沪科版（2024）七年级上册（2024）正数和负数学案

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知识点01 具有相反意义的量
1.日常生活中,表示相反意义的量的常用词语:
2.具有相反意义的量的规定
为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支出、零下”等规定为负.
3. 具有相反意义的量的“两要素”
(1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量.
(2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个
【即学即练】下列说法错误的是（ ）
A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量
B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量
C．增加20人和减少10人是相反意义的量
D．支出600元和收入800元是相反意义的量
知识点02 正数、负数的概念
正数：像8 848.86，4，＋40 000，1.7这样的数是正数；
2.负数：像－80.97，－6 ，－10 000，－0.6这样的数是负数.
3.零：数0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界
易错警示
(1)表示正负数时，正号可以省略不写，而负号不能省略.
(2)0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点，它小于所有正数，大于所有负数.
【即学即练】下面各数哪些是正数，哪些是负数？
．
知识点03 用正数和负数表示具有相反意义的量
为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 .
1. 像海拔高度这样，通过设置一个分界点，以此区分具有相反意义的量.
2. 用正数、负数表示具有相反意义的量，在描述变化的情况时，一般地，向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示.
【即学即练】中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（ ）
A．+40元B．﹣40元C．+20元D．20元
知识点04 有理数的概念及分类
1.有理数：整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式，
2.有理数的分类：
注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
【即学即练】把下列各数填入相应的大括号内上：
，0.618，-3.14，260，-2009，，-0.010010001…，，0，-1．
有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
非正数集合：{ …}．
知识点05 数轴
1.数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 .
2. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.数轴的三要素缺一不可. 在解决具体问题时可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定，就不能随意改变.
3.数轴的画法
(1) 画直线， 取原点： 画一条直线，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫作原点；
(2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右为正方向，则相反方向为负方向；
(3) 选取单位长度， 标数： 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2， 3，… ；从原点向左，用类似方法依次表示 －1， －2，－3，… .
【即学即练】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点06 有理数与数轴上点的关系
一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示.但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.
【即学即练】如图，点M表示的数可能是（ ）
A．1.5B．C．2.5D．
知识点07 相反数
1.只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个数是另一个数的相反数，如 2 与 －2 互为相反数，即 2 的相反数是 －2， －2 的相反数是 2.
2. 数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，它可以是正数、负数或者0.
3. 任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；负数的相反数是正数； 0 的相反数是 0.
【即学即练】填空：
(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数；
(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 .
（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．
知识点08 绝对值
1. 概念：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值.
2. 表示方法：数a的绝对值记为|a|，读作“ a的绝对值”.
3.性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 .
也可以表示为：
【即学即练】求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
题型01 用正负数表示具有相反意义的量
【例1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如果水库水位上升记作，那么水库水位下降记作（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）我国是最早认识和使用负数的国家，早在公元3世纪，我国数学家刘徽就说：“今两算得失相反，要令正负以明之．”意思：在计算过程中遇到相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．如果我们把收入5万元，记为，那么支出3万元，应记为 ．
【变式2】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）淮南淮河大坝的警戒水位为22.30米，取警戒水位作为0点．如果淮河水位为24米记作米，那么淮河水位为20米记作 米．
【变式3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）（九章算术）中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若前进米记作米，则后退米记作 米．
题型02 用正负数表示误差范围
【例1】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）我们在买薯片时，总会发现包装袋上标注有，的意思是 ．
【变式1】（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（22-23七年级上·安徽亳州·期末）某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是 kg．
题型03 有关正负数图表信息题
【例1】（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题：
(1)把表格补充完整；
(2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率?
【变式1】某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题：
(1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？
(2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？
(3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？
【变式2】某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题：
(1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？
(2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？
(3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？
【变式3】（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题：
(1)把表格补充完整；
(2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率?
【变式4】“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为26万元：
（1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？
（2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元）
题型04 正数、负数的规律探究题
【例1】观察下列数列，填上空缺的数．
（1）1，，2，，3，______，______，______；
（2）1，，3，，5，______，______，______．
【变式1】按照一定的规律填数：
（1）1，，4，，16，______，______，______；
（2）1，，3，4，，6，7，，9，______，______，…，______（第2017个数）．
【变式2】创新题·新题型 黑板上有10个互不相同的有理数，有四位同学对此作出如下描述：
小明说：“其中有6个整数.”
小红说：“其中有6个正数.”
点点说：“其中正分数与负分数的个数相等.”
训训说：“负数的个数不超过3个.”
请你根据这四位同学的描述，判断这10个有理数中共有___个负整数.
题型05 多重符号的化简
【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试） ，
【变式1】化简下列各数中的符号．
（1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）
（5）-[-(+1)] （6）-(-a)
【变式2】化简：
（1）﹣{+[﹣（+3）]}； （2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．
【变式3】当+6前面有2011个正号时，化简结果为： ；当+6前面有2011个负号时，化简结果为： ；当+6前面有2012个负号时，化简结果为： .
题型06 相反数的几何意义的应用
【例1】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为 ．

【变式1】如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．
【变式2】数形结合思想 如图，数轴的单位长度为1.请回答下列问题.
(1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C 表示的数是多少？
(2)如果点D，B表示的数互为相反数，那么点C，D 表示的数分别是多少？
题型07 绝对值的应用
【例1】真 实 情 境 [2025·合肥五十中月考] 世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）．
(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
【变式1】正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
题型08 与数轴有关的探索与创新题
【例1】在数轴上A点表示，则在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数（ ）
A．B．5C．或D．1
【变式1】数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______；数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______．
【变式2】数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的有多少个？

一、单选题
1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列数轴上仅有两点表示的数绝对值相等，这两点是（ ）
A．点和点B．点和点C．点和点D．点和点
2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．（24-25七年级上·安徽黄山·期中）小明在超市购买了一种饼干，在其包装袋上发现该饼干的质量合格标识为“克”，则下列不合格的是（ ）
A．克B．克C．克D．克
4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）规定：表示向东走，记作，则（）表示向西走，记作（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作（ ）
A．元B．元C．元D．元
6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数不是正数就是负数B．若，则a为正数
C．一定是负数D．一个有理数不是整数就是分数
7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．0不是有理数B．在有理数中有最小的数
C．有理数不是整数就是分数D．若是有理数，则一定是负数
8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：．这八位同学中达标的有（ ）
A．7人B．6人C．5人D．4人
9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（ ）
A．223B．C．262D．
二、填空题
10．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升50米，记作米，则水位下降30米，记作
米．
11．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损200元记为 元．
12．（22-23七年级上·浙江台州·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球．
三、解答题
13．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点．
14．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里：
(1)正整数集合： ；
(2)整数集合： ；
(3)正分数集合： ；
(4)非负有理数集合： ；
15．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）给出下列各数：，，0，，，2，，．把这些数分别填入相应的大括号内．
(1)整数： ；
(2)分数： ；
(3)负数： ；
(4)非负整数： ．
16．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数分别填入图中相应的位置．
，，0，，，，8，，．
17．一辆货车从超市出发，向东走了到达小刚家，继续向东走了到达小红家，又向西走了到达小英家，最后回到超市．
(1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴．并在数轴上标出小刚家、小红家、小英家的位置．
(2)小英家距小刚家有多远？
(3)货车一共行驶了多少千米？
18．已知有理数，所对应的点在数轴上的位置如图所示．

(1)在数轴上表示出，的相反数的位置；
(2)若数对应的点与其相反数对应的点相距个单位长度，求的值；
(3)在（）的条件下，若数对应的点与数的相反数对应的点相距个单位长度，求的值．
19．如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______．
(2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？
教学目标
1.借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用正、负数表示生活中具有相反意义的量。
2.会判断一个数是正数是负数
3.理解有理数的意义，并能对有理数进行分类。
4.能用正、负数解决有关实际问题，增强应用意识。
5.理解数轴的概念，能用数轴上的点表示有理数。
6.利用数轴理解绝对值和相反数的概念，知道互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。
教学重难点
教学重点
有理数的概念与分类：理解有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，能准确对给定的数进行分类，明确 0 既不是正数也不是负数，是有理数分类中的关键部分。
数轴的概念与应用：掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，理解所有有理数都可以用数轴上的点来表示，能利用数轴比较有理数的大小，体会数形结合的初步应用。
相反数与绝对值的概念：明确只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0；理解绝对值的几何意义是数轴上表示数的点与原点的距离，代数意义是正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0，并能熟练求出一个数的相反数和绝对值。
教学难点
数轴的灵活运用：理解数轴上的点与有理数的关系，虽然所有有理数都能在数轴上表示，但数轴上的点不都表示有理数。
绝对值概念的深入理解：绝对值的几何意义涉及到距离，较为抽象，学生不易理解。数形结合思想的体会：有理数相关概念中蕴含着丰富的数形结合思想，如相反数和绝对值的几何意义等。但学生初次接触这种思想方法，难以自觉运用该思想去解决问题，需要教师在教学中不断引导，让学生逐步体会并掌握这种重要的数学思想方法。
收入
盈利
上升
零上
增加
向东(南)
…
支出
亏损
下降
零下
减少
向西(北)
…
姓名
王芳
刘兵
张沂
李聪
江文
成绩
89
84
与全班平均分之差
月 份
1
2
3
4
5
6
比上年同月增长%
1.8
0
0.2
1.5
0.3
0.4
月 份
1
2
3
4
5
6
比上年同月增长%
1.8
0
0.2
1.5
0.3
0.4
姓名
王芳
刘兵
张沂
李聪
江文
成绩
89
84
与全班平均分之差
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
+4
+3
+2
0
﹣1
﹣3
﹣5
编号法探究数组的排列规律探究
一组数的排列规律时，应全面分析题中所给的所有数据要从符号和数字两个方面进行观察，可以先把已知的数据按顺序编上序号，再分别确定符号和数字与序号的统一关系，进而确定数字排列规律与序号的关系，若数据是分数，还要分别观察分子和分母
一号球
二号球
三号球
四号球
五号球
六号球
0.1
0.2
0
易错警示
绝对值的漏解( 多解)问题
已知一个数的绝对值求这个数时,容易只求出满足条件的正数,而漏掉负数。
排球编号
一号
二号
三号
四号
五号
检测结果