高中数学人教A版 (2019)必修 第二册事件的相互独立性课时训练

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1．若事件与相互独立，且，则的值等于（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【详解】因为事件与相互独立，由相互独立事件的概率计算公式，可得：
.故答案选：B.
2．已知A，B是一次随机试验中的两个事件，若满足，则（ ）
A．事件A，B互斥B．事件A.B相互独立
C．事件A，B不互斥D．事件A，B不相互独立
【答案】C
【详解】若事件A，B互斥，则，与事件的概率小于等于1矛盾，故事件A，B不互斥；若事件A，B相互独立，则，而题设无法判断是否成立，故无法判断事件A，B是否相互独立.故选：C.
3．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为，故他们三人中至少有一人被录取的概率为.故选:D
4．甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，三次交接棒不失误的概率分别为，，，则该组合交接棒不失误的概率为.故选：C.
5．近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲､乙､丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,显然为相互独立事件,则“三人中恰有两人通过”相当于事件,且互斥,
∴
.故选:C.
6．对于事件，，下列命题不正确的是（ ）
A．若，互斥，则
B．若，对立，则
C．若，独立，则
D．若，独立，则
【答案】D
【详解】因为，互斥，互斥事件概率和在(0,1]区间，所以，故选项正确；
因为，对立，对立事件概率和为1，所以，故选项正确；
因为，独立，则,也相互独立，所以，故选项正确；
因为，独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故选项错误；所以命题不正确的是，故选：.
7．已知，，，则事件与的关系是（ ）
A．与互斥不对立B．与对立
C．与相互独立D．与既互斥又独立
【答案】C
【详解】由可得，因为，则与不互斥，不对立，由可得，因为，所以与相互独立故选：C
8．国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立D．事件与事件相互独立
【答案】D
【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；
对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确；
对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确；
对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确；故选：D
二、多选题
9．已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果A与互斥，那么
C．如果A与相互独立，那么
D．如果A与相互独立，那么
【答案】BC
【详解】对A，由得，则，A错；
对B，由A与互斥得，则，B对；
对CD，A与相互独立，则，，故C对D错；
故选：BC
10．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（ ）
A．A与B相互独立B．A与D相互独立
C．B与C为互斥事件D．C与D为互斥事件
【答案】ABD
【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：．共36个．依题意，，
事件C包括，共5个，，事件D包括，共6个，．
对于选项A，事件只有结果，A与B相互独立，所以选项A正确；
对于选项B，事件只有结果，A与D相互独立，所以选项B正确；
对于选项C，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件不是互斥事件，所以选项C不正确；对于选项D，事件是不可能事件，即C与D是互斥事件，所以选项D正确．
故选：ABD
三、填空题
11．某市气象局天气预报称，明天甲地降雨的概率是0.3，乙地降雨的概率是0.4.若明天这两地是否降雨是相互独立的，则明天这两地中恰有一个地方降雨的概率是______.
【答案】0.46
【详解】记事件：明天甲地降雨，事件：明天乙地降雨，事件：明天这两地中恰有
一个地方降雨，则，且，，
，
故答案为：.
12．为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为______
【答案】0.58
【详解】由题意,设“甲答题正确”为事件,“乙答题正确”为事件,则,
设“至少有一人正确”为事件，
，故答案为：.
四、解答题
13．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求：
(1)甲乙同时射中目标的概率；
(2)甲乙中至少有一人击中目标的概率.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设“甲击中目标”为事件，“乙击中目标”为事件，
则，且事件，相互独立，
所以甲乙同时射中目标的概率为.
（2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件，则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：，
则.
14．某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.
(1)求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件，，，
则，，.∴.
（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，
∴
.
15．已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，．
(1)求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
(2)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
(3)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【详解】（1）设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，则；
（2）设事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，则，
则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
；
（3）设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，则，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：．
B能力提升
16．射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息，赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响．
(1)估计甲运动员一箭命中10环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率；
(2)甲乙各射出一支箭，求有人命中10环的概率；
(3)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率．
【答案】(1)甲运动员一箭命中10环的概率为，乙运动员一箭命中黄圈的概率为(2)(3)
【详解】（1）设A＝“甲运动员一箭命中10环”，B＝“乙运动员一箭命中黄圈”，
则， ，∴甲运动员一箭命中10环的概率为，
乙运动员一箭命中黄圈的概率为．
（2）设C＝“乙运动员一箭命中10环”，D＝“有人命中10环”，
则，，，事件A，C相互独立，D=A+C，
，
∴甲乙各射出一支箭，有人命中10环的概率为．
（3）设＝“甲运动员第i箭命中黄圈”，＝“乙运动员第i箭命中黄圈”，
，，
设E ＝“共有3支箭命中黄圈”，
，，，，相互独立，，，，互斥
∴甲乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄圈的概率为：
17．中国教育部日前对全国政协《关于进一步落实青少年抑郁症防治措施的提案》进行了答复，其中明确将抑郁症筛查纳入学生健康体检内容，并明确指出对青少年进行预防抑郁症教育是实施素质教育、促进青少年全面发展、保障青少年身心健康的一项重要工作.某研究机构为了解家长们对抑郁症的关注情况，随机抽取了100位家长进行调查，并将调查结果整理得到下列统计表：
(1)补充上述统计表，并估计家长未关注抑郁症的概率；
(2)教育部开展了“抑郁症”的问答活动，从家长中选出甲、乙两位代表组队参加活动，每轮活动甲乙各回答一道题目，甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，甲和乙的回答相互独立，求家长队在两轮活动中答对3个题目的概率.
【答案】(1)统计表见解析，估计家长未关注抑郁症的概率为0.55；(2).
【详解】（1）补充统计表如下：
设家长未关注抑郁症的频率为，则，所以估计家长未关注抑郁症的概率为0.55.
（2）设、分别为事件“甲两轮只对1题，两轮对2题”，
、分别为事件“乙两轮只对1题，两轮对2题”，
，，，，
设：“家长队在两轮活动中答对3题”，则，
∵与、与相互独立，.
18．10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.
(1)求这场选拔赛三局结束的概率；
(2)若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.
【答案】(1)0.28(2)0.432
【详解】（1）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），
记“三局结束比赛”，则，
∴
；
（2）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），
记“决胜局进入第五局比赛”，则，
∴.
19．某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为24，8，16人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了6名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会.
(1)从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率；
(2)若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）用分层随机抽样的方法从三个学校中一共抽取了6名选手参加全市集训，现三所学校应该抽取的人数分别为3，1，2
设来自学校的三名学生分别为，，；来自学校的学生为；来自学校的两名学生分别为，
从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，样本空间
共包含15个样本点
记这2名学生来自不同学校为事件，
事件含，，；，，；，，，，共11个样本点，所以
（2）记小张至少能通过一所学校自招资格审核为事件，通过甲学校自招资格审核为事件，通过乙学校自招资格审核为事件，则事件“至少通过一所学校自招资格审核”的对立事件是“两所学校都通不过”，
因为与相互独立，所以与相互独立
所以
答：小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率为箭靶区域
环外
黑环
蓝环
红环
黄圈
区域颜色
白色
黑色
蓝色
红色
黄色
环数
1-2环|
3-4环
5环
6环
7环
8环
9环
10环
甲成绩（频数）
0
0
1
2
3
6
36
24
乙成绩（频数）
0
1
2
4
6
11
36
12
关注抑郁症
未关注抑郁症
合计
男性家长
20
女性家长
25
合计
45
100
关注抑郁症
未关注抑郁症
合计
男性家长
20
30
50
女性家长
25
25
50
合计
45
55
100