人教A版选择性必修一高二数学上册期末复习练习：空间向量在立体几何最值问题的应用（2份，原卷版+解析版）

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一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；
二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；
三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.
二、解决立体几何中的最值问题常用方法
1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。
2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。
3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。
如：、、最小角定理所建立的不等关系等。
4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。
5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。

题型一 空间角的最值范围问题
【例1】在正方体中，动点M在线段上，E，F分别为，AD的中点．若异面直线EF与BM所成角为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】以D点为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向
建立空间直角坐标系．设DA＝2，，
故，，．设，
则，则
．当时，取到最大值，此时，当时，取到最小值，此时，
所以的取值范围为，故选:ABC．
【变式1-1】如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，2，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为_________.
【答案】
【解析】以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，，则，
，设平面的法向量为
则，令，则，所以平面的一个法向量
因为所以点P到平面BFE的距离
因为，
所以在等腰中，到的高为，所以
因为，所以所以或(舍去)，
设直线与所成的角为，则，
所以，
所以的最大值为，此时最小，此时最小，因为，且，所以，所以，即直线CP与所成角的正切值的最小值为，
故答案为：
【变式1-2】如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.
（1）证明：；
（2）若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】（1）证明：取中点，连接，
因为，所以，且，
所以平面，又平面，所以.
（2）连接，则，由，可得，
于是，所以，
又，所以平面，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由，可得，
平面的法向量为，设，
则，设与平面所成角为，
则，
令，则，
令，由对称轴知，
当，即时，，，于是
直线与平面所成角的正切的最大值为2.
【变式1-3】如图，在长方体中，，.若平面与棱，分别交于，，且，，分别为棱，上的点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成的夹角的余弦值的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为为长方体，所以平面，
又平面，，，，
又，，即，
所以，即，
又，，平面，平面，
平面，平面平面；
（2）以点为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴，
，平面，且平面平面，
，，四边形为平行四边形，，
，，，所以，，，，，
，，设平面的法向量为，
则，令，则，且，
又由（1）得平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，设，则，
即，
所以当，即，时，取得最小值为.
题型二 空间距离的最值范围问题
【例2】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝2，DA＝DD1＝1，点M、N分别为A1D和CD1上的动点，若MN∥平面AA1C1C，则MN的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图建系，由题意可设，，，
又 ，，平面的法向量，
又 面，即，
，
最小值为.故选：A.
【变式2-1】在长方体中， ，点在棱上，且，点在方形内．若直线与所成的角等于直线与所成的角，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴，
，
∴，∴，
故点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆，
由圆的性质可得.故选：A.
【变式2-2】已知正方体的棱长为2，点E为的中点，过B，E，三点的平面截该正方体所得的截面记为，若，则线段长度的最小值为______．
【答案】
【解析】设平面与平面交于，F在上，
又平面与平面交于直线BE，
因为平面∥平面，所以∥，同理∥，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又E是的中点，所以F是的中点．
以点D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，连接，如图所示，则，，，，
所以，．设平面的一个法向量为，
则，令，则．又，
所以线段长度的最小值，即点到平面的距离．
【变式2-3】如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故答案为：
题型三 面积、体积的最值范围问题
【例3】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，由二面角的平面角大小为，
可知Q的轨迹是过点D的一条直线，又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），
则Q的轨迹是过点D的一条线段.设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，
由题意可知，，，
所以，，．
易知平面APD的一个法向量为，
设平面PDG的法向量为，则，即，
令，得，，所以是平面PDG的一个法向量，
则二面角的平面角的余弦值为，
解得或（舍去），
所以Q在DG上运动，所以面积的取值范围为．故选：B．
【变式3-1】棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】以分别为轴建立空间直角坐标系，
依题意有，
，由于，
故，解得.
根据正方体的性质可知，，故为直角三角形，
而，故，
的面积为，
当时，面积取得最小值为，故选:A.
【变式3-2】如图，正方体的棱长为，为的中点，在侧面上，若，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过作平面，垂足为；作于点，连接以为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系
则，，，，，
设，则，
，，
当时，
故选：
【变式3-3】已知半径为1的球面上有四个点，，且，则四面体的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设分别在上，且，
因为，所以面
所以，
所以.
要求四面体的体积最大，即求线段的最大值.
设的中点分别是，球心为，因为，，
所以.所以在中，
因为，所以
因为，所以
所以，当和均重合时取等
所以.故选：B.
题型四 空间向量数量积的最值范围问题
【例4】如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON．
由正方体的性质可知，，，
那么，
又，所以.
当与反向，且时，有最小值，此时；
当与同向，且时，有最大值，
此时，即的取值范围为．
故选：B
【变式4-1】正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面
，
又，
所以，，
所以的取值范围为．故选：D．
【变式4-2】已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【解析】如图所示由题意可知，，
因为为的中点，所以，
所以，
当时，取最小值，此时取最大值，
所以的最大值为4.故选:A.
【变式4-3】已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】因为MN是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1、所以，如图，设，
则
因为
当时取等号，此时点P在ABCD平面内，
又当时取等号，此时点P在ABCD平面内.即所求的范围是.故答案为：