（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练专题15 函数的零点问题（2份，原卷版+解析版）

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1、 函数的零点与方程的解
（1）函数零点的概念
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以
方程有实数解
函数有零点
函数的图象与轴有公共点.
（2）函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
2、用二分法求方程的近似解
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证.
（2）求区间的中点.
（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：
= 1 \* GB3 ①若（此时），则就是函数的零点；
= 2 \* GB3 ②若（此时），则令；
= 3 \* GB3 ③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）.
由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.
3、 函数模型的应用
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.
【典型例题】
例1．我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝．
(1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）
(2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
【解析】（1）由题意得，
（2）当时，由二次函数性质得，
当时，由基本不等式得，
则，当且仅当即时等号成立，
综上，当销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元
例2．某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.
(1)求的解析式；
(2)若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围.
【解析】（1）因为，
代入①得，，所以，故，
又由③得，，所以b=3；
因此，经检验，，满足题干所给条件，所以；
（2）因为方程恰有3个实数根，显然0为其一个实数根，
所以方程恰有2个非0实数根，即方程恰有2个实数根，且两根非，
由可得，，又由均不是此方程的根，则，
所以，m的取值范围为.
例3．已知定义在区间上的函数．
(1)求函数的零点；
(2)若方程有四个不等实根，且，证明．
【解析】（1）令，解得，．所以函数的零点是和.
（2）证明：易知对勾函数的图像如下图所示：
则的图像如下：
如图，要使有四个根，则，
令，当，则，由韦达定理知：；
当，则，由韦达定理知：．∴．
例4．设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）函数有且只有一个零点，
所以方程有且仅有一个根，
当时，，即，满足题设；
当时，，即，此时，满足题设；
综上，时，零点为2；，零点为4.
（2）因为对任意的，总，使得成立，
所以的值域是的值域的子集，
可得时， 在上单调递增，且，
所以的值域为.
当时，在上单调递增，故，即，
所以可得 解得；
当时，，不满足题意；
当时，在上单调递减，故，即，
所以可得，解得；
综上，m的取值范围为.
例5．已知函数．
(1)画出此函数的图像；
(2)求不等式的解集；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围．
【解析】（1）因为，故其函数图象如下所示：
（2）当时，令，即，解得，
当时，令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为：.
（3）若函数有三个零点，即的函数图象有三个交点，
数形结合可知，即可，解得，故实数的取值范围为：.
例6．已知函数.
(1)画出函数的图象，并写出的解析式；
(2)设，
（i）求出的零点，并直接写出函数的单调区间；
（ii）若有四个不同的解，直接写出的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，函数的图象如下图所示：
（2）（i）因为，图象如下图所示，令，可得，
所以当时，，解得：；当时，，解得：；
的零点为和.
如图所示，在上单调递减；在，上单调递增.
（ii）若有四个不同的解，即与的图象有四个交点，如下图所示，
所以.的取值范围为：.
【过关测试】
一、单选题
1．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，当时，，，，在内无零点，A错误；
对于B，当从正方向无限趋近于时，，则；又，在内无零点，B错误；
对于C，，，且在上连续，在内有零点，C正确；
对于D，，，在内无零点，D错误.故选：C.
2．用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，且单调递增，即当时，，
所以零点在内，故选：A
3．已知函数的两个零点分别为，，其中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，，则a，b是的两个零点；函数的图象可以看成图象向下平移2个单位得到，且，，如图所示：
故选：B.
4．函数的零点所在区间为，则整数k等于（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】A
【解析】∵，，在R上为单调递增函数，∴零点所在区间为，∴．故选：A.
5．函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】，或，，，或，时，不合题意，舍去，满足题意．因此方程有三个解，即函数有三个零点．故选：B．
6．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，
所以，解得．
故选：B.
7．已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】有实根，，解得：；；
设，则；
①当时，，，即，解得：，
；
②当时，由得：，；，
，，又恒成立，
，即，共有四个不等实根，
；综上所述：集合的元素个数可能为或.故选：C.
8．函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，，即，解得；
故要使得方程有四个不相等的实数根，则与的图象有四个交点，如下图所示：
数形结合可知，.
故选：D.
二、多选题
9．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解
【答案】AD
【解析】对A：令，数形结合可知，或或；令，，，
又因为，故，
数形结合可知都有一个根，故方程有且仅有三个解，A正确；
对B：令，数形结合可知，；令，因为，数形结合可知，该方程有一个根，故方程有且仅有一个解，故B错误；
对C：令，数形结合可知，或或；令，
由题可知，，数形结合可知，各有一个解，，有三个解，
故方程有且仅有五个解，故C错误；
对D：令，数形结合可知，；令，又，数形结合可知，该方程有一个解，
故方程有且仅有一个解，D正确.故选：AD.
10．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（ ）
A．的零点在区间内B．的零点在区间内
C．精确到0.1的近似值为1.4D．精确到0.1的近似值为1.5
【答案】BC
【解析】易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，
又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．
故选：BC.
11．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
【答案】AB
【解析】由题意，函数图像满足的关系，由图象可知，当时，，
所以，解得，当时，，满足， 当时，，满足，故，选项A正确；
当时，，故浮萍蔓延的面积就会超过，选项B正确；
由题意，，所以，，所以，所以增加的时间为
，而，所以，故选项C错误；由题意可知，当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，所以从第一个开始，每个月增加的面积分别为、、、，所以增加的面积不相等，故选项D错误.故选：AB.
12．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
B．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
C．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
D．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
【答案】AC
【解析】定义在R上的奇函数满足，所以，所以，即函数的周期，又函数为定义在R上的奇函数，所以，又，所以函数关于对称，当时，，解得，作函数的大致图象，如图，
由图可知方程在区间上的所有实数根的和为，故A正确，B错误；
若函数与的图象恰有5个不同的交点，
当时，由图象可知，直线过点时，即时，满足题意，
当时，找出两个临界情况，当直线过时，，有3个交点
当直线过时，有6个交点，由图象知，当时，直线与的图象有5个交点.综上，当或时，函数与的图象恰有5个不同的交点，故C正确D错误.故选：AC
三、填空题
13．若函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】当时，函数如图所示，此时，只有一个交点，不成立；
当时，函数如图所示，此时，要使两个函数的图象有两个交点，则有，即.
故答案为：
14．已知函数在区间中存在零点，在利用二分法求零点的近似值时，计算过程如下表格所示：
计算到表格中的最后一步可推断零点属于区间________.
【答案】
【解析】因为，又由表格可知，所以最后一步可推断零点属于区间，故答案为：
15．已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】由于在上只有一个零点4，函数在上的两个零点为1和3，
若,此时在上没有零点，函数在上的两个零点为1和3，满足题意，
当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1和3，不满足题意，舍去
当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1，满足题意，
当时，此时在上有零点4，函数在上没有零点，不满足题意，舍去，
综上：或，故答案为：
16．已知函数若互不相等的实数满足，则的取值范围______.
【答案】
【解析】函数的图象如图所示：设，因为，
因为偶函数关于轴对称，所以，当时，，时，，
所以，即.
故答案为：
四、解答题
17．已知函数 ，且点在函数的图象上.
(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为点在函数的图象上，所以，解得 ，即 ，
其图象如图所示：
（2）将化为，因为方程有两个不相等的实数根，所以直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示），
由图象，得0