人教A版 (2019)必修 第二册事件的相互独立性达标测试

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知识点01：相互独立事件的概念
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
【即学即练1】（23-24高一下·安徽黄山·期末）设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件不是相互独立事件B．事件与事件不是相互独立事件
C．事件与事件是相互独立事件D．事件与事件不是相互独立事件
【答案】C
【知识点】独立事件的判断
【分析】根据独立事件概率公式，即可判断选项.
【详解】因为，所以事件和事件是相互独立事件，故C正确，
则与，与和和都是相互独立事件.
故选：C
知识点02：相互独立事件概率的求法
已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有
知识点03：互斥事件与相互独立事件的区别与联系

题型01 相互独立事件的判断
【典例1】（23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（ ）
A．甲和乙相互独立B．甲和丙相互独立
C．甲和丁相互独立D．丁和丙相互独立
【典例2】（24-25高二上·安徽滁州·开学考试）袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球．
(1)求摸出的两个球中有红球的概率；
(2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立．
【变式1】（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（ ）
A．甲与丙B．乙与丙C．乙与丁D．丙与丁
【变式2】（多选）（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（ ）
A．A与CB．A与DC．B与CD．B与D
【变式3】（24-25高二上·上海·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由．
【变式4】（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由.
题型02相互独立事件与互斥事件
【典例1】（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（ ）
A．与互斥B．与对立
C．D．与相互独立
【典例2】（多选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与 是互斥事件B．事件 与 是对立事件
C．事件 与 相互独立D．
【变式1】（24-25高三下·上海·阶段练习）投掷一枚均匀的骰子，事件: 点数大于 2 ; 事件: 点数小于4 ; 事件: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与是对立事件
C．与是独立事件D．与是独立事件
【变式2】（24-25高二上·广东汕尾·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立D．
【变式3】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若，则事件与事件的关系是（ ）
A．事件与事件互斥B．事件与事件对立
C．事件与事件相互独立D．事件与事件互斥又独立
【变式4】（多选）（24-25高二上·广东广州·期末）一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．事件A和事件B相互独立D．事件B和事件C相互独立
题型03独立事件的乘法公式
【典例1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）某次乒乓球单打比赛在甲､乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（24-25高二下·云南·阶段练习）一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球.
(1)从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率；
(2)若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率.
【变式1】（24-25高三下·上海·阶段练习）一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（ ）
A．1B．0
C．D．或
【变式2】（24-25高一下·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25高二上·上海长宁·期末）已知事件A与事件B互相独立，且，，则 .
【变式4】（24-25高二下·广东珠海·开学考试）已知事件与事件相互独立，且，，则
题型04独立事件的实际应用
【典例1】（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过.
假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是.，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率；
(2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.
【典例2】（23-24高二上·云南·阶段练习）某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表:
假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率．
(1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？
(2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？
【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为 ．

【变式2】（23-24高一下·河南新乡·期末）某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他在科目考试第一次合格的概率；
(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率．
【变式3】（23-24高二下·陕西咸阳·期中）已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立．
(1)若乙对同一目标射击两次，求恰有一次命中目标的概率；
(2)若甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率．
【变式4】（23-24高一上·辽宁营口·期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
题型05 相互独立事件的综合应用
【典例1】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【典例2】（24-25高二下·四川眉山·开学考试）骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5，
(1)先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由.
【变式1】（24-25高三上·山西太原·期末）已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥B．事件与事件相互独立
C．事件与事件相互对立D．事件与事件相互独立
【变式2】（多选）（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则（ ）
A．B．事件与事件相互独立
C．D．事件与事件为互斥事件
【变式3】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知事件发生的概率分别为，则（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若与相互独立，则
D．若与相互独立，则
【变式4】（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知事件A，B相互独立，，，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（ ）
A．0.408B．0.384C．0.246D．0.532
3．（24-25高二上·广西钦州·期末）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（ ）
A．B．为不可能事件
C．事件 A，B 相互独立D．
5．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若与互斥，则
C．若，则事件与相互独立D．若与相互独立，则
6．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（）
A．事件与事件互斥B．
C．事件与事件互斥D．
7．（24-25高二上·湖北·期末）已知事件，满足，，则（ ）
A．若与相互独立，则
B．若与互斥，
C．因为，所以与相互对立
D．若，则
8．（2025·广东惠州·模拟预测）事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（ ）
A．互斥B．对立C．独立D．包含
二、多选题
9．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）已知随机事件，，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则事件与事件相互独立
B．若，则事件与事件互为对立事件
C．若事件，则
D．若事件，相互独立，则
10．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与B相互对立
C．C与D相互对立D．B与D相互独立
三、填空题
11．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是 ．
12．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ．
四、解答题
13．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率;
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
14．（24-25高二上·广东茂名·期中）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”．
(1)判断事件A，B是否相互独立；
(2)分别求事件和C的概率．
B能力提升
1．（24-25高二上·陕西渭南·期末）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·河南驻马店·期末）投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（ ）
A．与互斥B．与对立
C．D．与相互独立
3．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（ ）
A．参与甲项目与参与乙项目不互斥B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立
C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立D．参与甲项目与参与丙项目相互独立
4．（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片.
(1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求；
(2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由.
5．（24-25高一上·江西宜春·期末）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额.
(1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率；
(2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由.
课程标准
学习目标
①理解两个事件相互独立的概念。
②能进行一些与事件独立有关的概念的计算。
③通过对实例的分析，会进行简单的应用。
1.数学抽象：两个事件相互独立的概念；
2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算；
事件
表示
概率
，同时发生
，都不发生
，恰有一个发生
，中至少有一个发生
或
，中至多有一个发生
或
相互独立事件
互斥事件
判断方法
一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生，
即
概率公式
事件与相互独立等价于
事件与互斥，
则
选手
1号
2号
3号
正确率
80%
80%
90%