（人教A版）选择性必修一高二数学上册题型归纳培优练习 专题02 空间向量基本定理及范围最值（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13877" 【题型一】空间向量基底 PAGEREF _Tc13877 1
\l "_Tc15311" 【题型二】基底表示向量 PAGEREF _Tc15311 3
\l "_Tc4678" 【题型三】共面 PAGEREF _Tc4678 5
\l "_Tc31613" 【题型四】 空间向量概念综合 PAGEREF _Tc31613 7
\l "_Tc21166" 【题型五】空间向量数量积 PAGEREF _Tc21166 9
\l "_Tc19087" 【题型六】空间向量求长度 PAGEREF _Tc19087 12
\l "_Tc2246" 【题型七】数量积最值与范围 PAGEREF _Tc2246 15
\l "_Tc16896" 【题型八】空间长度最值与取值范围 PAGEREF _Tc16896 17
\l "_Tc19041" 【题型九】空间角度范围最值 PAGEREF _Tc19041 19
\l "_Tc9729" 【题型十】 轨迹 PAGEREF _Tc9729 24
\l "_Tc16907" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc16907 27
\l "_Tc31132" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc31132 31
\l "_Tc9869" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc9869 36
【题型一】空间向量基底
【典例分析】
已知是空间的一组基底，则下列向量中能与，构成一组基底的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
2.若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A．B．
C．D．
3.已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【题型二】基底表示向量
【典例分析】
（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（ ）
A．B．
C．-D．

【变式训练】
1.已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2.如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，则x+y+z＝（ ）
A．B．C．D．
3.在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型三】共面
【典例分析】
已知空间中四个点，，，，为空间的一组基底，则下列说法正确的是（ ）
A．，，，四点共线
B．，，，四点共面，但不共线
C．，，，四点不共面
D．

【变式训练】
1.已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是
A．B．
C．D．
3.已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是
A．B．
C．D．
【题型四】 空间向量概念综合
【典例分析】
下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0B．1C．2D．3
【变式训练】
1.以下命题
①是共线的充要条件；
②若是空间的一组基底，则是空间的另一组基底；
③．
其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2.以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底
C．为直角三角形的充要条件是
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
3.在以下命题中，不正确的个数为( )
①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||.
A．2B．3C．4D．5
【题型五】空间向量数量积
【典例分析】
已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【变式训练】
1.设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A．B．C．a2D．a2
2.四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.
3.如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【题型六】空间向量求长度
【典例分析】
如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.在平行六面体中，，，，则（ ）
A．B．5C．D．3
2.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1B．C．2D．
【题型七】数量积最值与范围
【典例分析】
已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.已知球的半径为，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是_______.
3.正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型八】空间长度最值与取值范围
【典例分析】
如图，直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是 侧面（含边界）上的动点.要使平面， 则线段的长的最大值为
A．B．C．D．
【变式训练】
1.棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
2.设点是棱长为的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是
A．B．C．D．
3.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为
A．B．C．D．
【题型九】空间角度范围最值
【典例分析】
如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（ ） （参考数据：
A．，B．，
C．，D．，
【变式训练】
1.在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3.在正方体中，点（异于点）是棱上一点，则满足与，所成的角为45°的点的个数为
A．0B．3C．4D．6
【题型十】 轨迹
【典例分析】
在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1.空间向量，，，，，，且，，若点P满足，且，，，，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为__________.
2.如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________．
3.已知三棱锥的所有棱长均为2，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
2.在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
3.已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．
4.在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
5.已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
6.已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（ ）
A．B．C．2D．
7.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8.如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
9.已知，.若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________.
培优第二阶——能力提升练
1.设且是空间的一组基底，给出下列向量组：
①；② ③ ④
其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．
2.如图，在四面体中，，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
3.已知，若三向量共面，则实数=_____.
4.下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
②若非零向量，，满足，，，则有
③是，共线的充分不必要条件
④若，共线，则
5.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6.在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（ ）
A．B．C．D．
7.已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8.如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
9.已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
培优第三阶——培优拔尖练
1.已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是（ ）
A．B．
C．D．
3.在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.
4.下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与线，则与共线
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
D．零向量是模为0，方向任意的向量
5.如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）．
A．B．
C．D．与不能比较大小
6.如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A．B．C．D．
7.已知棱长为的正方体，点在空间直角坐标系的轴上移动，点在平面上移动，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8.如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
9.如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
1.基本零向量能否作为基向量？
不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面
2.基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
【提分秘籍】
基本规律
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
【提分秘籍】
基本规律
证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【提分秘籍】
基本规律
1.空间向量数量积的定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．
2.空间向量数量积的性质：
①a⊥b⇔a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；
③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；
⑤a·b＝b·a(交换律)；
⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【提分秘籍】
基本规律
1.在空间直角坐标系中，设，，则两点间的距离___．
2.
【提分秘籍】
基本规律
夹角
（1）求异面直线所成的角
若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=______ .
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______.
（3）求二面角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=_______
（4）求平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________.
【提分秘籍】
基本规律
求轨迹基本思路：设点-列式-化简-变量范围