人教A版选择性必修一高二数学上册期末复习练习 圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法（2份，原卷版+解析版）

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1、参数无关法
把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法
根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法
对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、手电筒模型解题步骤
1、概念：只要任意一个限定与条件（如，），直线依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。
2、解题步骤：
第一步：由直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；
第二步：由与关系，得到一次函数或；
第三步：将或代入，得到.
三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤
第一步：设其中一条直线的斜率为，求出直线方程；
第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；
第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；
第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。
四、圆锥曲线的切点弦方程
1、过抛物线外一点作抛物线的切线，切点弦方程为；
2、过椭圆外一点作椭圆的切线，切点弦方程为；
3、过双曲线外一点作双曲线的切线，切点弦方程为；
五、几个重要的定点模型
1、过椭圆的左焦点作两条相互垂直的弦，，若弦，的中点分别为，，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论）
2、动点在直线上，由引椭圆的两条切线，切点分别是，，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论）
3、（1）过椭圆上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点；
（2）过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点
4、（1）过椭圆上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点
（2）过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点
（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当时就是圆中的结论，用替代就可得到双曲线中的结论）
题型一 手电筒模型恒过定点问题
【例1】已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切，所以，
因为动圆P与圆N内切，所以，则，
由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，
设椭圆方程为，则，，故，
所以曲线C的方程为.
（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，
联立，得，
设点，则，
，
所以，即，
得.则，
因为，所以，即，
直线，所以直线l过定点.
②当直线l斜率不存在时，设直线，且，则点
，解得，
所以直线也过定点.
综上所述，直线l过定点.
【变式1-1】已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）证明见解析，直线PQ恒过定点（-2，0）
【解析】（1）因为，所以，，
设双曲线C的焦距为2c，由双曲线的对称性知
设双曲线C的右焦点为F'，则，得，
则，故双曲线C的方程为.
（2）由已知得，设直线MP与MQ的斜率分别为，，
①当直线PQ不垂直于x轴时：设直线PQ的斜率为k，PQ的方程为，，，
由得，当时，，，
那么
，得，符合题意.
所以直线PQ的方程为，恒过定点（-2，0）.
②当直线PQ垂直于x轴时：设，因为P是C上的点，所以，
则，解得，故直线PQ过点（-2，0）.
综上，直线PQ恒过定点（-2，0）.
【变式1-2】已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，.
（1）求抛物线的方程：
（2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.
【答案】（1） （2）过定点，
【解析】（1）由已知，直线AB的方程为
联立直线与抛物线，消y可得，，所以，
因为，所以，即抛物线的方程为.
（2）将代入可得，
不妨设直线MN的方程为，
联立，消x得，则有，
由题意，化简可得，，
代入此时直线MN的方程为，
所以直线MN过定点.
【变式1-3】已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点(为常数)，过点作斜率分别为的两条直线与，交曲线于两点，交曲线于两点，点分别是线段的中点，若，求证：直线过定点.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）∵点到定点的距离比它到轴的距离大1，
∴点到定点的距离等于它到的距离，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
∴动点的轨迹的方程为
（2）由题意，直线的方程为，
设，由，得，∴，
又线段的中点为，所以，同理，
∴直线的斜率，
∴直线的方程为：，即，
∴直线过定点．
题型二 切点弦恒过定点问题
【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点P是直线上的动点，过点P做椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，问直线MN是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是过定点，定点为
【解析】（1）由题意得解得所以椭圆C的标准方程为．
（2）当椭圆C的切线斜率存在时，
设点，，，，，切线PM的方程为．
联立消去y整理得．
因为直线PM与椭圆C相切，故，即，
，，
所以，，则切线PM的方程为，即，
同理，切线PN的方程为．
当椭圆C的切线斜率不存在时，切点或，
当切点为时，切线为，满足方程；
当切点为时，切线为，满足方程．
又切点，，则切线PM方程为，
切线PN方程为．因为直线PM与直线PN相交于点P，
故由两点确定一条直线有直线MN的方程为，
整理得，联立解得故直线MN过定点．
【变式2-1】如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程;
（2）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).当变化时，试问直线是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.
【答案】（1） （2） 过定点
【解析】（1） 椭圆的上顶点为，离心率为
可得 解得椭圆的方程为.
（2）设切线方程为，则 即
设两切线的斜率分别为，
则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:
由 消掉得:设
同理可得
直线BD方程为
令，得，
故直线过定点.
【变式2-2】抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（1）求的准线方程；
（2）若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，试探究直线MN是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.
【答案】（1）；（2）直线恒过定点.
【解析】（1）椭圆的焦点坐标为和，
又因为的焦点在轴正半轴上，所以的焦点坐标为，从而准线方程为；
（2）由（1）知的方程为，即为，则，
设，切点，，从而切线方程为，即，
同理切线方程为分别代入有，
从而和均满足直线方程，
所以直线的方程为，即，
又因为在直线上，所以，所以直线的方程为，
从而直线恒过定点.
【变式2-3】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到直线的距离小1，记P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）在直线上任取一点M，过M作曲线C的切线，切点分别为A、B，求证直线AB过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设曲线C上任意一点P的坐标为，由题意知且有，
即，化简得，所以曲线C的方程为
（2）证明：设，由题意知直线AB的斜率存在，
设直线的方程为，联立方程，整理得，
所以，且，又由，即，可得，
所以抛物线在点处的切线的方程为，即，
同理直线的方程为，联立方程，解得，
又因为直线与的交点恰好在直线上，所以，即，
所以，解得.
故直线的方程为，所以直线恒过定点
题型三 相交弦中恒过定点问题
【例3】已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由对称性可知等边三角形的顶点在上，
代入得：，解得：，所以抛物线方程为：；
（2）由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，
则直线方程为，由联立得：，
设，则，
故，同理得
故直线MN方程为
整理得：，故直线MN过定点
【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析，直线过定点
【解析】（1）设，根据题意可得，化简得曲线的方程为.
（2）证明：设，，
①若直线，都存且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得，
当时，这个方程变为只有一解，直线与曲线只有一个交点，不合题意，
当时，，直线与曲线恒有两个交点，
由韦达定理， ，故线段的中点为，
同理，线段的中点为，若，则，
直线的方程为，即，
此时，直线恒过点．
若，则，或，，直线的方程为，
此时直线也过点，
②若直线，中其中一条的斜率为，另一条的斜率不存在，
不妨设的斜率为，则直线：，：x＝2，
此时，直线的方程为，此时，直线也过点，
综上，直线恒过点．
【变式3-2】已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，的内切圆的半径为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）点M为直线上任意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q．求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）的内切圆的半径为，
由等面积法得 ，
解得，
又离心率为，，解得，
带入得.
综上所述椭圆E的标准方程为：.
（2）设，
则直线的方程为与联立，解得
同理可得.则直线 的斜率为，
所以直线的方程为：，即
故直线PQ恒过定点，定点坐标为.
【变式3-3】已知，是椭圆上的两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线上的动点，直线，分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线经过点F．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得 ,解得 ，故椭圆E的方程为．
（2）证明：由（1）可知，，则直线的方程为
联立方程组,整理得，解得或，则，
设，直线的方程为，直线的方程为，
设，联立方程组 ，整理得，
可得，联立方程组 ，
整理得，
则，从而．
因为，，即,
所以直线经过点F．
题型四 动圆恒过定点问题
【例4】已知椭圆C：.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线相交于点M，N.当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.
【答案】（1）（2）以为直径的圆经过轴上的定点和，证明见解析
【解析】（1）由得，
那么，所以解得，所以离心率
（2）由题可知，设，则①
直线的方程：
令，得，从而点坐标为，直线的方程：
令，得，从而点坐标为
设以为直径的圆经过轴上的定点，则
由得②
由①式得，代入②得解得或
所以为直径的圆经过轴上的定点和.
【变式4-1】已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以.
又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.
又，所以，.所以椭圆的标准方程为.
（2）由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，
设，，将直线代入椭圆的方程得：，
由韦达定理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
所以，，所以以为直径的圆为，
整理得：.①
因为，
令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.
【变式4-2】设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）；（2）过定点，
【解析】（1）由轴时，为等腰直角三角形，可得，
所以，即，故，结合，解得．
故双曲线C的离心率为；
（2）因为，所以双曲线C：，
由题知直线的斜率不为，设直线：，，，
联立直线与双曲线的方程得，化简得，
根据根与系数的关系，得，①
所以，②
，③
设直线：，直线：，
令，可得，
设是以为直径的圆上的任意一点，则，
则以为直径的圆的方程为，
由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，
令，可得，即，
将①②③代入，可得，
即，解得或，
故以为直径的圆过定点，．
【变式4-3】已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点P作直线m交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在,.
【解析】（1）将代入，得；
∴，可得，所以抛物线C的方程为．
（2）设直线，，．
联立，整理得，所以，．
假设存在以AB为直径的圆恒过，
则恒成立，
化简得，
令，可得，
故以弦AB为直径的圆恒过．