数学人教版（2024）一元二次方程课时作业

这是一份数学人教版（2024）一元二次方程课时作业，共32页。试卷主要包含了1 一元二次方程（知识梳理，85 ，“”难度系数 0，41，84等内容，欢迎下载使用。
专题 21.1 一元二次方程（3 大知识点8 类题型）（知识梳理
与题型分类讲解）
一、【学习目标】
1 ．清晰理解一元二次方程的概念，能够准确辨别一个方程是否为一元二次方程；
2．熟练掌握一元二次方程的一般形式ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，并能准确指出方程中各项的系 数；
3 ．深刻理解一元二次方程解（根）的概念，能够通过代入法检验一个数是否为给定一元二 次方程的解；
4 ．感受数学与生活的紧密联系，体会利用一元二次方程解决实际问题的价值，从而增强学 习数学的兴趣和应用数学的意识．
二、【知识梳理】
【知识点 1】一元二次方程的定义
（1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是 2 次的整式方程， 叫做一元二次方程．
（2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只 含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是 2．
【知识点 2】一元二次方程的一般形式
【知识点 3】一元二次方程的解（根）
一般形式
ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
项及项的系 数
二次项为ax2 ; 二次项系数为a .
一次项为bx ；一次项系数为b .
常数项为c .
特点
方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为
0．
三、【题型目录】
【夯实基础】
【题型一】一元二次方程的定义
【题型二】化成一元二次方程的一般式
【题型三】一元二次方程的解（整体思想） 【题型四】一元二次方程的解的估算
【拓展延伸】
【题型五】综合一元二次方程的解用整体思想与降次思想化简求值 【题型六】一元二次方程与分式运化简综合求值
【题型七】一元二次方程与几何综合求值
【题型八】一元二次方程与一次函数综合求值
四、【题型展示与方法点拨】
【特别说明】序号前带“”难度系数 0.85 ，“”难度系数 0.65 ，“”难度系数 0.4． 【夯实基础】
【题型一】一元二次方程的定义
【例题 1】
（24-25 九年级上·安徽宿州·阶段练习）
1 ．当m 为何值时，方程(m -1)xm2 +1 + 2mx + 3 = 0
(1)是关于x 的一元一次方程．
(2)是关于x 的一元二次方程．
【变式 1】
（23-24 九年级上·四川南充·阶段练习）
2 ．下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是( )
概念
使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解， 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
判断一个数是不是一元二 次方程的解（根）的方法 （代入检验法）
l左边 ≠ 右边 → 不是方程的解
若一元二次方程有解，则这个解一定有两个
数代入方程 í
ì左边 = 右边 → 是方程的解
A ． B ．ax2 + bx + c = 0
C ．x2 + x - 2 = 0 D ．3x - 2xy + 5y2 = 0
【变式 2】
（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
3 ．方程(a - 2)x|a| + 2x - 7 = 0 是关于x 一元二次方程，则a 的值为 ．
【题型二】化成一元二次方程的一般式
【例题 2】
（24-25 九年级上·河南安阳·阶段练习）
4 ．一元二次方程(x +1)(x +3) = 9 的一般形式是 ．
【变式 1】
（24-25 八年级下·江西宜春·期中）
5 ．把一元二次方程x (2x -1) = 4x 化成一般式，则a, b, c 的值分别是 ( )
A ．1 ，4 ，1 B ．2 ，-5 ，0 C ．3 ，4 ，0 D ．-2 ，-5 ，1
【变式 2】
（24-25 八年级下·浙江杭州·阶段练习）
6．一元二次方程2x2 - 8x = 5 化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常 数项为 ．
【题型三】一元二次方程的解
【例题 3】
（2025·广东潮州·二模）
7 ．已知
(1)化简 P；
(2)若 a 为方程x2 - 3x -15 = 0 的一个解，求 P 的值．
【变式 1】
（24-25 九年级上·四川南充·阶段练习）
8 ．若 m 是一元二次方程x2 - 5x - 1 = 0的一个实数根，则m2 - 5m + 2024的值是( )
A ．2023 B ．2024 C ．2025 D ．2026
【变式 2】
（24-25 九年级上·重庆合川·期末）
9 ．已知m 是方程 的根，则代数式2024 - 3m2 + m 的值为 ．
【题型四】一元二次方程的解的估算
【例题 4】
（23-24 九年级上·全国·单元测试）
10 ．小贝在做“一块矩形铁片，面积为1，长比宽多 3 ，求铁片的长”时是这样做的：设铁片 的长为x ，列出的方程为x (x - 3) = 1 ，整理，得x2 - 3x -1 = 0.小贝列出方程后，想知道铁片 的长到底是多少.下面是它的探索过程：
第一步：
所以 < x < ; 第二步：
所以 < x < ．
(1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少? 十分位为多少? 【变式 1】
（2025·贵州贵阳·一模）
11 ．根据表格中的信息，估计一元二次方程x2 - 3x - 5 = 0的一个解的范围是( )
A ．-2 0， 则可判断 x2 + 12x - 15 = 0时， 有一个解满足1.1 < x < 1.2 ．
【详解】解：由题意得
:当x = 1.1 时，x2 +12x -15 = -0.59 < 0 ； 当x = 1.2 时，x2 +12x -15 = 0.84 > 0 ，
:当1.1 < x < 1.2 时，x2 + 12x - 15 = 0必有一个解， :x 的取值范围是1.1 < x < 1.2 ．
故答案为：1.1 < x < 1.2 ．
13 ．2020
【分析】由题意可得出 m 2 + m - 3 = 0 ，可变形为 m2 + m = 3 ，m2 = 3 - m ．再由
m3 + 2m2 - 2m + 2017 = m(m2 - 2)+ 2m2 + 2017 ，将 m2 = 3 - m代入化简得-(m2 + m) + 2023 ， 再将m2 + m = 3代入求值即可．
【详解】:m 是方程式x2 + x - 3 = 0的根， : m 2 + m - 3 = 0 ，
: m2 + m = 3 ，m2 = 3 - m ．
m3 + 2m2 - 2m + 2017 = m(m2 - 2)+ 2m2 + 2017 ，
将m2 = 3 - m代入，得： m(3 - m - 2) + 2(3 - m) + 2017 = -(m2 + m) + 2023 ，
再将m2 + m = 3代入，得： -(m2 + m) + 2023= -3 + 2023 = 2020 ．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．
14 ．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将m2 - 5m + 3 = 0变形为m2 = 5m - 3 ，代入
x
-1
1
1.1
1.2
x2 +12x
-11
13
14.41
15.84
x2 + 12x - 15
-26
-2
-0.59
0.84
x3 + px2 + q = 0 得(22+ 5p)m -15 - 3p + q = 0 ，根据 m 有两个值，则22 + 5p = 0 ，即可求解． 【详解】解：∵m 为方程 x2 - 5x + 3 = 0 的解，
: m2 - 5m + 3 = 0 ， : m2 = 5m - 3 ，
∵m 是方程 x3 + px2 + q = 0 ，
: m3 + pm2 + q = 0
把m2 = 5m - 3代入m3 + pm2 + q = 0 ，得 m (5m - 3) + p(5m - 3) + q = 0 ， : 5m2 + (5p - 3)m - 3p + q = 0
: 5 (5m - 3) + (5p - 3)m - 3p + q = 0 ， :(22+ 5p)m -15 - 3p + q = 0 ，
∵m 为方程 x2 - 5x + 3 = 0 的解，m 也为方程 x3 + px2 + q = 0 的解， : m 是两个不相等的值，
:对于(22+ 5p)m -15 - 3p + q = 0 来说，22 + 5p = 0 ，
故选：C
15 ．-5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化 法”，即将所求转化为求(9 + a )x2 + (-6 + b)x + c +1 = k (x2 - 3x +1)（其中 k 为常数）的相应 的系数间的关系．
设 m 是方程x2 - 3x +1 = 0的一个根，根据方程解的意义知，m 既满足方程x2 - 3x +1 = 0，也 满足方程x4 + ax2 + bx + c = 0，将 m 代入这两个方程，并整理，得
(9 + a )m2 + (-6 + b)m + c +1 = 0 ．从而可知：方程x2 - 3x +1 = 0的两根也是方程
(9 + a )m2 + (-6 + b)m + c +1 = 0 的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后 根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设 m 是方程x2 - 3x +1 = 0的一个根， 则m2 - 3m + 1 = 0 ，所以 m2 = 3m -1．
由题意，m 也是方程x4 + ax2 + bx + c = 0的根， 所以m4 + am2 + bm + c = 0 ，
把m2 = 3m -1代入此式，得(3m -1)2 + am2 + bm + c = 0 ， 整理得(9 + a )m2 + (-6 + b)m + c +1 = 0 ．
从而可知：方程x2 - 3x +1 = 0的两根也是方程(9 + a )m2 + (-6 + b)m + c +1 = 0 的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（(9 + a )x2 + (-6 + b)x + c +1 = k (x2 - 3x +1)（其中 k 为常数）， 所以9 + a = k ，-6 + b = -3k ，c +1 = k ，
所以 a = k - 9 ，b = -3k + 6 ，c = k -1，
因此，a + b + 2c = k - 9 + (-3k + 6) + 2(k -1) = -5 ． 故答案为：-5
16 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值， 根据一元二次方程的解的定义得 出m (m - 3) = 2 ，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是 解此题的关键．
【详解】解：∵ m 是方程x2 - 3x - 2 = 0的一个根，
: m2 - 3m - 2 = 0 ，
: m2 - 3m = 2 ，
: m (m - 3) = 2 ，
= m - 3) . m (m - 3)
=
2
2
=
2
= 1，
故选：B．
17 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边 相等的未知数的值得到a2 - a - 11 = 0 ，进而得到a2 - a = 11，a2 - 11= a ，再把所求式子转化
为 据此整体代入求解即可．
【详解】解：∵a 是关于 x 的一元二次方程x2 - x -11 = 0 的一个根，
: a2 - a - 11 = 0 ，
: a2 - a = 11，a2 - 11 = a ，
21
故答案为： ．
18 ．1
【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值等知识点， 掌握一元二次方程解的 定义以及分式方程的求解方法是解题的关键
根据一元二次方程的解的定义得出m (m - 3) = 2 ，再将分式进行化简，整体代入计算即可得 解答．
【详解】解：∵ m 是方程x2 - 3x - 2 = 0的一个根，
: m2 - 3m - 2 = 0 ，
: m2 - 3m = 2 ，
: m (m - 3) = 2 ，
2
= ——
2
= 1．
19 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把x2 + mx - n = 0及图形按照样例那样去分析即可． 【详解】解:把方程x2 + mx - n = 0变形得到x (x + m) = n ，
如图，将四个长为x + m，宽为x 的长方形纸片（面积均为n ）拼成一个大正方形，于是大 正方形的面积为36 = 4n + 4 ，解得 n = 8 ，
小正方形边长为 = 2 = x + m - x = m ，
故得x (x + m) = n 的正数解为 ， 即 n = 8 ， m = 2 ，
故选：C．
20 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关 键．根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果．
【详解】解：由勾股定理得：BC2 + AC2 = AB2
整理得：AD2 + a . AD = b2
∵ x2 + ax = b2
: AD 的长是方程x2 + ax = b2 的一个正根 故选：C．
21 ．1
【分析】此类考查了勾股定理的证明，利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 c 的值， 根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．
【详解】把 x = -1 代入ax2 + cx + b = 0 得a - c + b = 0 ， : a + b = c ，
:四边形ACDE 的周长是6 ， : 2a + 2b + c = 6
: 2 (a + b) + c = 2c + c = 6 ， 解得c = 2
: a2 + b2 ，a + b = c = 2
: 2ab = (a + b)2 - (a2 + b2 ) = (2)2 - 4 = 4 ， : ab = 2 ，
故答案为：1．
22 ．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式、一次函数的性质等知识点，利用一元二 次方程的一般形式得出方程组是解题关键．
根据一元二次方程的一般形式列方程组可解得 从而求得 即可 判断函数图像不经过第四象限．
【详解】解：一元二次方程a (x -1)2 + b(x -1) + c = 0 化为一般形式后为 ax2 + (b - 2a )x + (c + a - b) = 0 ，
:一元二次方程a (x -1)2 + b(x -1) + c = 0 化为一般形式后为3x2 - 2x + 8 = 0 ， 得 解得
:一次函数y = x + c 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
23 ．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质 及一元二次方程的解是解题的关键．将x = -1 代入关于 x 的一元二次方程，得出关于 a ，b 的等式，再由一次函数y = ax + b 的图象经过第一、二、四象限，得出 a ，b 的正负，最后用 a 表示 t 得出 t 的范围，再用 b 表示 t，得出 t 的范围即可解决问题．
【详解】解：由题知，
将x = -1 代入关于 x 的方程得， ．
∵一次函数y = ax + b 的图象经过第一、二、四象限，
: a < 0 ， b > 0 ，
∵ t = a + 2b ，且
∵ b > 0 ，
即
同理可得，t < 1，
故选：C．
24 ．D
【分析】首先确定 a 的值，然后确定函数的图像经过的位置即可． 【详解】解：∵x ＝3 是关于 x 的方程 的一个根，
解得：a ＝2，
:一次函数y ＝2x+2 不经过第四象限， 故选：D．
【点睛】考查了一元二次方程的解的知识及一次函数的性质，解题的关键是根据题意求得 a 的值．