人教A版选择性必修一高二数学上册期末复习练习 圆专题：与圆有关的最值问题（2份，原卷版+解析版）

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一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值
已知圆及圆外一定点，设圆的半径为
则圆上点到点距离的最小值为，最大值为
即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.
二、圆上的点到直线的距离最值问题
已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于
三、切线长度最值问题
1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.
四、过圆内定点的弦长最值
已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
五、利用代数法的几何意义求最值
1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题；
2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题；
3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题
题型一 圆上的点到定点的距离最值
【例1】若点M在曲线上，O为坐标原点，则的取值范围是______．
【变式1-1】在圆上与点距离最大的点的坐标是______．
【变式1-2】已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式1-3】已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】已知，，点是圆上的动点，则的最小值为
A．9 B．14 C．26 D．28
【变式1-5】已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 两圆上的动点的距离最值
【例2】已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】设圆与圆，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【变式2-4】已知圆，圆，动点在轴上，动点，分别在圆和圆上，则的最小值是 ．
【变式2-5】已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-6】已知圆，圆分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型三 圆上的点到直线的距离最值
【例3】点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式3-1】已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】圆面与圆面的公共部分(含边界)上的点到直线的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
题型四 圆的切线长度最值问题
【例4】直线上一点向圆引切线长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【变式4-1】已知过坐标原点O的直线与圆相切，则切线长（点O与切点间的距离）为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【变式4-2】已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________.
【变式4-3】若圆C：关于直线对称，由点P向圆C作切线，切点为A，则线段PA的最小值为___．
题型五 过圆内定点的弦长最值
【例5】直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
题型六 利用代数式几何意义求最值
【例6】已知实数x，y满足，求的最大值与最小值．
【变式6-1】已知点在圆：上运动．试求：
（1）的最值；
（2）的最值；
【变式6-2】设是圆上任意一点，则的最大值为
A．6 B．25 C．26 D．36
【变式6-3】已知圆，点与，为圆上动点，当取最大值时点坐标是 ．
题型七 面积的最值问题
【例7】已知圆经过点，，．
（1）求圆的方程；
（2）若为圆上的一动点，求面积的最大值．
【变式7-1】已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____．
【变式7-3】点P是直线上的动点，PA，PB与圆分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．