高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的零点与方程的解练习

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1、确定函数的零点（方程的根）所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定．
2、函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+）
【解析】因为函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1）单调，所以函数在区间（0，1）上至多有一个零点，
因为f（x0）=0，且x0∈（0，1），所以，解得，所以实数a的取值范围是（3，+），故选：D
25．设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
【解析】因为在单调递增，且有零点，所以，解得，
故答案为：
26．若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】易知函数在上单调递增，且函数零点所在的区间为，所以，解得．故选：C
考点四 根据函数零点的个数求参数的取值范围
27．已知函数，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】方程恰有两个不等的实根，等价于与的图象有两个交点，的图象如图所示，平移水平直线可得，故选：B.
28．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为函数有三个零点，所以函数的图象与直线有三个不同的交点，函数的图象如图所示，
由图可知，，故选：A
29．已知函数f (x) =有两不同的零点，则 的取值范围是（ ）
A．(−∞，0)B．(0，+∞)
C．(−1，0)D．(0，1)
【解析】由题可知方程有两个不同的实数根，则直线与函数的图象有两个不同的交点，作出与的大致图象如下：
不妨设，由图可知，，整理得，由基本不等式得，（当且仅当时等号成立） 又，所以，解得，故选：A．
30．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】函数的图像如下图所示：
若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则函数的图像与直线有三个交点，
若直线经过原点时，m＝0，若直线与函数的图像相切，令，令.故.故选：D．
31．【多选】已知函数fx=2x−1,x≤1,x−22,x>1,函数有四个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．的取值范围是B．的取值范围是
C．D．
【解析】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解． 的图象如图所示，由图可知，，，所以，即的取值范围是，由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．故选：AC.
32．已知函数，若方程有三个实数根，，，且，则下列结论不正确的为（ ）
A．B．的取值范围为
C．的取值范围为D．不等式的解集为
【解析】可得方程的根，即为函数的图象与直线的交点的横坐标作出函数的图象和直线，
①如图，由图可知：，，，A正确；
②又由得，∴，又①可知∴，故B正确；
③结合图象可知，，故C错误；
④由，当时，，可得，当时，，可得
综上，故D正确.故选：C.
33．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（ ）
A．（3，4）B．（2，4）C．[0，4）D．[3，4）
【解析】由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．
由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．设与交点的横坐标为，，设，则，，由得，
所以，即．设与的交点的横坐标为，，
设，则，，且，所以，
则．故选：D.
34．已知函数，，若关于的方程有6个实根，则实数的取值范围为______.
【解析】当或时不合题意，当时，，
当时，函数的图像如下：
，设方程，当时方程有3根，，，其中，，
所以当分别有2根，有6根.当或时，不合题意.
故答案为:
35．已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【解析】（1）设，则∴∵为偶函数∴
综上，有
（2）由（1）作出的图像如图：
因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；故实数的取值范围是或.
（3）由（1）作出的图像如图：
由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没有零点.
36．已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
【解析】（1）解：是偶函数，，即对任意恒成立，
，．即，
因为当，函数有零点，即方程有实数根．
令，则函数与直线有交点，
，
又，，所以的取值范围是．
（2）解：因为，
又函数与的图象只有一个公共点，则关于的方程只有一个解，
所以，令，得，
①当，即时，此方程的解为，不满足题意，
②当，即时，此时，又，，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当，即时，由方程只有一正根
，则需，解得，
综合①②③得，实数的取值范围为：．
37．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义或为，函数为偶函数.
，即 ，
，；
（2），
当时，，单调递增，在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，，解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）函数与图象有个公共点，
，
即，，设，则，即，
又在上单调递增，所以方程有两个不等的正根；
，解得，即的取值范围为.
考点五 比较零点的大小关系
38．已知函数，，且，则____（填>，