人教A版选择性必修一高二数学上册期末复习练习 圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法（2份，原卷版+解析版）

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1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，
求定值问题常见的解题方法有两种：
法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤
第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标；
第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；
第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
二、常见定值问题的处理方法
1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；
2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；
3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。
三、常见条件转化
1、对边平行：斜率相等，或向量平行；
2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；
3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；
4、直角三角形中线性质：两点的距离公式
5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。
四、常用的弦长公式：
若直线的方程设为，，，则
若直线的方程设为，，，则
【注】上式中代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于或的一元二次方程的二次项系数。代表的是该一元二次方程的判别式。
题型一 斜率型定值问题
【例1】已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上异于点的两动点，当的角平分线垂直于椭圆长轴时，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值为
【解析】（1）依题意得，解得，所以椭圆方程为.
（2）依题意可知直线和直线的斜率存在且互为相反数，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，
由消去并化简得，
，
则，根据直线、直线的对称性可知.
设，则，
，则，
故，以替换，得，
所以，所以直线的斜率为定值.
【变式1-1】已知椭圆：的右焦点和上顶点均在直线上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，若过点的直线与椭圆交于不同的两点，.直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）对于直线，当时，，当时，，
因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线上，
所以，所以，所以椭圆方程为，
（2）因为在椭圆外，过点的直线与椭圆交于不同的两点，
所以直线的斜率一定存在，所以设直线方程为，设，
由，得，
，得，，
因为，，
所以
【变式1-2】已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，
【解析】（1）由题意得，，渐近线方程为，
则到渐近线的距离为，
又因为，所以，，，故双曲线的标准方程为.
（2）设直线：，，，，
联立方程组得，所以，.
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为.
因为，，
所以
，即为定值.
【变式1-3】已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为.
（1）求p的值；
（2）当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值．
【答案】（1）2；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，有，而点，则，
因，因此，而圆M面积最小值为，即，则有，
所以p的值是2.
（2）由（1）知，抛物线，则有，而，即有轴，
因过M作抛物线的两条弦MA，MB，有，
则直线MA，MB倾斜角互补，即直线MA，MB斜率和为0，设点，
直线的斜率，直线的斜率，
因此有，整理得：，
所以直线的斜率是定值.
题型二 距离型定值问题
【例2】动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设为原点，点，过点的直线与的轨迹交于、两点，且直线与轴不重合，直线、分别与轴交于、两点，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设点，由题意可得，化简可得.
因此，动点的轨迹的方程为.
（2）因为直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，同理，
所以，.
【变式2-1】已知椭圆过点为其左､右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为第一象限内椭圆上的一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意可知，，
椭圆过点
，椭圆的方程为：.
（2）由得直线，令，解得，
，同理得，
，化简得①或②，
由①得，故，由②可知，故该方程无实根.
将代入椭圆方程中，解得，
,
【变式2-2】已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值
【解析】（1）由题意，得双曲线的渐近线方程为，右顶点为.
又，且，所以，故.
又，解得，所以双曲线的方程为.
（2）设.当直线和轴线平行时，，解得，
所以点到直线的距离为.当直线和轴线不平行时，设直线的方程为，
由得，，
所以.又，
所以，
得，解得.
又点到直线的距离为，则，故，
所以点到直线的距离为定值.
【变式2-3】已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.
（1）求抛物线的方程.
（2）若斜率不为0的直线过焦点，且交抛物线于，两点，线段的中垂线与轴交于点.证明：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可知，设抛物线在点处的切线方程为，
联立得，
由解得，故切线方程为，
令，得，即，又，所以，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）由（1）可知，显然直线的斜率存在，故可设直线的方程为，，.联立方程组，消去得，所以，，
所以，得，
所以线段的中点为，中垂线所在直线的斜率，
故线段中垂线所在的直线方程为，
令，得，所以，所以为定值，得证.
题型三 面积型定值问题
【例3】已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为
【解析】（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，
令，得，由题意可得，解得，．求椭圆的方程为；
（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，，，，，
联立，得．，，
由，得，，
，
直线的方程为，令，解得，则，，同理可得，，
【变式3-1】已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）依题意，又，所以，
所以，所以椭圆方程为.
（2）证明：设，，，
因为，所以四边形为平行四边形，且，
所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，则，所以，
所以，若直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以
所以，整理得，
又，又原点到的距离，
所以，将代入得，
所以，综上可得，四边形的面积为定值.
【变式3-2】已知双曲线的两条渐近线所成的锐角为60°，且点P（2，3）为E上一点．
（1）求E的标准方程；
（2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，证明：△AOB面积为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意，双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为或，即．
当时，E的标准方程为，代入，无解．
当时，E的标准方程为，代入，解得．
故E的标准方程为．
（2）直线斜率显然存在，设直线方程为，与联立得：．
由题意，且，化简得．
设，将与联立，解得；
与联立，解得．
．
由，∴，故面积为定值．
【变式3-3】在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
【答案】（1）；（2）为定值
【解析】（1）点到直线的距离与到的距离相等，
的轨迹为抛物线，且焦点为，准线为直线，
设轨迹的方程为，则，可得，所以，曲线的方程为．
（2）设点、、，抛物线方程为，即，所以．
则的方程为：，即，同理的方程为：．
联立、方程得，，
在直线的方程中，令可得，即点，同理可得点，
则，可得，易知，则直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消去得，
由韦达定理可知，所以，则直线的方程为，
故直线过定点．所以，，
因此，，故为定值.
题型四 向量型定值问题
【例4】己知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）椭圆左顶点为，，又离心率，，
，的方程为：.
（2）设，，则，，
由得：，则，
，；直线方程为：，，；
同理可得：，又，，，
，为定值.
【变式4-1】已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上．
（1）求E的方程；
（2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可知，∴，而，
∴，∴椭圆E的方程为．
（2）①若直线l的斜率不存在，易得，
②若直线l的斜率存在，设其方程为，，，
则，联立得，
且，，
要使上式为常数，必须且只需，即，此时易知恒成立，且，符合题意．
综上所述，．
【变式4-2】已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.
（1）求；
（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由
【答案】（1）2；（2）的值为定值.
【解析】（1）由题得，圆的圆心，
抛物线的焦点为，，
所以与圆上点的距离的最大值为，解得.
（2）设，， 由得，
所以，且，，，，
所以.
所以的值为定值.
【变式4-3】设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点.
（1）设的斜率为，求的值；
（2）求证：为定值.
【答案】（1）5；（2）证明见解析.
【解析】（1）依题意得，所以直线的方程为.
设直线与抛物线的交点为，，由得，，
所以，.所以.
（2）证明：设直线的方程为，直线与抛物线的交点为，，
由得，，所以，.
因为
.
所以为定值.
题型五 角度型定值问题
【例5】已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
（1）求圆O和椭圆C的方程；
（2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
【答案】（1）圆O的方程为，椭圆C的方程为；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，解得，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
则，即，又由，得点M的坐标为，
由，得点N的坐标为，
所以，，，
所以，所以，即
【变式5-1】已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.
（1）求椭圆的方程和短轴长；
（2）已知点，过左焦点且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于，，设直线与椭圆的另一个交点为，连接，求证：平分.
【答案】（1），短轴长；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意，则，故，则，
所以，短轴长.
（2）要证平分，即，如下图示，
所以，只需证即可，，由题意，设为，
联立椭圆并整理得：，
所以，且，即，
而，
又，
所以，故平分，得证.
【变式5-2】如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.
（1）证明：直线的方程为.
（2）设为双曲线的左焦点，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
则，化简得.
因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标
，得，则，
故，则，即.
（2）同理可得，又与均过，所以.
故，，，
又因为，所以，
则，
，
故，故.
【变式5-3】已知在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数2.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与曲线的另一个交点为，以为直径的圆交直线于两点，设劣弧所对的圆心角为，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，则，
∴，化简得，故动点的轨迹的方程为.
（2）证明：①当轴时，把代入中，可得，，
∴圆心为，半径为3，由垂径定理知，，
∵，∴，即，为定值.
②当不垂直轴时，设其方程为，，
联立，得
∴，∴
∴的中点坐标为
又∴圆的半径
圆心(即的中点)到直线的距离
由垂径定理知，∵，∴，即，为定值.
综上所述，为定值.
题型六 参数型定值问题
【例6】已知椭圆C：，，为其左右焦点，P为椭圆C上一动点，直线交椭圆于点A，直线椭圆交于点B，设，，求证：为定值．
【答案】证明见解析
【解析】设，，，
由于，由定比分点公式可得
将，，代入椭圆方程有
得 ③，得
两边同除整理得
所以，即又，即解得
同理:，所以.
【变式6-1】已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线分别交x轴于M，N两点，点，若，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明过程见解析；
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且经过点，
所以有；
（2）证明：设直线方程为，，，
由，联立消x得，
所以，，，
由题意知，，均不为．设，，
由，，A三点共线知与共线，所以，化简得；
由，，三点共线，同理可得；
由，得，即；由，同理可得；
所以
，
所以为定值．
【变式6-2】已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．
（1）若，点O为坐标原点，当时，求的值；
（2）设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【解析】（1）当 时 ，双曲线C：，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与C联立得， ，则，则 ，
由，
可得 ，所以 ，所以．
（2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，则，
由 , 得 ，所以 ， ，由点M在双曲线C上，可得 ，化简得 ，
同理 ，故是方程的两根，则为定值.
【变式6-3】已知抛物线的准线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点（其中）在抛物线C上，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）设O为原点，若，，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为抛物线的准线经过点，所以，即，
故抛物线C的方程为.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为.由得.
依题意，解得且.
又点（其中）在抛物线C上，∴
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点.从而.
所以直线l斜率的取值范围是.
（2）设，.由（1）知，.
直线PA的方程为.
令，得点M的纵坐标为.∴
同理得点N的纵坐标为.由，，得，
.所以.
所以为定值.
题型七 坐标型定值问题
【例7】如图，已知为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为、点是椭圆的上顶点，是等腰直角三角形，点是椭圆上一点，直线交轴于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点与点关于轴对称，直线交轴于点，点且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由于点是椭圆的上顶点，且是等腰直角三角形，
所以，,又，联立解得．椭圆的方程为；
（2）点与点关于轴对称，，
直线的方程为令，得
同理可得．
则=，=,又因为，所以，
即有=，则有，是椭圆上一点，
得即则．
【变式7-1】已知椭圆的左､右焦点分别为，，左顶点为A，点是椭圆C上一点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过椭圆右焦点且与椭圆交于P､Q两点，直线AP､AQ与直线分别交于M，N.求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意，椭圆过点，且离心率为，
可得，解得，所以椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，联立方程组，整理得，
设，，可得，，直线的方程为，
令，可得，同理可得，
所以，
M，N两点的纵坐标之积为定值.
【变式7-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）易知点、、，，，
所以，，解得，，则，
所以，双曲线的方程为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即，
设点、，联立可得，
则，可得，则，
不妨点、分别为直线与直线、的交点，
联立可得，联立可得，
此时，.综上所述，点与点的横坐标之积为定值.
【变式7-3】在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足．
（1）求点P的轨迹的方程；
（2）若Q是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点M，试探
究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）（且）；（2）点M的横坐标为定值．
【解析】（1）设点为所求轨迹上的任意一点，
则由，得，
整理得轨迹的方程为（且），
（2）设，由可知直线，则，
故，即，由三点共线可知，与线，
∴ ，由（1）知，故，
同理，由与共线，
∴，即，
由（1）知，故，
将，代入上式得，整理得，
由得，即点M的横坐标为定值．
（方法二）设由可知直线，则，
故，即，∴直线OP方程为： ①；
直线QA的斜率为：，
∴直线QA方程为：，即 ②；
联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．