（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习拓展五 圆锥曲线的最值问题（2份，原卷版+解析版）

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解析几何中的最值（范围）问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的进行命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值问题.从高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.
圆锥曲线中的最值（范围）问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解.而解答题部分主要使用代数法。
知识点1 圆锥曲线中的最值（范围）问题解题策略
一 利用定义法和几何关系求最值
1、根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；
2、利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值.
二 切线法
适用范围：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时
1、设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线，
2、切线方程与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且，求出的值，即可求出切线方程；
3、两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.
三 参数法
1、根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；
2、将目标函数表示成关于参数的函数；
3、把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.
四 利用基本不等式和函数求最值
1、基本不等式法
（1）将所求最值的量用变量表示出来，
（2）用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
注：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2、函数法
（1）把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；
（2）通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.
知识点2 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
类型一 与距离有关的最值（范围）问题
1．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】点为椭圆的右焦点，，
点为椭圆上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，设椭圆的左焦点为，
，，
，当点在的延长线上时取等号，，
则的最大值为．故选：．
2．设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【解析】由题意可知：双曲线焦点在x轴上，a=4，b=3，c=5，
设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），
由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=丨PF2丨，
由PF与圆x2+y2=16相切于点N，则△ONF为直角三角形，
∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，
则丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，由丨MF丨=丨PF丨，
∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，
∴|MN|﹣|MO|=1，故选：B．
3．设F是椭圆上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．4
【解析】由题可知，，.设椭圆左焦点为，则.
由椭圆定义有，则
又将椭圆方程与直线方程联立有，其，故直线与椭圆相离.
如图，要使最小，只需保证与直线垂直即可.
此时三点共线，则，故.由上可知A，B，D错误，C正确.故选：C.
4．已知F是双曲线C：的左焦点，点H的坐标为．若点P为C右支上的动点，则的最小值为______．
【解析】设右焦点为，则，依题意，由双曲线的定义有：，
，（当在线段上时，取等号）．
故的最小值为.故答案为：.
5．过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为______；此时P点坐标为______．
【解析】
圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为．
设双曲线的左、右焦点分别为，，连接，，，，可得，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为13，此时P点坐标为．故答案为：
6．已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【解析】由已知得．显然，直线不与轴垂直．
圆：的圆心为,半径为3,设直线：．联立 ，得，．设，， ，则，得，
所以，当且仅当，时等号成立，故的最小值为12，故选：B
类型二 与线段有关的最值（范围）问题
7．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.
【解析】设，，且得：.
故答案为：.
8．已知椭圆的离心率为，直线被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l是圆的任意一条不垂直于坐标轴的切线，l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求：
（i）圆O的方程；
（ii）的最大值.
【解析】（1）因为，所以，所以，所以椭圆，联立直线，得，所以，所以，所以椭圆.
（2）（i）设直线，因为与圆相切，所以，即……（1）.
由得，，所以（*）
设，，得，
所以
由题意得，，即，所以，符合（*）式.
结合（1）式，得，所以圆的方程为：.
（ii）
，等号成立当且仅当所以的最大值为.
9．已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【解析】（1）设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
10．已知抛物线方程为，为其焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，且抛物线在、两点处的切线分别交轴于、两点，则的取值范围为_____．
【解析】若直线轴，则直线为轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，易知点，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
对函数求导得，
所以，直线的方程为，即，
令，可得，即点，同理可得点，
，同理可得，
因此，
，
当且仅当时，等号成立，故的取值范围是.
故答案为：.
11．已知椭圆过点，且的离心率为，、为椭圆的左、右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上一点（不同于、）．求证：直线和的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交椭圆于、两点，求的取值范围．
【解析】（1）解：由题意可得，解得，故椭圆的方程为.
（2）解：设点，其中，则，故，
.
（3）解：当直线与轴重合时，则点、为椭圆长轴的两个端点，此时；
当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，由韦达定理可得，
所以，.
综上所述，的取值范围是.
12．如图，已知椭圆内切于矩形，对角线的斜率之积为，左焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点，与交于两点，求的取值范围.
【解析】（1）由圆内切于矩形ABCD，对角线AC，BD的斜率之积为，左焦点，
可得，解得，故椭圆C的标准方程为；
（2）i.的斜率为0时，直线为，得，，
；
ii.的斜率不为0时，设，
由，
恒成立，
设，则，
，
点到直线的距离，
∴，
令，则，
令，，.
综上，的取值范围为.
类型三 与面积有关的最值（范围）问题
13．已知椭圆C：的右焦点为F，离心率，长轴长为4，过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（非长轴端点）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点Q（0，2），求线段MQ长度的取值范围：
(3)延长MO交椭圆C于P点，求△PMN面积的最大值.
【解析】（1）∵长轴长为4，
∴
又∵离心率，
，
∴椭圆C的方程为.
（2）设M（x1，y1），则，，
∴.
线段|MQ|的取值范围是；
（3）设直线MN的方程为，
联立，消x得.
∵,
∴.
原点O到直线的距离
∴P到直线MN的距离为
∴..
令，则
当且仅当时，取等号
所以的面积的最大值是.
14．椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
【解析】（1）由点和点在椭圆上
可得，，则直线方程为，
又点在直线上，则，解之得，则
（2）椭圆的两焦点
假设存在一个点，满足，
则点一定在双曲线的左半支上，
由，可得
又，则，
又因为点在椭圆内部，所以，得
所以满足条件的点不存在．
（3）
两点、和在椭圆上，
点在椭圆内部，
则直线的方程为，
点到直线的距离
则，
同理直线的方程为，
点到直线的距离
则
令，则
由，可得，，，即
由，可得，，，即
综上，的取值范围为
则的取值范围为
15．分别是椭圆于的左、右焦点.
(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
【解析】（1）解：由题意可知，，
，，设，
，，
由椭圆的性质可知，
，
，故，即.
（2）解：设，，联立消去整理可得，
，，
，，
直线的方程为：，
根据点到直线的距离公式可知，点，到直线的距离分别为
，
，
，
，
四边形的面积为
，当且仅当即时，上式取等号，
所以的最大值为.
类型四 与斜率有关的最值（范围）问题
16．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【解析】由题意得：
由椭圆可知其左顶点，右顶点．
设，，则得．
记直线的斜率为，直线的斜率为，则
直线斜率的取值范围是，，
直线斜率的取值范围是，
故选：A
17．已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.
(1)求；
(2)已知点，若存在过点的直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求直线斜率的取值范围.
【解析】（1）解：由题可知，切线斜率存在，则设切线，
联立得，即，
相切得：，即，所以
由两切线垂直得：
（2）解：由（1）得，椭圆方程为
由题可知，直线的斜率存在，设，联立得
设，由韦达定理得：
由题意为直径的圆过点，①
又
代入①式得：
或（舍去），所以过定点，
，
，
即直线斜率范围
18．已知双曲线的浙近线方程为，且虚轴长为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围.
【解析】（1）由题意知：，解得，
双曲线的方程为.
（2）
联立直线与双曲线：，消得：.，可得且，
设，则，
，则，整理得，
∴或，
综上，的取值范围为或.
19．平面直角坐标系中，双曲线过点，且该双曲线虚轴长为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设过点的直线l与E的左支交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点．
①求直线l的斜率k的取值范围；
②求|TP|＋|TQ|的取值范围．
【解析】（1）由题意得，解得，
所以；
（2）由题意直线l斜率存在，所以设直线，，
①联立直线与双曲线方程，当时，，
由题意则需，解得；
②，令得，同理可得，
所以
其中
所以，
因为，所以，即，
所以的取值范围是．
类型五 与向量有关的最值（范围）问题
20．给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围，
【解析】（1）解：由题意知，且，可得，
故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．
（2）解：由题意，可设、，
则有，又点坐标为，所以，，
所以，
又，所以，所以的取值范围是．
21．已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．
【解析】(1)解：由已知过点，得，①由，②
由①、②，得，故椭圆C的方程为，
若，
设直线的方程为，设直线的方程为，设，
由，得，解得，
故，
同理，，
，则，，
故直线的方程为；
(2)解：设，由，得，故，
代入椭圆的方程得（3），
又由，得，代入（3）式得，，
化简得，，即，
显然，故，同理可得，
故，所以的最小值．
22．已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以；又点在图像上即，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得设直线，设、，
由得，解得或①
∵点在以线段为直径的圆的外部，则，
又②
解得或
由①②得
（3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，
记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.
令，解得，所以点S坐标为；同理点T为.
所以，，.
由，，可得：，，所以，
由（2）得，，
所以
，
因为，所以，，故的范围是.
23．已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设不与y轴垂直的直线l过点且交曲线E于M，N两点，曲线E与x轴的交点为A，B，当时，求的取值范围．
【解析】（1）解：依题意，P是平面上的动点，且点与的距离之差的绝对值为．
即，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹E是以为焦点，
其中，所以，则，
所以轨迹的方程为．
（2）解：设直线方程为，点，
联立方程组，整理得，
可得且．
由弦长公式，可得
因为，可得，解得或
因为，
所以
，
因为或，所以，
所以的取值范围是．
类型六 与角度有关的最值（范围）问题
24．已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知，设直线的方程为，由，
得．设，，
则，，所以，．
因为为锐角，所以恒成立，即，
整理得，所以，
而，所以对于任意恒成立，所以．
由，解得，所以的取值范围为．故选:A．
25．已知椭圆C的方程为离心率，，分别为左焦点和右顶点，点在椭圆上，若为锐角，则实数的取值范围是______．
【解析】∵椭圆C的标准方程为，∴，
又∵椭圆C的离心率，∴，则，若点在椭圆上，
则，（为参数），则，，
若为锐角，则，
即，，又由时，与同向，，
故，，即实数的取值范围是故答案为：
26．已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，求的取值范围．
【解析】由椭圆方程可得，则，
如图所示：
设锐角，在中，，因为，即，故，所以.故答案为：.
27．设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围．
【解析】（1）由双曲线C：可得：右焦点，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2；
（2）
因为，所以，
因为，解得，故，
所以双曲线的方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，则，，
则，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，同理可求得：，
所以，，
因为为锐角，所以，
即，所以
所以即，解得或；
当直线的斜率不存在时，将代入双曲线可得，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
所以，，
因为为锐角，所以，解得或；
综上所述，t的取值范围或
类型七 与点的坐标有关的最值（范围）问题
28．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点.若是钝角三角形，则点的横坐标的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得，，设，则，，，
若是钝角三角形，则是为钝角，，
又，得．故选：A
29．已知两个定点、的坐标分别为和，动点满足（为坐标原点）．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点为轴上一定点，求点与轨迹上点之间距离的最小值；
(3)过点的直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．
【解析】（1）设，，，，，
，因为，
则，所以，即．
（2）设轨迹：上任一点为，所以，
所以，
令，对称轴为：，
当，即时，在区间单调递增，所以时，取得最小值，即，所以，当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以时，取得最小值，即，
所以，所以
（3）当直线的斜率不存在时，此时：与轨迹不会有两个交点，故不满足题意；
当直线的斜率存在时，设：，、，代入，
得，即，所以，，，
因为直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，所以，得，
即；又、两点在轴上方，所以，，即，所以，
又，所以，所以中点，即，
所以垂直平分线为，
令，得，因为，所以，
所以在时单调递增，所以，即，
所以点横坐标的取值范围为：.
30．已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围.
【解析】（1）由已知条件可得，，
解得 ，所以，抛物线的方程为.
（2）由题意可知，过引圆的切线斜率存在，
设切线的方程为，
则圆心到切线的距离，
整理得，.，
设切线的方程为,
同理可得.
所以，是方程的两根，
.
设，，
由，得，
由韦达定理知，
所以，同理可得.
设点的横坐标为，则
.
设，则，
所以，对称轴，则
31．已知平面上一动点P到定点的距离与它到定直线的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)已知点，过点B引圆的两条切线BP；BQ，切线BP、BQ与曲线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点N的纵坐标记为，求的取值范围．
【解析】（1）设，
根据题意可得，
化简得，
所以，
所以曲线C的方程为，
（2）由已知，所以切线的斜率存在，
设切线的方程为，
则圆心到切线的距离，
所以，
设切线BQ的方程为，
同理可得，
所以是方程的两根，
所以， ，
设，
联立，得，
所以，
所以，
同理，
所以
，
因为，所以
所以．
所以的取值范围为．
类型八 与参数有关的最值（范围）问题
32．已知点在椭圆C：上， 过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是________________．
【解析】（1）当直线斜率不存在时，设，
此时，则，∴，
又，联立解得或（舍去），∴.
（2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：，
直线QT的斜率为，∵AB⊥QT，∴，即，
又∵BT⊥AQ，∴，即，（*）
联立化为，则，，
，∴，
，
代入（*）可得．
∴，解得，
综上可知：实数m的取值范围为．
故答案为：
33．已知点在椭圆上，直线的斜率之积是，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于点，且，求的取值范围.
【解析】（1）椭圆方程改写为:，点在椭圆上，
有，，两式相乘，得：，
由，得，
由直线的斜率之积是，得，即，
∴，，椭圆的方程为：.
（2）过点的直线若斜率不存在，则有，，此时；
当过点的直线斜率存在，设直线方程为，由，消去，得，直线与椭圆交于点两点，
∴，得
设，，
由韦达定理 ，消去 ，得，
由，，∴，由，解得，
综上，有，∴的取值范围为
34．已知椭圆的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于、两点，交轴于点，，，记，，的面积分别为，，．
(1)求证：为定值；
(2)若，当时，求实数范围．
【解析】（1）解：将代入椭圆方程，解得：，
由已知得：，
即，，
所以，椭圆标准方程为．
设，，不妨设，
由已知可设直线，
则
由得：．
同理：．
由得：
，
即．
于是，，得
．．
故
（2）
解：．
，
，
又，
，
，
，
，
由
得：
由（1）知：，，
，
其中，
由对勾函数可知：单调递增，
因此，，
所以实数范围是．
35．已知双曲线：（，）交轴于两点，是双曲线上异于的任意一点，直线分别交轴于点，，且双曲线离心率为2.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线l：（）与双曲线交于两点，为双曲线虚轴在轴正半轴的端点，若，求实数的取值范围.
【解析】(1)解：由题及双曲线的对称性，设，，，
则：，
：，
故.
又，即，代入得
，又，
得，，即：
(2)
解： 由题知，，设，，线段中点坐标为，
联立，得，
依题意，得.
且，
即有，代入直线方程得，
由知，，
即：.
即.
所以，②且，③
由①②③式得，或.
36．已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，满足．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率为的直线被抛物线截得的弦为，若在以为直径的圆内，求的取值范围．
【解析】（1）解：由题意知，则直线的方程为．联立可得，，设、，则．由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为．
（2）解：由题意知直线的方程为，联立得，由，得．设、，得，．又，所以，．因为点在以为直径的圆内，所以为钝角，即，得，解得.因为，所以的取值范围为．