高中人教A版 (2019)函数的零点与方程的解优秀导学案

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知识点1函数的零点
1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．
温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点．
知识点2函数零点的存在性定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．
温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：
（1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）.
重难点一 求函数的零点及已知零点求参数
【例1】已知函数，则函数的零点是 .
【答案】
【详解】令，则，或，
解得，或，
则函数的零点是.
故答案为：.
【例2】“”是“函数只有一个零点”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当时，函数只有一个零点12；
当时，函数只有一个零点1；
若函数只有一个零点，则或．
所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件．
故选：C.
【变式1-1】已知函数，则函数的零点为（ ）
A．1B．0C．eD．
【答案】C
【详解】由可得，
由可得，，解得.
故选：C.
【变式1-2】若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】的两个零点为2，3，
，
，
令，得或，
故选：B．
【变式1-3】（多选）已知函数的两个零点分别为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】由题意可得：① ，②，③
由①+②可得：，所以，A正确；
，
因为，所以，B正确；
②①可得：，
所以，C错误；
因为，，D正确.
故选：ABD
重难点二 判断零点的个数
【例3】设函数,则的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】当时，令或，有2个零点；
当时，令，即，
结合函数的图象可知二者在时有1个交点，
即此时有1个零点.
综合可知，的零点个数为3.
故选：D
【例4】已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示.
故选：C．
【变式2-1】已知，，则方程不同解的个数为 ．
【答案】3
【详解】当时，方程，即，
，，解得或，
当时，方程，即，
，，解得或，
因为，故此时.
故方程不同解的个数为3.
故答案为：3
【变式2-2】（多选）已知函数，下列叙述正确的有（ ）
A．若，则只有一个零点
B．若，则有两个零点
C．若，则方程有两个实根
D．若，则方程有两个实根
【答案】AC
【详解】对A，有，在上，无零点；
在上，当时，故只有一个零点，故A正确；
对B，当时有，在上，；
在上无零点；故时可能只有一个零点，故B错误；
对C，时，可得或，而的图象如下图示，
由图象知或各有1个根，故方程有两个实根，故C正确；
对D，时，可得，
又，且的图象如下图示，
故此方程有三个实根，故D错误.
故选：AC
【变式2-3】已函数则函数的零点个数为 .
【答案】6
【详解】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，
当 时，，
所以，
所以当时，是周期为4的函数；
当时，；
所以的图象如图所示，
在同一坐标系下画出的图象，
因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点．
故答案为：6．

重难点三 根据零点个数求参数范围
【例5】若函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】函数有零点，即函数与的图象有交点，
作出与的大致图象如图所示，
由图可知，故实数的取值范围是.
故选：A.
【例6】设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数可能的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】因为，
当时，则在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，且，
当时，因为与在上单调递增，则在上单调递增，
则的图象如下所示：
方程有三个实数解，即y=fx与有三个交点，结合图象可知，
故符合题意的只有D.
故选：D
【变式3-1】已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，
得且或且，
则或，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：C
【变式3-2】已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下：

而恒过定点，
当与在处相切时，有仅有一个解，
所以，此时，
当过时，，此时，
结合图象，知时，交点至少两个.
故答案为：
【变式3-3】已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】且.
【详解】，
解得或，
画出及，的图象，如下：
其中，随着的增大，无限接近于直线，
故要想有4个不同的实根，
则需且，解得且.
故答案为：且.
重难点四 判断零点所在区间
【例7】已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【详解】设，
由，则，
由函数的零点存在定理知，的零点分别位于区间和，
故方程的两个实根分别属于区间和，
故选：C
【例8】已知函数的零点在区间内，则整数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】易知函数为增函数，且，
观察可知，，则的零点在区间内，
故.
故选：B
【变式4-1】已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（ ）
A．至少有一实根B．至多有一实根
C．没有实根D．有且只有一实根
【答案】B
【详解】因为,在区间具有单调性，
但是的连续不知道，
因此根据零点存在性定理可知在区间至多只有一实根.
故选：B.
【变式4-2】（多选）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】由所给的函数值表知，
由零点存在定理可知：在区间内各至少有一个零点，
故选：BCD.
【变式4-3】已知方程的解所在区间为，则= .
【答案】2
【详解】构造函数，则fx在为增函数，
则，
由零点存在定理可得函数的零点在2,3之间，
所以，
故答案为：2.
重难点五 利用图像交点处理零点问题
【例9】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，使，则，
于是，，
若k为奇数，则，，
，则，解得，或，
当时，，，，，解得，
当时，，，，，解得；
若k为偶数，则，则，
，则，解得，或，
当时，，，，，解得，
当时，，，，，解得，
所以所有大于零的解之和为.
故选：D
【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
【例10】（多选）已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】令，则，分别作函数与的图象，如图所示.

不妨设，则由图可得，所以成立，故D正确.
因为，所以，故C错误.
又因为，所以，即，所以，故A错误，B正确.
故选：BD.
【变式5-1】已知正实数满足，，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，，为正实数，且满足，，，
则，，，
所以，，，
则，，，
令，x∈0,+∞，
由对勾函数的性质可得在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，且，
满足的即为y=fx与的交点的横坐标，
满足的即为y=fx与的交点的横坐标，
满足的即为y=fx与的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出y=fx、、、的图象如下所示：
由图可知.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数y=fx与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小关系问题，准确画出函数图象是关键.
【变式5-2】已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，则或，令，则或，
由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为．
作出的草图如下，
令，不妨设，则，，，为曲线与直线的交点横坐标，
由图知：，且，
则，
由对勾函数可知在上递减，故，
故.
故选：C
【变式5-3】（多选）已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】如图：
由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误；
当时，方程有4个不同的解，且.
所以，且，故B正确；
又，且关于直线对称，所以，故C错误；
由，又.所以，故D正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质.
知识点3二分法
1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求函数零点的一般步骤
给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下：
（1）确定的初始区间,验证；
（2）求区间的中点；
（3）计算,并进一步确定零点所在的区间
①若 (此时),则就是函数的零点；
②若 (此时零点),则令；
③若 (此时零点),则令.
（4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）．
重难点六 二分法概念的理解
【例11】下列关于二分法的叙述中，正确的是（ ）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
【答案】B
【详解】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误；
B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值，
可精确到小数点后任一位，B正确；
C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号，
因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误；
D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误．
故选：B．
【例12】下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，函数，
故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；
对于C，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，当且仅当时，等号成立，
在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B
【变式6-1】下列方程中，不能用二分法求近似解的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对于A，在0,+∞上单调递增，且，
可以使用二分法，故A错误；
对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法，
故B错误；
对于C，，故不可以使用二分法，故C正确；
对于D，在0,+∞上单调递增，且，
可以使用二分法，故D错误.
故选：C
【变式6-2】下列函数的图象中没有零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】从图中观察知，只有D中函数图象与轴没有交点.
所以D选项函数的图象没有零点.
故选：D
【变式6-3】用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【详解】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过次操作后，区间长度变为，
令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6.
故选：B.
重难点七 二分法求方程的近似解
设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由函数，且，可得，
所以，根据零点的存在性定理，
可得方程的近似解落在区间为.
故选：A.
【例14】已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：
若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ）
A．4，0.7B．5，0.7C．4，0.65D．5，0.65
【答案】C
【详解】由题意可知，对区间内，设零点为，
因为，，，所以，精确度为，
又，，，精确度为，
又，，，精确度为
又，，，精确度为，
需要求解的值，
然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.
故选：C
【变式7-1】用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下：
根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（ ）
A．0.09375B．0.109375C．0.125D．0.078125
【答案】B
【详解】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]，
所以零点在区间[0.09375,0.125]上，，
所以可以作为的一个零点近似值，
故选：B
【变式7-2】用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：
则精度为0.1的条件下方程的一个近似根为 .
【答案】0.625（答案不唯一，在范围内即可）
【详解】在上单调递增，根据题意，，
，满足精度要求.
故答案为：.
【变式7-3】已知，在区间上有一个零点，则 .若用二分法求的近似值（精确度0.1），则至少需要将区间等分 次.
【答案】 1 4
【详解】在上为减函数，
又，
∴的零点，故.
设至少需等分次，则且，
解得，故至少需等分4次.
故答案为：；
一、单选题
1．若为函数的零点，则所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由于在上均单调递增，
故在上单调递增，
又，
故在上有唯一零点，即.
故选：B.
2．若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性判断:若，因为函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，
根据零点存在定理可知，函数在区间上有零点，所以“”是“函数在区间上有零点”的充分条件.
必要性判断:当函数在区间上有零点时，比如函数在区间[0,2]上有零点，此时，，，
即存在函数在区间上有零点时，的情况，
所以“”不是“函数在区间上有零点”的必要条件.
综上所得， “”是“函数在区间上有零点”的充分不必要条件.
故选：A.
3．在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意，根据二分法取值，即判断或的符号，
所以第二次所取区间可能是或.
故选：A
4．已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（ ）
A．8次B．9次C．10次D．11次
【答案】D
【详解】设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，
则第n次二等分后区间长为，
依题意得，所以
，，
所以.
故选：D
5．已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】作出图像，
令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且，
则，解得，
故选：.
6．已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【详解】对于函数，
，
当，即时，没有零点，不符合题意.
当，即或时，
当时，，零点为，
，符合题意.
当时，，零点为，
，不符合题意.
当，即或时，有两个不相等的零点，
至少有一个零点在区间内，
则需或，
解得，，
另外若，
则，零点为或，不符合题意.
若，
则，零点为或，
，符合题意.
综上所述，的取值范围是：.
故选：C
二、多选题
7．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的值可能是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】ACD
【详解】的图象如图所示，

方程的根的个数可转化为，直线与y=fx交点的个数，
由图可知，当时，直线与y=fx交点的个数为2，
因此选项ACD满足题意.
故选：ACD.
8．已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】结合函数的图象可知，，故A错误；

由，可得，故B正确；
因为，所以，所以，则，
又，所以，
由二次函数性质得在上单调递增，
故，故C正确；
因为，所以，故D正确．
故选：BCD
9．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，下列说法正确的有（ ）
A．精确到的近似值为B．精确到的近似值为
C．精确到的近似值为D．精确到的近似值为
【答案】AC
【详解】，，
零点在内，又，则AC正确，D错误；
，，，
则B错误.
故选：AC.
三、填空题
10．已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【答案】
【详解】由函数为单调递增函数，且在内存在一个零点，
又由，则，
第一次用二分法，由，
因为，可得，即，可得，所以，
所以确定函数的零点所在区间为；
第二次用二分法，由，
因为，可得，即
所以，所以确定函数的零点所在区间为，
所以第二次求得的区间的中点值为.
故答案为：.
11．用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行 次二分．
【答案】11
【详解】根据题意，原来区间的长度等于2，
每经过一次二分法操作，区间长度变为原来的一半，
则经过次操作后，区间的长度为，
令，又，解得.
故答案为：11．
12．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，可得，
所以，所以或，
由，又，可得，解得或，
方程无解，方程有一解，故有一解，
要使函数有三个零点，
则有两解，即y=gx与的图象有两个交点，
作出函数y=gx的图象的示图如下：
由图象可得，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
13．已知函数
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若函数在时存在零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由得，即，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为
（2）因为在时存在零点，
在时存在实根，
即方程有实根，
令，
令，，，
由对对勾函数性质知，在上单调递减，在单调递增.
，，，
所以.
14．已知函数有唯一零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过（不能用计算器）.
【答案】
【详解】，，的零点.
，，.
，，.
而，即为符合条件的一个区间.
故答案为:
15．已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
【答案】．
【详解】
由，作出函数的图象如图．
由图知，要使直线与该图象有两个公共点，则有，即.
故实数a的取值范围为．
一、求函数的零点及已知零点求参数
五、利用图象交点处理零点问题
二、判断零点的个数
六、二分法概念的理解
三、根据零点个数求参数范围
七、二分法求方程的近似解
四、判断零点所在区间
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
1
0.1719
0.01245
x
0.0625
0.09375
0.125
0.15625
0.1875
-0.4567
-0.1809
0.0978
0.3797
0.6647