丁：该函数图象的一个对称中心为．
如果只有一个假命题．则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【分析】先判断丙丁不能同时正确，再根据甲乙同时正确得到，为偶数，故可判断丙、丁错误与否.
【详解】设， 若丙丁都正确，则且，
但，故矛盾，所以丙丁中有一个是错误的，故甲乙都正确，
函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为：，
因为平移后的图象对应的函数为偶函数，故，故，
若为偶数，则，当，，
因为在为减函数，故在为减函数，符合，
若为奇数，则，当，，
因为在为减函数，故在为增函数，舍，故.
而，故该函数图象的对称中心为，丙错误，
，故该函数图象的对称中心为，丁正确.故选：C
9．（多选）下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）
A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
【答案】AC
【分析】根据三角函数图象平移规律和周期变换逐项判断可得答案.
【详解】，
对于A，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，故A正确；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，故B错误；
对于C，将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，再向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故D错误．故选：AC．
10．（多选）设，则（ ）
A．的最小正周期为B．是的一条对称轴
C．在上单调递增D．向左平移个单位后为偶函数
【答案】ACD
【分析】利用三角函数的性质和三角函数的图象变换求解判断.
【详解】解：因为，所以的最小正周期为，故A正确；
，所以不是的一条对称轴，故B错误；
若，则，又在上单调递增，所以在上单调递增，故正确；当向左平移个单位后得到为偶函数，故正确；
故选：ACD
11．（多选）定义函数，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称
D．在上单调递减
【答案】AC
【分析】先求出，再根据的周期性、对称性与单调性等性质逐项分析即可得到答案.
【详解】因为,所以对于选项A，,故A正确；对于选项B，， 因此，故B错误；
对于选项C，，因此的图像关于直线对称，故C正确；
对于选项D，，由，
得的单调递减区间为：，因为，所以不在上单调递减，故D错误.故选:AC.
12．函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为______．
【答案】2
【分析】观察图像，利用正弦函数图像的性质求解即可.
【详解】设函数的最小正周期为，由图像可知，，所以.
故答案为：2.
13．已知曲线，，为了得到，首先将上各点横坐标变为原来的________倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位，则________．
【答案】 3
【分析】根据三角函数的诱导公式以及三角函数的平移变换关系进行转化求解即可．
【详解】由于，把上各点的横坐标变为到原来的倍得到，因为，所以此时再把得到的曲线向右平移个单位即可，所以.
故答案为：，．
14．函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．
【答案】
【分析】根据最高点求出A,周期求出，代入求出，得到，利用相位变换求出.
【详解】由题图可知：，，又，所以．
又，，又，所以令，得.所以，所以．故答案为：.
15．已知函数（），将图象上所有点向右平移个单位，得到奇函数的图象，则常数的一个取值为____.
【答案】（满足都正确）
【分析】利用函数图象平移规则，得出的解析式，再根据奇函数的定义求出的可能取值即可.
【详解】将图象上所有点向右平移个单位，得：，
又为奇函数，，即，
，解得：，常数的一个取值为.
故答案为：（满足都正确）.
16．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为_______．
【答案】
【分析】先根据图象的变换原则得到的解析式为，再由在区间上有且仅有一个零点，根据可判断，即可求解.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
若函数在区间上有且仅有一个零点，因为，所以，即，故答案为：
17．下图是函数（，，）的一个周期的图像，
(1)写出的函数解析式.
(2)写出的函数解析式，使与的图像关于直线对称.
(3)指出的图像可由的图像怎样平移变换得到.
【解】（1）由函数图象可知，周期，所以，所以，
又函数的图象经过点，代入得，解得，，
又，所以，所以；
（2）由于与的图像关于直线对称，在的图象上任取一点，则其对称点在函数的图象上，即，
所以的解析式为；
（3）由（2）得，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位得到.
18.已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求的单调递增区间及在上的值域．
【解】（1）由图可知．的最小正周期记为，则于，得．
因为，所以．由，得．
即．因为，所以，所以．
（2）由（1）可知，
由，得，
则的单调递增区间为．
由，得，则，
故在上的值域为．
19．如图为函数的部分图像.
(1)求函数解析式；
(2)函数在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围及的值.
【解】（1）解：由题中的图像知:，，所以，，
因为图像过点，所以，，解得，
，函数解析式为；
（2）列表得：
作出函数在上图像:
函数零点即函数与图像交点横坐标，如图可得：，
当时，，则=
当时，，则=
B组-[素养提升]
1．如图，A，B是函数图像上的两个最高点，点是图像上的一个对称中心，若为直角三角形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得，，设的最小正周期为，分别用表示出，，，由勾股定理解出，进一步求出，又因为点在图像上，代入即可求出.
【详解】由题意得，.设的最小正周期为，所以，，，所以，即，所以.
因为，所以，即，又，所以.故选：B.
2．己知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为______．
【答案】##
【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，从而得到，，，即可得到答案.
【详解】，因为实数，满足，
所以.所以，，解得，，
，，解得，，所以，，.
所以.综上：.故答案为：
3．已知函数的图象如图所示，将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则关于x的方程在区间[－2022，2022]上有________个实数解．
【答案】8088
【分析】由题意可求出，再由三角函数的平移和伸缩变化求出，因为的最小正周期为1，所以求出在区间[0，1）上有2个实数解，即可求出在区间[－2022，2022]上解的个数.
【详解】由图可知，由，得，因为，所以．
由，得，所以，
又因为所以，所以，所以．将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，所以，最小正周期为1，因为关于x的方程在区间[0，1）上有2个实数解，所以关于x的方程在区间[－2022，2022]上有8088个实数解．
故答案为：8088.
4.已知函数，且的最小正周期为，将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴．
(1)求函数与的解析式；
(2)若方程在区间有解，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先化简得到，根据性质求出和得到和．
（2）记，即，.利用换元法，则的值域求解问题等价于，的值域，把原命题“若方程在区间有解”转化为在内有解，即可求得.
(1)由条件则，且的最小正周期为，则
即，将的图像沿轴方向向左平移个单位，得到函数
且为的一条对称轴，即由可得
从而可得．
(2)由（1）可知
记
即，
再记，，
代入中，则的值域求解问题等价于
，的值域，
当时，；当时，
因此的值域为，也即为
原命题“若方程在区间有解”
即等价于在内有解
只需即可，解得即为所求．
5．设函数
(1)若，，求角；
(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件：
(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)当时，（且）；当时，，
【分析】（1）先化简，由可得或，，再结合的范围即可求解；
（2）由余弦函数的单调性和参数分离、对勾函数的单调性, 可得所求范围;
（3）由三角函数的图象变换可得 , 再由两角和的正弦公式和恒等式的性质, 解方程可得所求范围.
(1)由题意可知
∵，
，或，
∵∴或
(2)
令，
∴，，，，
令，∴，解得：；
(3)∵，∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，
可得
∵，存在非零常数，对任意的，
成立，在上的值域为，在上的值域为
∴
当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．所以，即（且）当时，
由诱导公式可得，即，所以当时，（且）；
当时，，
6．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象.
（i）若，当时，的值域为，求实数m的取值范围；
（ii）若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)(2);
【分析】(1)由图象的最小值求得，函数的最小正周期求得，再求得，即可求出函数的解析式；
(2) （i）利用三角函数的平移和伸缩变换，先求出，再由，求出的范围，即可得出的值域为， m的取值范围；
（ii）利用恒成立将不等式转化为对任意的恒成立，设，对其对称轴进行讨论即可得出答案.
（1）根据函数的部分图象可得：，
，又因为，所以，所以.
（2）由（1）知，，先将函数的图象向右平移个单位长度，可得：，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到 .
（i），，，所以 ，所以.
（ii）不等式对任意的恒成立，令，所以，所以上式：不等式对任意的恒成立，令
，对称轴为，
①， ，则，所以.
②，，则，所以.
故实数t的取值范围为：.x
0
2
0
﹣2
﹣1