人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线同步达标检测题

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考点一 直线与双曲线的位置关系
【例1-1】“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与进行平行.故充分性不满足；必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.故选：B
【例1-2】过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（ ）．
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【解析】双曲线方程为：，当k不存在时，直线为x＝4，与1的图象有且只有一个公共点，当k存在时，直线为：y＝k（x﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：
，
（1）若＝0，k时，y＝（x﹣4）+4与双曲线的渐近线yx平行，
所以与双曲线只有1个公共点，
（2）k时， ，
即k，此时直线y（x﹣4）+4与双曲线相切，只有1个公共点．
综上过点P（4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．故选：D.
【例1-3】已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，所以，解得，所以实数k的取值范围为.选：D.
【一隅三反】
1．直线与双曲线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
【答案】B
【解析】由得 整理得，；所以，故直线和双曲线只有一个交点；又双曲线的渐近线方程为：，与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.所以直线和双曲线的位置关系为相交．故选：B
2．若直线l经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则l的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为，因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为，由，消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以即，解得：或.所以直线l的斜率的取值范围是：.故选：B.
3．若过点P（0，1）作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，则直线l的方程为______．
【答案】2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，，
【解析】当直线斜率不存在时，显然不合题意所以可设直线方程为，
联立，得，
①当，即或，方程只有一解，
直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时，直线方程为，
②当，即，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，
则，解得，此时，直线方程为，
综上所述，直线的方程为或.
故答案为：2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，，.
考点二 直线与双曲线的弦长
【例2-1】已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解析】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，，故选：D
【例2-2】已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【答案】(1){k|k，且k≠±1}(2)
【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，
当时，直线l与双曲线由两个不同的交点，
即，所以k的取值范围为{x|k，且k≠±1}；
（2）由（1）可知x1+x2，x1x2，
所以弦长|AB|，
原点O到直线AB的距离d，所以S△AOB|AB|d，
由题意，解得：k＝±符合题意，所以实数k的值为．
【一隅三反】
1．双曲线的两条渐近线的方程为，且经过点．过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，则的值为___________。
【答案】
【解析】由题意，双曲线的两条渐近线的方程为，可设双曲线的方程为，
又因为双曲线过点，代入方程可得，即所求双曲线的方程为，且右焦点为，设，过焦点且倾斜角为的直线方程为，
联立方程组，整理得，则，
则弦长，
即弦长的值为．
2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．
【答案】(1)y2＝1(2)2
【解析】(1)由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为y2＝1．
(2)由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±,
,∴|AB|2．
考点三 双曲线的中点弦
【例3-1】直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】设点，，因为AB的中点，则有，
又点A，B在双曲线上，则，即，
则l的斜率，此时，直线l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C
【例3-2】已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】设，，，，，，
，．故选：D．
【例3-3】已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，根据对称性，知，所以．
因为点A，P在双曲线上，所以，两式相减，得，所以，所以．故选：D.
【一隅三反】
1．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.经检验满足题意，故选：C
2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】，，则，，
两式相减得，所以
因为P是AB的中点，所以，，因为直线OP的斜率为，所以，
因为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以，
所以，，得，所以，所以离心率为
故选：A
3．已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设、、，则，两式相减得，所以．因为，，所以．
因为，，所以，故，
故．故选：A.
4．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】直线的方程为：，即，设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：，
，因弦的中点为，
于是得，即，而，解得，满足，
所以双曲线的方程为，即.故选：C
考点四 双曲线的综合运用
【例4】（多选）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线C的焦距为
B．双曲线的顶点坐标为
C．双曲线C的虚轴长是实轴长的倍
D．双曲线与双曲线C的渐近线相同
【答案】CD
【解析】因为，，所以，，焦距为，故A错误；
因为顶点坐标为，故B错误；因为，故C正确；
双曲线与双曲线C的渐近线均为直线，故D正确．故选：CD
【一隅三反】
1．（多选）已知双曲线，则（ ）
A．离心率的最小值为4
B．当时离心率最小
C．离心率最小时双曲线的标准方程为
D．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
【答案】CD
【解析】由题意可得．因为，所以，即，当且仅当，即时取等号．此时双曲线方程是，渐近线方程是．故选：CD
2．（多选）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（ ）
A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定
B．该双曲线的离心率为
C．若和在双曲线的同一支上，则
D．若和分别在双曲线的两支上，则
【答案】BC
【解析】对于A选项，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，
且有，解得，则双曲线的方程为，其焦点在轴上；
若双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，
则，可得，且有，无解，A错；
对于B选项，，，，所以，双曲线的离心率为，B对；
对于CD选项，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，
，，
.
若和在双曲线的同一支上，则，可得，
则，C对；
若和分别在双曲线的两支上且直线不与轴重合时，
，可得，则，
若直线与轴重合，则、分别为双曲线的两个顶点，则，
故当和分别在双曲线的两支上时，，D错.故选：BC.
3．已知双曲线，，是其两个焦点，点M在双曲线上.
(1)若，求的面积；
(2)若，则面积是多少？
(3)观察以上计算结果，你能看出随的变化，的面积将怎样变化吗？试证明你的结论.
【答案】(1)9；(2)；(3)随的增大，的面积将减小；证明见解析
【解析】（1）易知，由双曲线定义得，
平方得，
又，可得，故，，
故；
（2）由（1）知，又，
可得，
即，故，，
故；
（3）随的增大，的面积将减小；证明如下：
由（1）知，，设，
则，
故，，
故，
因为，是增函数且恒大于0，故随着的增大而减小.
3.2.2 双曲线性质（精练）
1 直线与双曲线的位置关系
1．直线与双曲线的交点个数为______．
【答案】
【解析】由得：，直线与双曲线有且仅有个交点.
故答案为：.
2．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】把代入，得，化简得，
设直线与双曲线的右支交于不同的两点。
由题意知，即，解得．故答案为：
3．直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，因为直线过原点且与双曲线没有交点，
故需满足，故答案为：
4．已知直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为_________.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为：，因直线与双曲线无交点，于是得，而双曲线实半轴长为1，则该双曲线离心率，所以该双曲线离心率的最大值为.
故答案为：
5．已知直线与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．
【答案】
【解析】联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.
故答案为：.
6．若直线与双曲线的左支交于不同的两点,则实数的取值范围是
【答案】
【解析】，整理得因为直线与双曲线的左支有两个不同的交点，则方程在上有两个不同的根.需满足解得
所以的范围为
2 直线与双曲线的弦长
1．已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不妨设，，从而，，
由两式相减可得，，
又因为线段AB的中点为，从而，，故，即直线AB的斜率为，
直线AB的方程为：，即，将代入可得，，
从而，，故.故选：C.
2.直线与双曲线交于A、B两点，若，则______．
【答案】
【解析】联立直线与双曲线可得：，则，所以，，而，可得.
故答案为：
3．以直线为渐近线，且截直线所得弦长为的双曲线的标准方程是___________.
【答案】
【解析】根据双曲线的一条渐近线为，可设双曲线为()，将代入双曲线得：，若直线与双曲线交点为，则，，
则，解得：，故双曲线的方程为.
故答案为：.
4.过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，
得．设，，则，，
所以．故答案为：
5．双曲线的方程是－y2＝1.
(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．
【答案】（1）y＝x±5（2）3x－4y－5＝0
【解析】(1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，
Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，∴m2>3.
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝－m，x1x2＝.
由弦长公式|AB|＝|x1－x2|，得,
∴＝，即m＝±5，满足m2>3，∴直线l的方程为y＝x±5.
(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)、B′(x4，y4)两点，
点P(3,1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.
由＝4，＝4，两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，
∴＝，∴l′的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，满足Δ>0，
即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0.
6．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为双曲线离心率为，所以是等轴双曲线，
设双曲线方程为，
将点代入方程,得，双曲线方程为.
（2）右焦点为，则直线的方程为，
由，得，
设、，则：，

又原点到直线的距离为，

[另解]：由，得，
设、，则：，
，
.
3 双曲线的中点弦
1．已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.
2．已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【解析】设，，，则，两式相减得，所以.因为，，所以.因为，，所以，，故.故选：C
3．已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，则，两式相减得，
即，∴.故选D.
4．直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】设，，因点A，B在双曲线 上，则，，两式相减得：，因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，此时，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线 交于两点，所以直线l的斜率为1.故选：D
5.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．
6．已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.
【答案】
【解析】设，则，
∵A、B在双曲线上，∴，①－②得：，
即即，∴：，即，
由，∵，故与双曲线有两个交点满足题意，
故l方程为：.
故答案为：.
7．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于______________.
【答案】
【解析】设，则，得，即，因为点是线段的中点，所以，又因为直线斜率为，所以，得，
即.故答案为：
8．过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】设，，，，则①，②，
是线段的中点，，，
直线的方程是，，
过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点，
①②两式相减可得，即，．
故答案为：．
9．已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.
【答案】
【解析】设点，，，，线段的中点，，
由，得（判别式△，，，，
点，在圆上，则，故.
故答案为：
4 双曲线的综合运用
1．如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（ ）．
A．
B．的内切圆与x轴相切于点（1，0）
C．若，则的离心率为
D．若，则椭圆方程为
【答案】A
【解析】对于A：由可得，所以，即选项A错误；
对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K，
可得，，，又因为，所以，
又，解得，．可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确；
对于C：在椭圆中，，，则．由，得 ，解得a＝3．则的离心率，即选项C正确；
对于D：因为，，则，．若，则．又c＝2，，解得，．则椭圆的方程为，即选项D正确．故选：A.
2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2
【答案】ABD
【解析】设焦距为，则，设，
则，，作差得，即，
，故，又，所以，A正确；
而离心率，B正确；
双曲线C的渐近线方程为，直线过原点，由题可知直线与C有两个不同的交点，
所以直线倾斜角的取值范围为，C错误；
若，则，由双曲线的定义以及选项A的结论可得，故，又，可得，所以三角形的面积为，D正确．故选：ABD.
3．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
【答案】BC
【解析】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；
当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确；
若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；
若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误．故选:BC．
4．（多选）已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个
D．若，则
【答案】BD
【解析】由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，对于A中，由双曲线的定义知，，所以A错误；
对于B中，由，，可得，又由，所以，可得，所以B正确；
对于C中，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误．
对于D中，由，得，从而，所以D正确．
故选：BD．
5．（多选）设双曲线的两个焦点分别是，，以线段为直径的圆交双曲线于A，B，C，D四点，若A，B，C，D，，恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．四边形ABCD的面积为
C．双曲线的离心率为D．双曲线的渐近线方程为
【答案】ABC
【解析】不妨设点为左焦点，如图所示，因为，，所以，又，所以，A正确；根据对称性，可知四边形ABCD为矩形，又，，所以四边形ABCD的面积为，B正确；由双曲线的定义可得，即，则离心率，C正确；因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，D错误．故选ABC．
一题多解
对于A选项还可以如下求解：为圆的直径，点B在圆上，则，故A正确．
6．（多选）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（ ）
A．的方程为B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切D．
【答案】ACD
【解析】设点，由直线与的斜率之积为，可得，
整理得，即曲线的方程为，所以A正确；
曲线的离心率，所以B不正确；
由圆，可得圆心为，可得圆心到曲线的渐近线的距离，
又由圆的半径为1，所以曲线的渐近线与圆相切，所以C正确；
联立方程组 ，整理得，则，，所以，所以D正确．故选：ACD．
7．（已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之差为_______．
【答案】
【解析】由题意得，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，即C,E有相同的焦点，则，
联立,消去，得，对于椭圆，设为椭圆上一点，令，则椭圆化为圆 ，即为，由圆上一点处的切线方程可知在处的切线方程为，故可得椭圆在处的切线方程为，即，故由直线为曲线在点处的切线，P点在第一象限，
则，可得直线方程为 ① ，
设三角形内切圆半径为，则由等面积可得，
② ，
又由于P在双曲线上，设三角形内切圆圆心，各边上的切点分别为，如图：
由圆的切线性质可得，则 ,
即 ，即M点横坐标为1，由可得直线的方程为 ③ ，联立①②③，化简可得；又，
故答案为：
8．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）解：由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）解：由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，
设，则，直线的方程为，
令，可得，即,同理可得，
因为为的中点，所以，即，
可得，即，所以或，
若，则直线方程为，即，此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点，所以为定值，
又由为直角三角形，且为斜边，所以当为的中点时，.