初中数学人教版九年级上册21.2.1 配方法精品ppt课件

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1.理解配方法的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）
(1) 9x2=1 ；
(2) (x－2)2=2.
1.用直接开平方法解下列方程.
2.你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
3.下列方程能用直接开平方法来解吗?
x2+6x+9 =5；
转化成(x+3)2=5的形式，再利用开平方
化为一般式，得x2+6x-16=0
要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？
解：设场地宽为xm，则长为（ x＋ 6）m，根据长方形面积为16m2，列方程得
解：方程变形为(x+3)2=5，
试一试 解方程： x2+6x+9 =5.
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2 − 6x+ = ( x − )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
x2 − x+ = ( x − )2
二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
填一填：x2+px+( )2=(x+ )2
想一想 怎样解方程: x2+4x+1=0 (1)
问题1 方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？
x2+4x=−1
x2+4x+4=−1+4
为什么在方程x2+4x=−1的两边加上4？加其他的数，行吗？
( x+2)2=3
像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方法解方程的基本思路
把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.(2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程.(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.
2x2 − 3x= −1，
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
为什么方程两边都加12？
1. 用配方法解下列方程. （1）x2+10x+9=0； （2）x2+4x-9=2x-11;
解：移项, x2+10x=-9 配方, x2+10x+25=16 (x+5) 2=16 x+5=±4方程的两个根为 x1=-1，x2=-9
解：移项, x2+2x=-2 配方, x2+2x+1=-1 (x+1)2=-1 方程没有实数根.
(1)x2+8x+4=0；
(2)4x2+8x=-4；
(3)－2x2+6x－8=0.
解：移项，得x2+8x=－4.
配方，得(x+4)2=12.
解：整理得x2+2x+1=0.
配方，得(x+1)2=0.
开平方，得x+1=0.
解得x1=x2=−1.
解：整理得x2 − 3x= −4.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. （Ⅱ）
①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根 x1=x2=-n.③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
例2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式− x2 − x −1的值总是负数，并求出它的最大值.
解：− x2 − x −1=−(x2+x+ )+ −1
所以− x2 − x −1的值总是负数.
当 时，− x2 − x −1有最大值
应用配方法求最值.(1) 2x2 − 4x+5的最小值； (2)−3x2 + 6x−7的最大值.
解：原式 = 2(x −1)2 +3 当x =1时，有最小值3.
解：原式= −3(x − 1)2 －4 当x =1时，有最大值− 4.
含有二项式的代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x+m)2+n的形式来解决.
例3.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
2.求最值或证明代数式的值恒为正（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
1.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2−4b＋4=0，则a2＋(b−2)2=0，即a=0，b=2.
1. 一元二次方程y2﹣y﹣ =0配方后可化为（　　） A. (y+ )2=1 B. (y- )2=1 C. (y+ )2= D. (y- )2=
一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-42. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根
3. 用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为( ) A. (x+3)2=16 B.(x-3)2=16 C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=24. 填空. (1) 4x2+4x+1= (2) x2－30x+225=
（1）x2+4x−9=2x−11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2−6x−3=0； （4） 3x2+6x−9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2= −1.
解：x2−4x−12=0，
(x −2)2=16.
x1=6，x2= −2；
解：x2+2x－3=0，
x1= −3，x2=1.
6.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.
解：根据题意得x2+1=2x+4
整理得x2−2x−3=0，
配方得(x−1)2=4，
解得x1=−1，x2=3.
7.试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程．
证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，
∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程．
8. 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2 −4k＋5=k2−4k＋4＋1
因为(k −2)2≥0，所以(k−2)2＋1≥1.
所以k2 −4k＋5的值必定大于零.
9.若 ，求(xy)z 的值.
10. 若a，b，c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状.
所以，△ABC为直角三角形.
通过配成完全平方的形式解一元二次方程的方法.
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.