初中沪科版（2024）有理数的乘除导学案及答案

这是一份初中沪科版（2024）有理数的乘除导学案及答案，文件包含专题13有理数的乘除高效培优讲义数学沪科版2024七年级上册原卷版docx、专题13有理数的乘除高效培优讲义数学沪科版2024七年级上册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共53页， 欢迎下载使用。

知识点01 有理数的乘法法则
1.两数相乘的法则
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
2.多个有理数相乘的法则
①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
【即学即练】1．计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：
．
2．计算．
(1)； (2)； (3)；
【答案】(1)0 (2) (3)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
知识点02 倒数
如果两个有理数的乘积为1，称这两个有理数互为倒数．
注意：0没有倒数．
【即学即练】求下列各数的倒数：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）解：的倒数为；
（2），
的倒数为；
（3），
的倒数为；
（4），
的倒数为．
知识点03 有理数乘法运算律
1.乘法交换律：a×b=b×a
2.乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；
3.乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.
【即学即练】1．计算下列各式：；
【答案】6
【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号．先确定符号，再用约分即可得答案．
【详解】解：，
，
，
．
2．简便计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，正确计算是解题的关键：
（1）根据乘法的分配律计算即可；
（2）根据乘法的分配律计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
知识点04 有理数的除法法则
1.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作除数。
2.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：（b≠0）
【即学即练】（1）； （2）；
（3）； （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；
（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：除以一个数等于乘以这个数的倒数．
知识点05 有理数的乘、除混合运算
1.有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法,再按照乘法法则进行计算
2.有理数的乘除混合运算是同级运算,应按照从左到右的顺序进行.
【即学即练】1．计算：．
【答案】
【分析】根据有理数的乘除运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的乘除运算，倒数的应用，乘积为的两个数互为倒数，进行计算，即可．
【详解】解：原式的倒数是
，
∴原式．
题型01 运用运算律简化运算
【例1-1】（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算：．
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．
利用乘法分配律进行简便计算．
【详解】解：
．
【例1-2】（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示：．请运用乘法分配律简便计算：
．
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
【例1-3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题．
计算：，看谁算得又快又对．
请你利用简便方法计算．
【答案】见解析
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用．把转化为，再利用乘法分配律简便计算即可求解．
【详解】解：
．
【变式1-1】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）计算：
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，利用乘法分配律进行计算，计算时要与括号内的每个数都相乘，不要漏乘，即根据计算．
根据乘法分配律计算即可．
【详解】解：
．
【变式1-2】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）用简便方法计算：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
（1）除法转化成乘法，再根据乘法分配律计算；
（2）逆用乘法分配律计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1-3】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)2
(2)
【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律
【分析】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握乘法分配律计算法则是解题的关键，
（1）根据乘法分配律计算；
（2）先运用乘法分配律计算后边括号，再应用乘法分配律计算
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
【变式1-4】用简便方法计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键．
（1）根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案；
（2）现将化为，再根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型02 有理数四则混合运算
【例2-1】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
（1）先确定符号，再从左向右依次计算即可求解；
（2）先算乘除，后算加减即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【例2-2】（1）； （2）．
【答案】（1）6；（2）
【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算
【分析】（1）先确定积的符号，带分数化成假分数，除法转化为乘法，按顺序计算即可；
（2）先算乘除，再算加减即可求解.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
【点睛】本题考查的是有理数的加减、乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
【变式2-1】计算：．
【答案】
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除法“先将除法运算转化成乘法运算并确定符号，再按顺序计算”可以解答本题．
【详解】解：
．
【变式2-2】计算：
【答案】－30
【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算
【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，注意计算顺序是解答本题的关键．
【变式2-3】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）先分别计算除法，然后再进行减法运算即可得；
（2）先判断结果的符号，然后将除法转化为乘法进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
题型03 利用有理数的乘法解决实际问题
【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）随着天气不断降温，某服装店购进了50套保暖内衣，销售时，针对不同的顾客，这50套保暖内衣的售价不完全相同，若以100元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示：
(1)与标准总价格相比，50套保暖内衣总售价超过或不足多少元？
(2)若该服装店每套进价为80元，则盈利多少元？
【答案】(1)总售价超过11元
(2)盈利1011元
【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题主要考查正负数的知识，有理数混合运算的应用，熟练掌握正负数的概念及正确计算是解题的关键．
（1）根据“超过的钱数记为正，不足的钱数记为负”，将表中数据进行有理数的混合计算即可；
（2）根据表中数据进行有理数的混合计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得：
（元）．
答：与标准总价格相比，50套保暖内衣总售价超过11元．
（2）解：根据题意，得：
（元）．
答：盈利1011元
【变式3-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某原料仓库某一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）
(1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由．
(2)根据实际情况，现有两种方案：方案1：运进每吨原料费用26元，运出每吨原料费用29元；方案2：运进和运出费用相同，都是每吨27元．从节约运费的角度考虑，请通过计算说明选择哪种方案比较合适．
【答案】(1)减少了．理由见解析
(2)选择方案二比较合适，见解析
【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查正数和负数及有理数四则运算的应用，理解正数和负数的意义是解题的关键．
（1）求出这几次进出数量的和，根据“和”的符号得出答案；
（2）求出两种方案的费用即可．
【详解】（1）解：减少了．
理由：（吨）；
（2）解：运进数量：（吨），
运出数量：（吨），
方案一：（元），
方案二：（元），
∵，
∴选择方案二比较合适．
【变式3-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）怀远石榴是安徽省蚌埠市怀远县的特色农产品，以其色泽艳丽、汁多味甜而著名，现有筐怀远石榴，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表：
(1)这筐怀远石榴中，与标准质量差值为千克的有 筐，最重的一筐重 千克；
(2)若怀远石榴每千克售价元，则出售这筐怀远石榴总收入为多少元？
【答案】(1)，；
(2)
【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，正负数的实际应用；
（1）根据表格及题意可直接进行解答；
（2）先求出这10筐怀远石榴的总质量，然后再进行求解即可．
【详解】（1）解：这10筐怀远石榴中，与标准质量差值为千克的有筐，最重的一筐重（千克），
故答案为：，；
（2）解：
（元）；
答：共收入元．
【变式3-3】现有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表，请解答下列问题：
(1)15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
(2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？
(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出营业额为多少元？
【答案】(1)5千克
(2)超过8.5千克
(3)3068元
【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．
（1）最重的一箱苹果比标准质量重3千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻2千克，则两箱相差5千克；
（2）将这15个数据相加，如果和为正，表示总计超过标准质量；如果和为负表示总计不足标准质量，再求绝对值即可；
（3）先求得15箱苹果的总质量，再乘8元即可．
【详解】（1）解：（千克）．
答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克；
（2）解：（千克）．
答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克；
（3）解：（千克），
（元．
答：这15箱苹果全部售出营业额为3068元．
题型04 有理数的除法与绝对值的综合应用
【例4-1】三个有理数a、b、c满足abc>0，则的值为 ．
【答案】3或－1
【分析】a、b、c为三个非零有理数，若，则a、b、c中有两个为负数或者三个都是正数，分两种情况进行讨论即可．
【详解】a、b、c为三个非零有理数，若，则a、b、c中有一个为负数或者三个都是负数，
若a、b、c中有两个为负数，则原式
a、b、c三个都是正数，则原式
故答案为3或－1．
【点睛】考查有理数的乘法以及绝对值的化简，注意分类讨论，不要漏解．
【例4-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题：
（1）当时， ；
（2）若，则的值为 ．
【答案】 1 0或/或0
【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键．
（1）由给出条件和绝对值的性质即可解答；
（2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可．
【详解】解：（1）当时，．
故答案为：1．
（2）∵，
∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负，
①当a、b、c为两正一负时，不防设，
∴；
①当a、b、c都为负时，即，
∴；
综上，该代数式的值为0或．
故答案为：0或．
【例4-3】阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题：
(1)已知m，n是有理数，当时，则______；
(2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值；
(3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值．
【答案】(1)0；
(2)1或；
(3)或3．
【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键；
（1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可；
（2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可；
（3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案．
【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时，
∴同号，
当，时，
，
当，时，
；
（2）∵
∴m，n，t全负或m，n，t两正一负
①当m，n，t全负时，
②当m，n，t两正一负时
Ⅰ）当，，时，
Ⅱ）当，，时，
Ⅲ）当，，时，
综上所述，的值为1或；
（3）∵
∴，，．
∴
又∵，
∴m，n，t两正一负
由（2）可知的值为或3．
【变式4-1】若a，b，c为有理数，且，求的值为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义得到，，，由于，则、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数，即a、b、c中只有一个负数，则，然后根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵，，，
又∵，
∴、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数，
∴
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，若，则；若，则；若，则．
【变式4-2】如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据图示，可得，，据此逐项判定即可．
【详解】解：由题意可知：，
∵，
∴，
∵，
，故①正确；
∵，，
∴，
，故②正确；
∵，，
∴，
，故③正确；
∵
，故④错误；
综上分析可知：正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【变式4-3】（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或．
其中，正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①⑤/⑤①
【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．
【详解】解：①若，则，正确，符合题意；
②若，则，原结论不正确，不符合题意；
③若，则，原结论不正确，不符合题意；
④若，当时，则，原结论不正确，不符合题意；
⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，，
∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，，
当，，时，原式；
当，，时，原式，
当，，时，原式，
当，，时，原式．
综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，符合题意；
故答案为：①⑤．
题型05 有理数四则混合运算阅读题
【例5-1】阅读下列解题过程： 计算
解：原式 第①步
第②步
第③步
(1)上面的解题过程在第___________步出现错误；错误原因是___________．
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②，运算顺序错误
(2)见解析
【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算
【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以发现哪几步出错了；
（2）先算括号内的式子，然后计算除法和乘法即可．
【详解】（1）解：解题过程在第②步出现错误；错误原因是运算顺序错误．
故答案为：②，运算顺序错误；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【例5-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题．
(1)根据倒数的定义我们知道，若，则______；
(2)计算：；
(3)根据以上信息可知：______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】倒数、有理数四则混合运算、有理数的除法运算
【分析】本题主要考查了有理数混合运算、倒数等知识，理解倒数的意义、熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
（1）根据倒数的定义即可求解；
（2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解；
（3）根据倒数的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
故答案为：；
（2）解：
；
（3）由（2）可知，，
∴．
故答案为：．
【例5-3】阅读材料，回答问题．
计算：．
方法一：原式．
方法二：原式的倒数为：，故原式．
用适当的方法计算：．
【答案】
【知识点】倒数、有理数四则混合运算、有理数乘法运算律
【分析】本题考查有理数的四则混合运算，先求出原式的倒数，即可确定出原式的值．熟练掌握运算法则及运算律是解题的关键．也考查了倒数的意义．
【详解】解：∵
，
∴．
【例5-4】（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式：
，，，，
【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算：
【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算；
【问题拓展】（3）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键．
（1）利用规律，将转化为进行计算即可；
（2）利用规律，将转化为进行计算即可；
（3）将转化为，再利用规律解题即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【例5-5】【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．
游戏规则：
①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．
②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；
③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜．
（相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为）
【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：

(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续；
(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果；
(3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由．
【答案】(1)，否
(2)72
(3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析
【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数乘除混合运算
【分析】本题考查有理数四则运算，绝对值定义．
（1）根据题意列式，再利用绝对值定义即可；
（2）根据题意列式即可；
（3）根据题意考虑所有可能性并列出即可．
【详解】（1）解：根据题意列式为：，
∵，
∴游戏不再继续，
即：第二次结果为：；
（2）解：根据题意列式为：，
，
；
（3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”，
理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜；
理由二：所有的出牌可能有：
①，甲负乙胜；
②，乙负；
③，乙负；
④，乙负；
⑤，乙胜；
⑥，甲负乙胜，
∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”．
【变式5-1】请你阅读晓虎同学的作业后，回答问题∶
计算∶
解：
……①
=1.7÷(-17)……②
……③
回答∶
(1)上面解题过程中有两处出现了错误，第一处是第______步，错误原因是 ；第二处是第 步，错误原因是 ；
(2)写出这个计算题的正确解题过程．
【答案】(1)②，运算顺序；③，符号错误
(2)过程见解析
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】（1）根据有理数的运算法则，即可判断；
（2）根据有理数的运算法则，计算即可．
【详解】（1）解：上面解题过程中有两处出现了错误，第一处是第②步，错误原因是运算顺序；
第二处是第③步，错误原因是符号错误；
故答案为：②，运算顺序；③，符号错误；
（2）解：
=-3.6．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对运算法则的掌握．
【变式5-2】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．
小明的解法：原式的倒数为，所以．
(1)填空：小明的解答方法______（填“正确”或“错误”），依据是一个数的倒数的______等于原数；
(2)请你运用小明的解法解答下面的问题．
计算：．
【答案】(1)正确，倒数
(2)
【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、倒数
【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，乘法分配律：
（1）根据一个数的倒数的倒数等于原数即可得到结论；
（2）先仿照题意计算出，再把计算的结果取倒数即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，小明的解答方法正确，依据是一个数的倒数的倒数等于原数，
故答案为：正确，倒数；
（2）解：，
∴
【变式5-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）阅读下面的文字，完成解答过程．
(1)，，，挍照等号右边的形式直接写出结果：______．
(2)尝试并计算：；
(3)根据上述方法计算：；
(4)[拓展]观察：，，，
计算：；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，
（1）分析所给的等式的形式，从而可求解即可；
（2）利用所给的式子的形式，把各项进行拆项，从而可求解；
（3）仿照所给的式子的形式进行求解即可；
（4）根据所给的式子的形式进行求解即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）
；
（3）
；
（4）
．

一、单选题
1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如果，，且，则的值等于（ ）
A．6B．6或C．或D．6或5
【答案】B
【分析】此题考查了有理数的乘法，以及绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：∵，，且
∴或，
∴或，
故选：B．
2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，有理数的加、减法，乘法，先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，
∴，
故D选项符合题意，A，B，C选项不符合题意；
故选：D．
3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据有理数的加法法则、有理数的减法法则、有理数的乘法法则、有理数的除法法则、相反数的定义、绝对值的意义逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意；
B. ，原计算错误，故选项不符合题意；
C. ，原计算错误，故选项不符合题意；
D. ，计算正确，故选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，有理数的除法运算，求一个数的相反数，求一个数的绝对值等知识点，熟练掌握有理数的运算法则及相关概念是解题的关键．
4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，且，则的值是（ ）
A．5或B．C．1D．1或
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值，有理数的加法，先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据进一步确定a、b的值，再计算的值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，或，，
当，时，，
当，时，，
综上，的值是5或，
故选：A．
5．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案．
【详解】解：，
∴这个消毒柜的内置高度至少有，
故选：C．
6．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键．
【详解】由题意知，
∵，
∴，，，，…，
由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现，
∵，
∴，
故选：C．
7．若，则的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴有四种情况：
①三个都为正数，则原式；
②三个都为负数，则原式；
③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数，
则原式；
④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数，
则原式；
综上，的值为或，
故选：．
二、填空题
8．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数混合计算，有理数比较大小，先计算出，再计算出，则输出的结果即为．
【详解】解：，
，
∴输出的结果为，
故答案为：．
9．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据除法与乘法互为逆运算，只需要计算出的结果即可．
【详解】解：
．
∴*代表的数是30．
故答案为：30．
10．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）在数轴上，若点，分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相反数与数轴的关系，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；相反数分为两类：一、0的相反数为0，二、可以是一个正数与一个负数，但它们的绝对值相等，即这两点到原点的距离相等，掌握相反数与数轴的关系是解题的关键．
根据相反数的概念得和是一个正数和一个负数，且距离为8；由相反数到原点的距离相等，所以可以得出两点所表示的数，即可得到结果．
【详解】解：，
在原点的左侧，
表示的数为．
故答案为：．
11．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题．
（1） ；
（2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ．
【答案】 3 610
【分析】本题考查有理数的运算：
（1）根据任意相邻三个台阶上数的和都相等，得到求出即可；
（2）先求出，进而求出相邻三个数的和，根据每三个数一循环，且和等于，进行计算即可．
【详解】（1）∵任意相邻三个台阶上数的和都相等，
；
（2）
每三个数一循环，且和等于
，
．
故答案为：3，610．
三、解答题
12．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘法与除法运算，再计算加减运算即可；
（2）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
【点睛】本题考查的是有理数的乘法分配律的应用，有理数四则混合运算，掌握有理数的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
13．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）计算下列各题
(1) (2)
【答案】(1)56
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
（1）先计算乘除，最后计算减法即可；
（2）利用有理数的乘法分配律求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）2024-2025 学年安徽省中小学开始实施“三个一”工程，即各中小学实现“一天一节体育课、一周一场体育比赛、一生一项体育特长”．某中学本周七年级各班级之间开展了一分钟跳绳对抗赛，下表为七年级（1）班42 人参加一分钟跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个．超过标准数量的记为正，不足标准数量的记为负．
(1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？
(2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？
【答案】(1)这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个
(2)这个班跳绳总共获得192分
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键；
（1）根据表格可直接进行求解；
（2）根据每多跳1个加2分，每少跳1个，扣1分，然后相加即可求出该班的总积分．
【详解】（1）解：（1）由题意得：（个），
答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个；
（2）解：由题意得：（分）．
答：这个班跳绳总共获得192分．
15．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为
．
故原式．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
(2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：．
【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误；
(2)过程见解析，．
【分析】（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案；
（2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案．
【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误；
（2）原式的倒数为：
，
所以原式
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键．
16．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，．
(1)计算：________；________；
________（填“>”或“=”或“