初中数学人教版（2024）九年级上册配方法复习练习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册配方法复习练习题，文件包含53无机非金属材料原卷版pdf、53无机非金属材料解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
专题 21 ．4 配方法（专项练习）（夯实基础篇）
【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题 10 题，填空题 8 题，解 答题 6 题，满分 120 分．
一、选择题（本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题均有四个选项,其 中只有一项符合题目要求）
（2025·新疆·三模）
1 ．下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A ．(x - 2)2 = -1 B ．(x - 2)2 = 0
C ．(x - 2)2 = 1 D ．(x - 2)2 = 2
（24-25 九年级上·辽宁沈阳·期末）
2 ．用配方法解方程x2 + x = 2 ，应把方程的两边同时( )
A ．加上 B ．加上 C ．减去 D ．减去
（24-25 八年级下·辽宁大连·期中）
3 ．用配方法解一元二次方程x2 - 8x + 4 = 0 ，配方的结果是( )
A ．(x + 4)2 = 18 B ．(x - 4)2 = 12
C ．(x + 4)2 = 12 D ．(x - 4)2 = 4
（2025·全国·模拟预测）
4．给出一种运算：对于函数y = xn ，规定y¢ = nxn-1 ．例如：若函数y = x4 ，则有y¢ = 4x3 ．已 知函数y = x3 ，则方程 y¢ = 12 的解是( )
A ．x1 = 4, x2 = -4 B ．x1 = 2, x2 = -2 C ．x1 = =x2 0
D ． （2025·山东淄博·一模）
5 ．已知x 为实数，设 则d 的最大值是 ( )
A ．2 B ．2 C ．5 D ．6
（23-24 八年级下·浙江杭州·期中）
6 ．无论 x 取任何实数，代数式都有意义，则 m 的取值范围是( )
A ．m ≥ 9 B ．m ≤ 9 C ．m < 9 D ．m > 9
（23-24 九年级下·福建福州·阶段练习）
7 ．已知点P 的坐标为(m -1, m2 - 2m - 3)，则点 P 到直线y= -5 的距离最小值为( )
A ． B ．1 C ．2 D ．3
（21-22 八年级下·湖北武汉·阶段练习）
8 ．已知关于 x 的多项式-x2 + mx + 6 的最大值为 7，则 m 的值可能是( )
A ．2 B ．4 C ．3 D ．5
（2025 八年级下·全国·专题练习）
9 ．已知三角形的三条边为a ，b ，c ，且满足a2 -10a + b2 -16b + 89 = 0 ，则这个三角形的最 大边c 的取值范围是( )
A ．c > 8 B ．5 < c < 8 C ．8 < c < 13 D ．5 < c < 13
（2025·辽宁·一模）
10．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如 图，。OABC ，点A 在x 正半轴上，点B 在直线 上，当点C 的“点积值”为20 ，点B 的 “点积值”为50 时，点A 的坐标为( )
A ．(4, 0) B ．(5, 0) C ．(6, 0) D ．(8, 0)
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
（2025·山西吕梁·二模）
11 ．方程 的根是 ． （23-24 九年级下·浙江·自主招生）
12 ．若x2 + y2 + 2z2 - xy - 2yz - 2x + 2 = 0 ，则x + y + z = ． （24-25 八年级下·山东烟台·期中）
13 ．关于 x 的一元二次方程mx2 + mx = 3x +12 中不含 x 的一次项，则此方程的解为 ． （24-25 八年级下·安徽阜阳·阶段练习）
14 ．若 其中 x 代表电路中的某个参数，则x = ． （24-25 九年级上·江苏南通·阶段练习）
15 ．已知实数m ，n 满足m - n2 = 2 ，则代数式 m2 + 2n2 + 4m 的最小值等于 ． （24-25 九年级上·山东德州·期末）
16 ．将一个关于 x 的一元二次方程配方为(x + m)2 = p ，若 2 ± 3 是该方程的两个根，则p 的值是 ．
（20-21 九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）
17 ．已知 △ABC 的两边分别为3 和4 ，第三边是方程x2 - 8x +15 = 0 的一个根，则△ABC 的面 积为 ．
（24-25 九年级上·山东济宁·阶段练习）
18．若方程2x2 - 4x -10 = 0 能配成(x + p)2 = q 的形式，则直线y = px + q 不经过第 象限．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分）
（23-24 九年级上·广西河池·期中）
19 ．已知实数 a ，b 满足 + (b +1)2 = 0 ，解关于 x 的一元二次方程x2 - ax - b = 0 ． （24-25 九年级上·宁夏银川·期中）
20 ．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) x2 - 4x = 2
(2) (x - 3)2 = (2x +1)2
（24-25 九年级上·河北唐山·期末）
21．下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0 且b2 - 4ac > 0 ）的求 根公式的过程．
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) x2 + b x = - c 第一 a a
步
x + a x + çè 2a ,÷ = - a + èç 2a ,÷
2 b ( b ö2 c ( b ö2 第二步
(1)嘉淇的解法从第_____步开始出现错误；
事实上，当b2 - 4ac > 0 时，方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式是_____；
(2)用配方法解方程：x2 - 6x + 3 = 0 ． （2025·河北唐山·二模）
22．课堂上老师设计了一种运算 例如
(2)将任意 x 的值代入 进行运算， 发现运算结果总是不超过 12，请验证这个结论．
(1)已知 x 为非零实数，计算： 2x +1 x2
1 3
（2024 九年级上·全国·专题练习）
23 ．我们知道：对于任何实数x ，
① Q 2x2 - 8x + 9 ≥ 0 ，: 2(x - 2)2 +1 > 0 ；@ Q (x - 2)2 ≥ 0 ，: 2(x - 2)2 > 0 ． 请模仿上述方法解答：
(1)求证：对于任何实数x ，都有 2(x - 2)2 +1 > 0 ；
(2)不论x 为何实数，请通过运算，比较多项式3x2 - 5x -1与x2 + 3x -10 的值的大小． （24-25 八年级上·四川眉山·期末）
24．阅读理解：我们一起来探究代数式x2 + 2x + 3的值，探究一：当x =1 时，代数式x2 + 2x + 3 的值为 6，当 x =2 时，代数式x2 + 2x + 3的值为 11，可见，代数式 x2 + 2x + 3的值随 x 的值 的变化而变化．
探究二：把代数式 x2 + 2x + 3进行变形，如： x2 + 2x + 3 = x2 + 2x +1+ 2 = (x +1)2 + 2 ，可得： 当x = _____时，代数式x2 + 2x + 3有最小值，最小值为_____．
请回答下列问题：
(1)请补充完成探究二，直接在横线处填空；
第三步 第四步
(2)当x 取何值时，代数式-x2 + 14x + 10 有最大值，最大值为多少?
(3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌40m 长的墙的材料，问：当AB 为多少米， 围成长方形花园ABCD 的面积有最大值，最大面积是多少?
(4)
1 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题 的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A 、(x - 2)2 = -1< 0 ，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B 、(x - 2)2 = 0 ，解得：x1 = =x2 2 ，故本选项符合题意；
C 、(x - 2)2 = 1 ，x - 2 = ±1，解得 x1 = 3, x2 = 1，故本选项不符合题意；
解得 故本选项不符合题意． 故选：B．
2 ．C
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平 方公式进行配方即可得．
【详解】解：x2 + x = 2 ，
所以用配方法解方程x2 + x = 2 ，应把方程的两边同时加上 ，即减去 ， 故选：C．
3 ．B
【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握 配方法．
结合完全平方公式进行配方即可得解．
【详解】解：根据完全平方公式可得 (x - 4)2 = -4 +16 ， 即(x - 4)2 = 12 ．
故选：B ．
4 ．B
【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用
方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法， 结合方程的特点选择合适、简便的方 法是解题的关键．
根据新定义得出3x2 = 12 ，利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：由题意可知，3x2 = 12 即x2 = 4 ，
解得：x1 = 2, x2 = -2 ，
故选：B．
5 ．B
【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离， 掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距 离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关 系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，x2 + 6x + 25 = x2 + 6x +16 + 9 = (x + 3)2 + 42 ，
上式表示A(x, 0) 与B(-3, 4) 之间的距离， x2 - 2x + 5 = x2 - 2x +1+ 4 = (x -1)2 + 22 ， 上式表示A(x, 0) 与C(1, 2) 之间的距离，
由勾股定理得
结合三角形三边关系得d 的最大值是点 B 和点 C 的距离，即d 的最大值 ， 故选：B．
6 ．A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：: x2 - 6x + m = x2 - 6x + 9 - 9 + m = (x - 3)2 + m - 9 ，且无论 x 取任何实数，代数 式 都有意义，
: m - 9 ≥ 0 ， : m ≥ 9 ．
故选：A
7 ．B
【分析】考查了配方法的应用，非负数的性质，坐标与图形性质，关键是得到点 P 到直线
y = -5 的距离是m2 - 2m - 3 - (-5) ．
点P 到直线y= -5 的距离是m2 - 2m - 3 - (-5) ，利用配方法即可得到点P 到直线y= -5 的最 小值．
【详解】解：点 P 到直线y = -5 的距离是m2 - 2m - 3 - (-5) =| m2 - 2m + 2 |=| (m -1)2 +1| ， 当m -1 = 0 时，点P 到直线y= -5 的最小值为 1．
故选：B．
8 ．A
【分析】将多项式配方后解答即可．
解 因为关于x 的多项式-x2 + mx + 4 的最大值为 7，
所以 解得：m = ±2 ， 所以可能为 2．
故选：A．
【点睛】此题考查配方法的运用，关键是将多项式配方后解答．
9 ．C
【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系， 解题关键是熟练 掌握配方法在三角形的三边关系中的应用．
先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值， 然后根据三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：Qa2 -10a + b2 -16b + 89 = 0 ，
:(a2 -10a + 25) + (b2 -16b + 64) = 0 ，
:(a - 5)2 + (b - 8)2 = 0 ，
Q (a - 5)2 ≥ 0 ，(b - 8)2 ≥ 0 ，
: a - 5 = 0 ，b - 8 = 0 ，
: a = 5 ，b = 8 ，
Q三角形的三条边为a ，b ，c ，
:b - a < c < b + a ，
:3 < c < 13 ，
又Q这个三角形的最大边为c ，
:8 < c < 13 ．
故选：C ．
10 ．C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解一元二次方程，平行四边形的性质，熟练掌握 一次函数的图象是解题关键．
根据题意设 ，通过“点积值”的定义求出点B 坐标，根据平行四边形的性质结合“点 积值”求出点C 的坐标，即可求解点A 的坐标．
【详解】解：Q 点B 在直线 上， : 设 ，
Q 点B 的“点积值”为50 ，
解得：x = ±10 ， :B(10, 5) 或B(-10, -5) ，
Q 四边形OABC 是平行四边形，
: OA = BC ，
: 设C (c, 5) 或C(c, -5) ， Q 点C 的“点积值”为20 ，
:5c = 20 或-5c = 20 ，解得：c = ±4 ，
:BC = OA = 6 ，
Q 点A 在x 正半轴上， : A(6, 0) ．
故选：C．
11 ． ，
【分析】此题考查了解一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的方法：直接利用开平法求解即 可．
解
故答案为
12 ．5
【分析】本题考查配方法的应用， 非负数的性质，代数式求值，熟练掌握利用完全平方公式 配方是解题的关键．先通过等式的变形对等式左边进行变形及配方，再利用非负数的性质求 解即可．
【详解】解：x2 + y2 + 2z2 - xy - 2yz - 2x + 2 = 0 ，
两边同乘以2 ，得：2x2 + 2y2 + 4z2 - 2xy- 4yz - 4x + 4 = 0 ， 变形为：(x2 - 4x + 4) + (x2 - 2xy + y2 ) + (y2 - 4yz + 4z2 ) = 0 ， 得：(x - 2)2 + (x - y )2 + (y - 2z )2 = 0 ，
∵ (x - 2)2 ≥ 0 ，(x - y )2 ≥ 0 ，(y - 2z )2 ≥ 0 ， : x - 2 = 0 ，x - y = 0 ，y - 2z = 0 ，
解得：x = 2 ，y = 2 ，z = 1， 则x + y + z = 2 + 2 +1 = 5 ，
故答案为：5 ．
13 ．x1 = 2, x2 = -2
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是 解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可．
【详解】解：∵一元二次方程mx2 + mx = 3x +12 中不含 x 的一次项， 即mx2 + (m - 3)x =12 不含 x 的一次项，
: m - 3 = 0 ， : m = 3 ，
:原方程为3x2 = 12 ， 解得：x1 = 2, x2 = -2 ，
故答案为：x1 = 2, x2 = -2 ．
14 ．x = 或x = -3
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，根据题意可得、/3 - 2x = 0 或
x2 - 9 = 0，则3 - 2x =0 或x2 = 9 ，据此求解即可． 【详解】解：∵ . (x2 - 9) = 0 ，
: · = 0 或 x2 - 9 = 0，
: 3 - 2x = 0 或x2 = 9 ， 解得 或x = ±3 ， ∵ 3 - 2x ≥ 0
: x =3 不符合题意舍去
故答案为：x = 或x = -3 ．
15 ．12
【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键．
根据已知条件得到 n2 = m - 2 ， m = n2 + 2 ≥ 2， 代入代数式，运用配方法得到(m + 3)2 -13 ， 当m + 3 = 5 时取得最小时，由此计算即可．
【详解】解：实数 m ，n 满足m - n2 = 2 ，
: n2 = m - 2 ，m = n2 + 2 ，
:代数式m2 + 2n2 + 4m 变形得到, m2 + 2(m - 2) + 4m
= m2 + 4m + 2m - 4
= m2 + 6m - 4
= (m + 3)2 -13 ， ∵ m = n2 + 2 ≥ 2 ， : (m + 3)2 ≥ 5 ，
当m + 3 = 5 时取得最小时，
: (m + 3)2 -13 ≥ 52 -13 = 25 -13 = 12 ，
∴最小值为12
故答案为：12 ．
16 ．3
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可．
【详解】解：将一个关于 x 的一元二次方程配方为(x + m)2 = p ，
∴ p = 3 ，
故答案为：3．
17 ．2 或6
【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，勾股定理逆定理，等腰三角形的 性质，熟练掌握这些形状和方法，能熟练求直角三角形和等腰三角形面积是解题的关键．首 先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理确定第三边的长，再分类判断三角形的形状， 进而求其面积即可．
【详解】解：解方程x2 - 8x +15 = 0 ，
得：x1 = 3 ，x2 = 5 ，
Q△ABC 的两边分别为3 和4 ， : 4 - 3 < 第三边的边长< 4 + 3 ， 即1 < 第三边的边长< 7 ，
:第三边的边长为3 或5 ．
①当x =5 时， 又32 + 42 = 52 ，
:此三角形是直角三角形，
:这个三角形的面积是
②当x =3 时，
此三角形是等腰三角形，
如图，设AB = AC = 3 ，BC = 4 ，
过点A 作AD ^ BC 于点D ，
: BD = CD = BC = 2 ，
: AD = = 、 ，
:等腰三角形的面积为 故答案为：2或6 ．
18 ．三
【分析】本题主要考查了配方法的应用， 一次函数图象与其系数的关系，先把二次项系数化 为 1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方 得到(x -1)2 = 6 ，则p = -1，q = 6 ，据此可得直线y = px + q = -x + 6 经过第一、二、四象限， 不经过第三象限．
【详解】解：∵ 2x2 - 4x -10 = 0 ，
: x2 - 2x - 5 = 0 ， : x2 - 2x = 5 ，
: x2 - 2x + 1 = 6 ， : (x -1)2 = 6 ， : p = -1，q = 6 ，
:直线y = px + q = -x + 6 经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为；三．
19 ．x1 = =x2 1
【分析】本题主要考查了二次根式的非负性， 二次方的非负性，一元二次方程的解法，根据 题意得出a = 4 ，b = -2 ，是解题的关键．
先根据 ·、ia - 2 + (b +1)2 = 0 ，得出 a = 2 ，b = -1 ，得出一元二次方程x2 - 2x +1 = 0，解方程 即可．
: a - 2 = 0 ， b + 1 = 0
: a = 2 ，b = -1
原方程化为x2 - 2x +1 = 0
(x -1)2 = 0 : x1 = =x2 1．
20 ．(1) x1 = 2 + , x2 = 2 -
(2) x1 = -4 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式 法是解题的关键．
（1）利用配方法即可求解；
（2）利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：x2 - 4x = 2 x2 - 4x + 4 = 6
(x - 2)2 = 6
x - 2 = ±
: x1 = 2 + , x2 = 2 - ；
（2）解：(x - 3)2 = (2x +1)2
x - 3 = 2x +1或x - 3 = -2x -1
解得：x = -4 或
:原方程的根为：x1 = -4 ，x2 = ．
四
(2) x1 = 3 + x2 = 3 -
【分析】本题考查配方法解一元二次方程：
（1）观察可知，第四步，等号两边同时开平方时出现错误，应为
（2）先移项，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 【详解】（1）解：嘉淇的解法从第四步开始出现错误；
事实上，当b2 - 4ac > 0 时，方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式是 故答案为：四
（2）解：x2 - 6x + 3 = 0 ，
x2 - 6x = -3 ，
x2 - 6x + 9 = -3 + 9 (x - 3)2 = 6
x1 = 3 +
22 ．(1) 0
(2)见解析
【分析】本题考查的是新定义运算的含义， 同底数幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合 并同类项，以及配方法的应用．
（1）根据新定义运算代入计算即可．
（2）根据新定义运算可得 6x + 3 - x2 ，再进一步结合配方法证明即可 解
证明
= 6x + 3 - x2
= -(x2 - 6x) + 3
= -(x - 3)2 + 12 ， ∵ (x - 3)2 ≥ 0 ， : -(x - 3)2 ≤ 0 ，
:-(x - 3)2 +12 ≤ 12 ，
即无论 x 为何值，运算结果都不超过 12．
23 ．(1)见解析
(2) 3x2 - 5x -1 > x2 + 3x -10
【分析】本题考查了配方法的应用， 以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是 解本题的关系．
（1）根据非负数的性质解答；
（2）利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）证明：Q (x - 2)2 ≥ 0 ，
: 2(x - 2)2 +1 > 0 ；
（2）解：(3x2 - 5x -1) - (x2 + 3x -10) = 3x2 - 5x -1 - x2 - 3x + 10 = 2x2 - 8x + 9 = 2(x - 2)2 + 1， Q (x - 2)2 ≥ 0 ，
: 2(x - 2)2 ≥ 0 ，2(x - 2)2 +1 > 0 ．
:3x2 - 5x -1 > x2 + 3x -10 ．
24 ．(1) -1 ，, 2
(2) x =7 ，最大值为 59
(3) AB = 10m 时，长方形花园ABCD 的面积有最大值，最大面积是200m2
【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键．
（1）根据平方数的非负性，可得(x +1)2 ≥ 0 ，则当(x +1)2 = 0 时，取得最小值，由此即可求 解；
（2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，-x2 +14x +10 = - (x - 7)2 + 59 ，结合（1）的 方法即可求解；
（3）设 AB = CD = xm ，则BC = (40 - 2x)m ，则有
S长方形ABCD = AB·BC = x (40 - 2x) = -2x2 + 40x ，结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵ (x +1)2 ≥ 0 ，则 (x +1)2 + 2 ≥ 2 ，
:当(x +1)2 = 0 时，取得最小值，
:当x = -1 时，代数式有最小值，最小值为2 ， 故答案为：-1 ，, 2 ；
（2）解：代数式 -x2 + 14x + 10 变形得= - (x2 -14x + 72 )+ 59 = - (x - 7)2 + 59 ， ∵ - (x - 7)2 ≤ 0 ，则 - (x - 7)2 + 59 ≤ 59 ，
:当- (x - 7)2 = 0 时，取得最大值，最大值为59 ， :当x =7 时，代数式有最大值，最大值为59；
（3）解：四边形 ABCD 是长方形，
:设AB = CD = xm ，则BC = (40 - 2x)m ， : 40 - 2x ≤ 25 ，
解得，x ≥ 7.5 ，
: S长方形ABCD = AB·BC = x (40 - 2x) = -2x2 + 40x ，
∵ -2x2 + 40x = -2(x2 - 20x +102 -102 ) = -2(x -10)2 + 200 ，
:当x =10 时，长方形花园ABCD 的面积有最大值，最大面积是200m2 ，．