初中数学人教版（2024）九年级上册配方法当堂达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册配方法当堂达标检测题，共40页。试卷主要包含了3 配方法（知识梳理与题型，85 ，“”难度系数 0等内容，欢迎下载使用。
专题 21.3 配方法（3 大知识点9 类题型）（知识梳理与题型
分类讲解）
一、【学习目标】
1.深入理解配方法的基本方法，能准确阐述配方法的核心步骤及其作用；
2.熟练掌握用配方法解一元二次方程的完整步骤，能够针对不同形式的一元二次方程，规范 准确地进行移项、二次项系数化为 1、配方、开平方以及求解等操作， 确保计算结果的正确 性；
3.能够灵活运用配方法解决与一元二次方程相关的各类问题，根据实际情境建立一元二次方 程模型并求解，以及判断方程根的情况；
4.通过配方法的探究过程，提升观察、分析、归纳、类比等数学思维能力，培养自主探究、 合作交流的学习能力．
二、【知识梳理】
【知识点 1】直接开方法解一元二次方程
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法．
【知识点 2】一元二次方程的解法－－－配方法
（1）配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成(x + n)2 = p(p ≥ 0) 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解 一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数， 则判定此方程无实数解．
【知识点 3】配方法的应用
1.用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于 零）而比较出大小．
2.用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性 质求出待定字母的取值．
3.用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4.用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数 中也有着广泛的应用．
三、【题型目录】
【夯实基础】
【题型一】解一元二次方程——直接开平方法 【题型二】解一元二次方程——配方法
【题型三】配方法的基本应用——求最值
【拓展延伸】
【题型四】解一元二次方程（直接开平方法＋配方法综合）
【题型五】解一元二次方程（配方法＋新定义综合）
【题型六】解一元二次方程（配方法＋几何综合）
【题型七】解一元二次方程（配方法＋整体思想＋规律问题）
【题型八】解一元二次方程（配方法＋一次函数综合）
【题型九】配方法的应用（求最值＋比较大小＋其他应用）
四、【题型展示与方法点拨】
【特别说明】序号前带“”难度系数 0.85 ，“”难度系数 0.65 ，“”难度系数 0.4． 【夯实基础】
【题型一】解一元二次方程——直接开平方法
【例题 1】（24－25 九年级上·吉林·期中）
1 ．解方程: (x - 2)2 = 9 (x + 3)2 ．
【变式 1】（24－25 九年级上·湖北咸宁·期末）
2 ．用适当的方法解方程：x2 - 6x + 9 = (3 - 2x)2 ．
【变式 2】（24－25 七年级下·福建莆田·期中）
3 ．求下列各式中未知数的值：
(2) 4(x - 3)2 - 25 = 0 ；
【题型二】解一元二次方程——配方法
【例题 2】（24－25 九年级上·吉林长春·阶段练习）
4 ．用配方法解方程：2x2 - 8x +1 = 0
【变式 1】（24－25 九年级上·甘肃兰州·期末）
5 ．解方程：(x + 3)(x + 7) = -2 ．
【变式 2】（24－25 八年级下·上海·阶段练习）
6 ．解方程
【题型三】配方法的应用
【例题 3】（24－25 九年级上·江苏无锡·阶段练习）
7 ．代数式2x2 - 8x + 6 的最小值为( )
A ．-4 B ．-2 C ．-1 D ．6
【变式 1】（23－24 九年级上·四川南充·开学考试）
8 ．当x = 时，代数式x2 - 6x - 3的值最小．
【变式 2】（24－25 九年级上·四川遂宁·阶段练习）
9 ．已知代数式-x2 + 6x -10 用配方法说明：不论 x 为何值，代数式-x2 + 6x -10 的值总是负 数．
【拓展延伸】
【题型四】解一元二次方程（直接开平方法＋配方法综合）
【例题 4】（24－25 九年级上·云南昆明·期中）
10 ．解方程：
(1) (x +1)2 - 4 = 0
(2)（配方法）y2 - 6y -112 = 0
【变式 1】（24－25 九年级上·河南洛阳·阶段练习）
11 ．计算：
(1) 2(x -1)2 = 18
(2) x2 - 4x - 3 = 0
【变式 2】（24－25 九年级上·河南新乡·期末）
12 ．解方程：
(1) (x -1)2 = 4 ．
(2) x2 - 4x = 2x - 8 ．
【题型五】一元二次方程（配方法＋新定义综合）
【例题 5】（24－25 九年级上·甘肃天水·期中）
13 ．字母 x、y 表示两个有理数，且x ≠ y ，现规定min{x, y} 表示 x、y 中较小的数，例如： min {3, -1} = -1 ，min {-1, 0} = -1，若min{x2 - 3, 3 - x2 } = -2x ，则 x 的值为( )
A ．3 B ．1 C ．3 或 1 D ．-3 或 1 【变式 1】（21－22 八年级下·重庆·期中）
14 ．对于示数 x，规定 f (x) = x2 - 2x ，例如 f (5) = 52 - 2× 5 = 15 ， 现有下列结论：
①若f (x) = 3 ，则 x = -1 ；
② f (x) 的最小值为 -1；
③对于实数 a ，b，若 a + b = ，ab = -1 ，则 f (a ) + f (b) = 5 - 2 ；
④ f (10) - f (9) + f (8) - f (7) +…+ f (2) - f (1) = 65 ． 以上结论正确的是( )
A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【变式 2】（24－25 九年级上·四川成都·期中）
15 ．新定义：关于x 的一元二次方程a1 (x - c)2 + k = 0 与a2 (x - c)2 + k = 0 称为“同族二次方
程”，例如：5(x - 6)2 + 7 = 0 与6(x - 6)2 + 7 = 0 是“同族二次方程” ．现有关于x 的一元二次方
程(m + 2)x2 + (n - 4)x + 8 = 0 与2(x -1)2 +1 = 0 是“同族二次方程”，则代数式mx2 + nx + 2030 的最 小值是 ．
【题型六】解一元二次方程（配方法＋几何综合）
【例题 6】（2025·河南商丘·二模）
16．如图，AD 为△ABC 的高，BD = 5 ，CD = 3 ，上BAC = 45° . 为求出AD 的值，小聪把△ABD 、
△ACD 分别沿AB 、AC 翻折后得AD¢ , AD¢¢ . 延长D¢B 与D¢¢C 的延长线交于点E ，易得四 边形AD¢ED ¢¢ 为正方形，从而得出AD 的长为 ．
【变式 1】（24－25 九年级上·福建泉州·期中）
17 ．已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程x2 - 3x +1 = 0的两根，则该直角三角 形的斜边的长等于 ．
【变式 2】（23－24 九年级上·江苏淮安·期末）
18 ．如图，以矩形ABCD 的顶点A 为圆心，以AB 边的长为半径作弧，交线段AD 的延长线 于点 E，交边CD 于点 F，若 CF = 1 ，DE = 3 ，则 AD 的长为 ．
【题型七】解一元二次方程（配方法＋整体思想＋规律问题）
【例题 7】（23－24 九年级上·福建泉州·期中）
19 ．已知实数a 满足 则 ． 【变式 1】（24－25 九年级上·四川成都·期末）
20 ．已知 ， ， 且n 为正整数）．若
S1 . S2 . S3 S7 = a ，则a 的值为 ．
【变式 2】（21－22 九年级·江苏南京·自主招生）
21 ．已知 则 n = ．
m n n - m m
【题型八】解一元二次方程（配方法＋一次函数综合）
【例题 8】（24－25 九年级上·贵州六盘水·阶段练习）
22 ．若方程x2 - 6x - 5 = 0用配方法可配成(x + p)2 = q 的形式，则直线y = px + q 不经过( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【变式 1】（24－25 九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）
23 ．如图 1，在矩形ABCD 中，AD < AB ，点 E 和 F 同时从点 A 出发，点 E 以1cm/s 的速度 A - B - C 的方向运动，点 F 以1cm/s 的速度沿 A - D - C 的方向运动，两点相遇时停止运动， 设运动时间为xs ， △AEF 的面积为ycm2 ，y 关于 x 的函数图象如图 2，图象经过点(3, m)， (n, m)，则 n 的值为 ．
【变式 2】（23－24 八年级下·广西梧州·期中）
24 ．先阅读下面内容，再解决问题：
若关于m 、n 的方程m2 + 2m + n2 - 6n +10 = 0 ，求 m 、n 的值． 解；因为m2 + 2m + n2 - 6n +10 = 0
所以m2 + 2m + n2 - 6n +1+ 9 = 0 所以m2 + 2 m +1+ n2 - 6n + 9 = 0 即(m +1)2 + (n - 3)2 = 0
所以(m +1)2 = 0 ，(n - 3)2 = 0
所以m +1 = 0 ，n - 3 = 0
解得m = -1 ，n = 3
(1)模仿阅读内容解关于x 、y 的方程，已知x2 + 4x + y2 - 2y + 5 = 0 ，求 x 、y 的值；
(2)若a 、b 是方程a2 - 8a + b2 + 4b + 20 = 0的解，求关于x 的一次函数y = ax + b 图象与坐标 轴交点所围成的三角形的面积．
【题型九】配方法的应用（求最值＋比较大小＋其他应用）
【例题 9】（2025·福建龙岩·一模）
25 ．我们规定：当a ≥ 0 ，b ≥ 0 时，由(+ b ≥ 0 ，得 当且仅 当a =b 时，取到等号．已知x > 0 ，求式子 的最小值．解：令a = x ， 则由
得 当且仅当 时，即正数x =2 时，式子有最小值， 最小值为 4，根据材料，思考下列问题：
当x > 0 ，式子 的最小值为______．
(3)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点 O ， △AOB 、 △COD 的面积分别是 8 和 14，求四边形 ABCD 面积的最小值．
【变式 1】（24－25 九年级上·江苏连云港·阶段练习）
26 ．设M = 2a2 - 5a +1 ，N = a2 - 6，其中 a 为实数，则 M 与 N 的大小关系是( )
A ．M > N B ．M < N C ．M ≠ N D ．不能确定
【变式 2】（2024 八年级下·浙江温州·竞赛）
27 ．已知x2 + y2 - 2x - 4y + 5 = 0 ，则
的值等于 ．
1 ． -
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方 程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵ (x - 2)2 = 9 (x + 3)2 ， : x - 2 = ±3(x + 3)，
即x - 2 = 3 (x + 3) 或x - 2 = -3(x + 3)， 解得 ，
2 ．x1 = 2 ，x2 = 0
【分析】本题考查了解一元二次方程．先把方程的左边利用完全平方公式变形为(x - 3)2 ，
再直接开平方得到两个一元一次方程，进而求解． 【详解】解：原方程可变形为：(x - 3)2 = (3 - 2x)2 ， 直接开平方得：x - 3 = 3 - 2x 或x - 3= -(3 - 2x) ，
解得：x1 = 2 ，x2 = 0 ．
3 ．(1) a1 = 2 + ，a2 = 2 - ；
【分析】本题考查了绝对值方程的解法， 直接开方法解一元二次方程，理解相关方程的解法 是解答关键．
（1）根据绝对值的定义变形为 a - 2 = ± ,再来解方程求解；
（2）根据直接开方求解即可．
【详解】（1）解：Q| a - 2 |= 、 ，
:a - 2 = ± ,
:a - 2 = 或a - 2 = - ，
:a1 = 2 + ，a2 = 2 - ；
（2）解：原方程变形为：4(x - 3)2 = 25 ，
开方得2(x - 3) = ±5 ，
:2(x - 3) = 5 或2(x - 3) = -5 ，
【分析】根据配方法解一元二次方程的一半步骤进行解答即可． 【详解】解：2x2 - 8x +1 = 0 ，
移项得：2x2 - 8x = -1，
二次项系数化为1得
配方得 即 ，
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一半步骤是 解本题的关键．
5 ．x1 = -5 + , x2 = -5 -
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、 配方法、公式法、换元法、因式分解法等） 是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再利用 配方法解一元二次方程即可得．
【详解】解：(x + 3)(x + 7) = -2 ， x2 +10x + 21 = -2 ，
x2 +10x + 21+ 4 = -2 + 4 ， x2 +10x + 25 = 2 ，
(x + 5)2 = 2 ， x + 5 = ± , x = -5 ± ,
所以方程的解为x1 = -5 + , x2 = -5 - ．
6 ．x1 = -3 ，x2 = 5 ．
【分析】本题考查了高次方程的解法， 运用直接开配方法进行解答即可，掌握直接开配方法 是解题的关键．
解
(x -1)4 = 256
x -1= ±4
x -1 = 4 或x -1 = -4
: x1 = -3 ，x2 = 5 ．
7 ．B
【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到 2x2 - 8x + 6 = 2 (x - 2)2 - 2 ，再根 据偶次方的非负性可得2(x - 2)2 - 2 ≥ -2 ，据此可得答案．
【详解】解：2x2 - 8x + 6
= 2 (x2 - 4x + 4) - 2
= 2 (x - 2)2 - 2 ，
: (x - 2)2 ≥ 0 ，
: 2 (x - 2)2 - 2 ≥ -2 ，
:代数式2x2 - 8x + 6 的最小值为-2 ， 故选：B．
8 ．3
【分析】本题考查的是代数式的最小值问题，利用配方法及平方的非负性是解答的关键. 对代数式进行配方，利用平方的非负性解答.
【详解】解：x2 - 6x - 3 = (x - 3)2 -12
: (x - 3)2 ≥ 0
: (x - 3)2 -12 ≥ -12
:当x - 3 = 0 时，原式有最小值
即当x =3 时，代数式x2 - 6x - 3取得最小值.
故答案为：3
9 ．见解析
【分析】本题考查了配方，根据配方法的步骤把代数式 -x2 + 6x -10 进行配方，即可得出答 案．
【详解】解：-x2 + 6x -10
= - (x2 - 6x )-10
= - (x2 - 6x + 9 - 9)-10
= - (x - 3)2 -1 : (x - 3)2 ≥ 0 ， :- (x - 3)2 ≤ 0
:- (x - 3)2 -1≤ -1< 0 ，
:不论 x 为何值，代数式-x2 + 6x -10 的值总是负数．
10 ．(1) x1 = -3 ，x2 = 1
(2) y1 = 14, y2 = -8
【分析】本题考查了一元二次方程解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，进而根据直解开平方法解，即可求解．
（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：(x +1)2 - 4 = 0 ，
:(x + 1)2 = 4 ，
:x +1= ±2 ，
解得x1 = -3 ，x2 = 1；
（2）解：y2 - 6y -112 = 0
: y2 - 6y = 112 ，
: y2 - 6y + 9 = 112 + 9 ，
: (y - 3)2 = 121，
: y - 3 = ±11，
: y - 3 = 11 或 y - 3 = -11， 解得：y1 = 14, y2 = -8 ．
11 ．(1) x1 = 4 ，x2 = -2 ；
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）直接用开平方法即可求解；
（2）用配方法求解即可．
【详解】（1）解：2(x -1)2 = 18 ，
: (x -1)2 = 9 ，
: x -1 = 3 或x -1 = -3 ， 解得：x1 = 4 ，x2 = -2 ；
（2）解：x2 - 4x - 3 = 0 ， : x2 - 4x = 3 ，
: x2 - 4x + 22 = 3 + 22 ， : (x - 2)2 = 7 ，
: x - 2 = 或x - 2 = - ，
解得：x1 = 2 + ，x2 = 2 - ．
12 ．(1) x1 = 3 ，x2 = -1
(2) x1 = 2 ，x2 = 4
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）方程运用直接开平方法求解即可；
（2）方程移项后运用配方法求解即可． 【详解】（1）解：(x -1)2 = 4 ，
两边开平方，得x -1= ±2 ，
:x1 = 3 ，x2 = -1．
（2）解：x2 - 4x = 2x - 8 ， 移项，得x2 - 6x = -8 ，
配方，得x2 - 6x + 9 = -8 + 9 ， :(x - 3)2 = 1，
两边开平方，得x - 3= ±1，
:x1 = 2 ，x2 = 4 ．
13 ．C
【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意分情况讨论，再分别求解即可． 【详解】解：∵min{x2 - 3, 3 - x2 } = -2x ，
:当x2 - 3 ≤ 3 - x2 时，x2 ≤ 3 ， 即：min {x2 - 3, 3 - x2 } = x2 - 3 ， : x2 - 3 = -2x ，
即：x2 + 2x - 3 = 0 ，
移项配方得：x2 + 2x +1 = 4 ，
解得：x +1 = ±2 ，即：x = 1 或x = -3 （舍），
当x2 - 3 > 3 - x2 时，x2 > 3 ，
即：min {x2 - 3, 3 - x2 } = 3 - x2 ， : 3 - x2 = -2x ，
即：x2 - 2x - 3 = 0 ，
解得：x = -1 （舍）或 x = 3 ，
综上所述：x = 3 或x = 1 ，
故选：C．
14 ．B
【分析】依据题意，规定f (x) = x2 - 2x ，①题直接解一元二次方程；②题用配方法求最值；③ 题用完全平方公式进行变形；④题把特殊值代入，即可得出答案．
【详解】依据题意 f (x) = x2 - 2x ，
① f (x) = 3 ，即 x2 - 2x = 3，解得 x1 = -1 ，x2 = 3 ，因此①错误，不符合题意， ② f (x) = x2 - 2x = (x -1)2 -1，故 f (x) 的最小值为 -1，因此②正确，符合题意， ③对于实数 a ，b，若 a + b = · , ab = -1 ，
即f (a) + f (b) = (a2 - 2a) + (b2 - 2b) = (a + b)2 - 2ab - 2(a + b)
= ( )2 - 2× (-1) - 2× = 5 - 2 ，故③正确，符合题意，
④: f (10) = 102 - 2× 10 = 80 ，f (9) = 92 - 2× 9 = 63 ，f (8) = 82 - 2× 8 = 48 ， f (7) = 72 - 2× 7 = 35 ，f (6) = 62 - 2× 6 = 24 ，f (5) = 52 - 2× 5 = 15 ，
f (4) = 42 - 2× 4 = 8 ，f (3) = 32 - 2 × 3 = 3 ，f (2) = 22 - 2× 2 = 0 ，
f (1) = 12 - 2× 1 = -1，
: f (10) - f (9) + f (8) - f (7) + f (6) - f (5) + f (4) - f (3) + f (2) - f (1) = 45 ，故④错误，不符合题意． :答案为②③ .
故选：B．
【点睛】本题考查了求代数式的值， 解一元二次方程，配方法求最值，完全平方公式的变形 等内容，掌握相关知识点并正确运用是解题关键．
15 ．2025
【分析】此题考查了配方法的应用， 非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的 新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列 出关于m 与n 的方程组，求出方程组的解得到m 与n 的值，进而利用非负数的性质确定出代 数式的最大值即可．
【详解】解： Q 关于x 的一元二次方程(m + 2)x2 + (n - 4)x + 8 = 0 与2(x -1)2 +1 = 0 是“同族二次 方程”，
: (m + 2)x2 + (n - 4)x + 8 = (m + 2)(x -1)2 +1，
: (m + 2)x2 + (n - 4)x + 8 = (m + 2)x2 - 2(m + 2)x + m + 3 ，
: í
ìm = 5
解得： íln = -10 ，
: mx2 + nx + 2030 ， = 5x2 -10x + 2030
= 5 (x -1)2 + 2025
Q 5(x -1)2 + 2025 ≥ 2025 ，
:代数式mx2 + nx + 2030 的最小值是2025 ． 故答案为：2025 ．
16 ． + 4
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定， 折叠的性质，勾股定理等等，由折叠的性质 可得AD¢ = AD = AD ¢¢, ∠AD¢B = ∠ADB = 90°, ∠AD¢¢C = ∠ADC = 90° ,
∠BAD¢ = ∠BAD， ∠D¢¢AC = ∠DAC ，BD ¢ = BD = 5，CD ¢¢ = CD = 3 ，这可证明上D¢AD ¢¢ = 90° , 进而可证明矩形AD¢ED ¢¢ 是正方形，设D¢E = D ¢¢E = AD ¢ = AD = x ，则
BE = x - 5，CE = x - 3 ，由勾股定理得(3 + 5)2 = (x - 5)2 + (x - 3)2 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ AD 为△ABC 的高，
: 上ADB = 上ADC = 90°
由折叠的性质可得AD¢ = AD = AD ¢¢, ∠AD¢B = ∠ADB = 90°, ∠AD¢¢C = ∠ADC = 90° , ∠BAD¢ = ∠BAD， ∠D¢¢AC = ∠DAC ，BD ¢ = BD = 5，CD ¢¢ = CD = 3 ，
∵ 上BAC = 上BAD + 上CAD = 45° ,
: 上D¢AD ¢¢ = ∠BAD¢ + ∠BAD +∠D¢¢AC +∠DAC = 90° , :四边形AD¢ED ¢¢ 是矩形，
:矩形AD¢ED ¢¢ 是正方形，
: D ¢E = D ¢¢E = AD ¢ = AD ，上E = 90° ,
设D¢E = D ¢¢E = AD ¢ = AD = x ，则 BE = x - 5，CE = x - 3 ， 在Rt△EBC 中，由勾股定理得BC2 = BE2 + CE2 ，
: (3 + 5)2 = (x - 5)2 + (x - 3)2 ，
解得x = + 4或x = 4 - （舍去），
故答案为： + 4 ．
17 ． /7
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关 键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长．
【详解】解：解方程x2 - 3x +1 = 0 ，
得：
即：直角三角形的两直角边分别 3 + 和 3 - ，
2 2
由勾股定理得斜边长为
故答案为： 、 ．
18 ． +1## 1+
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，连接AF ，设
AE = AB = AF = x ，则 AD= x - 3 ，由矩形的性质得到CD = AB = x， ∠ADC = 90° ,则 DF = CD - CF = x - 1，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 AF ，
设AE = AB = AF = x ，则 AD = x - 3 ，x > 3 ，
∵四边形ABCD 是矩形，
: CD = AB = x， ∠ADC = 90° , : DF = CD - CF = x - 1，
由勾股定理得AF2 = AD2 + DF2 ， : x2 = (x - 3)2 + (x -1)2 ，
: x2 - 8x +10 = 0 ，
解得x = 4 + 或x = 4 - （舍去），
: AE = 4 + ，
: AD = 4 + - 3 = + 1 ，
故答案为： +1．
19 ．2
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．运用整体的思想是解题的关键．
由 整理得(çè a + 2 - 4a + ö,÷ + 4 = 0 ，即 éêL(çè a + ÷- 22 = 0 ，然
后求解作答即可．
解
整理得(çè a + 2 - 4ça + ö,÷ + 4 = 0 ，
解得， ， 故答案为：2．
20 ．4 + 或4 -
【分析】本题考查了分式的运算、解一元二次方程，熟练掌握分式的运算法则和配方法解一 元二次方程是解题的关键．根据题意，用a 分别表示出S1 至S7 ，再由 S1 . S2 . S3 S7 = a 得 出关于a 的方程，解方程求出a 的值即可．
【详解】解：由题意得，S1 = ，
QS1 . S2 . S3 S7 = a ，
1 1+ a 2 + a 3 + 2a 5 + 3a 8 + 5a 13 + 8a
: . . . . . .
a 1 1+ a 2 + a 3 + 2a 5 + 3a 8 + 5a
= a ，
整理得：a2 - 8a -13 = 0 ，
配方得：(a - 4)2 = 29 ，
解得：a1 = 4 + ，a2 = 4 - ，
经检验：a1 = 4 + ，a2 = 4 - 都是分式方程的解，
: a 的值为4 + 或4 - ．
故答案为：4 + 或4 - ．
21 ．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，分式的化简求值．由条件得出n - m ≠ 0 ， > 0 ，再将方程去分母合并整理得 2n2 + 2mn - m2 = 0 ，然后两边同时除以 m2 得
2n2 2n
+ -1 = 0 ，再利用配方法求得方程的解，注意舍去不合题意的解
【详解】解：∵ m > n > 0 ，: n - m ≠ 0 ，
: 2n (n - m) + m(n - m) + 3mn = 0 ，即 2n2 - 2mn + mn - m2 + 3mn = 0 ，
: 2n2 + 2mn - m2 = 0 ，
两边同时除以 即 配方得 即
解得 或
故答案为： ．
22 ．C
【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到p ，q ，再根据一次函 数的性质判断即可得到答案；
【详解】解：方程x2 - 6x - 5 = 0配方得， (x - 3)2 = 5 + 9 = 14 ，
: p = -3 < 0 ，q = 14 > 0 ，
:直线y = px + q 经过一、二、四象限，不经过三象限， 故选：C．
23 ．3 +
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．分析图形可知，图 2 中的图象分为三段：当点 F 在AD 上时；当点 E 在AB 上，且点 F 在CD 上时；当点 E 在BC 上，且点 F 在CD 上时．图 2 中的最高点是当点 E 与点 B 重合时，y 的值为 4；当点 E 和点 F 相遇时，即到达点 C 时， 用时 6 秒．由此可求出AB = 4，AD = 2 ，由此可求出当点 E 运动 3 秒后y 的值，即可求出 m 的值，进而可求出 n 的取值．
【详解】解：由图 2 可知，当点 E 运动到点 B 时 即AB . AD = 8 ， 当点 E 和点 F 相遇时，即到达点 C 时，运动了6 秒，即AB + AD = 6cm ，
解得：AB = 4cm，AD = 2cm ， 当x =3 时，如图，AE = xcm ，
m = 1 . AE . FM = 1 × 3 × 2 = 3cm2 ；
2 2
当x =n 时，点 F 在CD 上，点 E 在BC 上，如图，
此时，EC = (6 - n)cm ，CF = (6 - n)cm ，BE = (n - 4)cm ，
解得n = 3 + ，或 n = 3 - （舍）．
故答案为：3 + ．
24 ．(1) x = -2 ，y = 1
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用， 一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次 函数的性质．
（1）根据题意把方程进行配方即可求解；
（2）先根据配方法求出 a 、b ，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的 交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：Q x2 + 4x + y2 - 2y + 5 = 0
: x2 + 4x + y2 - 2y +1+ 4 = 0
: x2 + 4x + 4 + y2 - 2y +1 = 0
: (x + 2)2 + (y -1)2 = 0
即(x + 2)2 = 0 ，(y -1)2 = 0
: x + 2 = 0 ，y -1 = 0 解得：x = -2 ，y = 1；
（2）Q a2 - 8a + b2 + 4b + 20 = 0
: a2 - 8a + b2 + 4b +16 + 4 = 0
: a2 - 8a +16 + b2 + 4b + 4 = 0
即(a2 - 8a +16)+ (b2 + 4b + 4) = 0
: (a - 4)2 + (b + 2)2 = 0
: a - 4 = 0 ， b + 2 = 0 解得a = 4 ，b = -2
将a = 4 ，b = -2代入一次函数y = ax + b ，得 y = 4x - 2 ，
令x = 0 ，则 y = 0 - 2 = -2 ；令 y = 0 ，则 4x - 2 = 0 ，解得
:该函数与x 轴的交点为 ，于y 轴的交点为(0, -2)
:一次函数y = 4x - 2 的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为
25 ．(1) > (2)6
(3) 22 + 8
【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用， 同时本题还考查了等高三角形的在面积计 算中的应用．
（1）根据题意可知 2 + 3 > 2 ，
令 则由a + b ≥ 2 ，即可得出答案．
（3）设S△BOC = x ，根据题意可得出S△得出当且仅当 即x = 4
112 112
x x
时，，四边形 ABCD 面积= 8 +14 + x + ≥ 22 + 2 x × = 22 + 8 ．
【详解】（1）解：∵ 2 > 0 ，3 > 0 ， : 2 + 3 > 2 ，
故答案为：>
解：令 则由a + b ≥ 2 ， 得
当且仅当x = 时，即正数x = 3 时，式子有最小值，最小值为 6， 故答案为：6；
（3）解：设S△BOC = x ，已知S△AOB = 8 ，S△COD = 14 ，
则由等高三角形可知：S△BOC : S△COD = BO : OD = S△AOB : S△AOD ，
:x :14 = 8 : S△AOD ，
: 四边形ABCD 的面积 当且仅当 即x = 4 时，取等号，
: 四边形ABCD 面积的最小值为22 + 87 ．
26 ．A
【分析】利用作差法，用完全平方公式，得 结合 非负性解答即可．
本题考查了大小比较，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得M = 2a2 - 5a +1 ，N = a2 - 6 ，
故M - N = 2a2 - 5a +1- a2 + 6
= a2 - 5a + 7
: M - N>0 ， : M > N ，
故选：A．
2024
27 ．
2025
【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用， 学会利用配方法求出未知数的值是解题的
关键．利用配方法把方程x2 + y2 - 2x - 4y + 5 = 0 变形为(x -1)2 + (y - 2)2 = 0 ，求出x, y 的值， 再代入到题目中的式子，利用裂项法求和即可解答．
【详解】解：Qx2 + y2 - 2x - 4y + 5 = 0 ，
:x2 - 2x +1+ y2 - 4y + 4 = 0 ，
:(x -1)2 + (y - 2)2 = 0 ，
:x -1 = 0 ，y - 2 = 0 ，
:x = 1 ，y = 2 ，
故答案为： ．