人教A版选择性必修一高二数学上册期末复习练习 圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法（2份，原卷版+解析版）

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1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、最值问题的一般解题步骤
三、参数取值范围问题
1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
题型一 距离与长度型最值范围问题
【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为2，点在椭圆上．当线段的中垂线经过时，恰有．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于 、两点，且，是以为直径的圆上任意一点，为坐标原点，求的最大值．
【变式1-1】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，过点做垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围．
【变式1-2】已知曲线上任意一点满足方程，
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线在轴左､右两侧的交点分别是，且，求的最小值.
【变式1-3】已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线被所截得的弦长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围.
题型二 面积型最值范围问题
【例2】如图，椭圆和圆，已知椭圆的离心率为，直线与圆相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆的上顶点为，是圆的一条直径，不与坐标轴重合，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求的面积的最大值及此时所在的直线方程．
【变式2-1】在平面直角坐标系中，的周长为12，，边的中点分别为和，点为边的中点
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为，记，求的最大值.
【变式2-2】已知双曲线的右焦点为，过右焦点作斜率为正的直线，直线交双曲线的右支于，两点，分别交两条渐近线于两点，点在第一象限，为原点．
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）设，，的面积分别是，，，求的范围．
【变式2-3】已知抛物线的焦点为，为上的一个动点，与在的同一侧，且的最小值为.
（1）求的方程；
（2）若点在轴正半轴上，点、为上的另外两个不同点，点在第四象限，且，互相垂直、平分，求四边形的面积.
题型三 坐标与截距型最值范围问题
【例3】已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
【变式3-1】若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.
【变式3-2】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程：
（2）过点的直线与相交于两点.设，若，求在轴上截距的取值范围.
【变式3-3】已知两个定点、的坐标分别为和，动点满足（为坐标原点）．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点为轴上一定点，求点与轨迹上点之间距离的最小值；
(3)过点的直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．
题型四 斜率与倾斜角最值范围问题
【例4】设分别是椭圆的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求，求点P的坐标；
（2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
【变式4-1】已知椭圆）的左焦点为F，其离心率，过点F垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的下顶点为B，过点D（2，0）的直线l与椭圆相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为，求的取值范围．
【变式4-2】）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（其中为原点），求的取值范围.
【变式4-3】已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
题型五 向量型最值范围问题
【例5】在平面直角坐标系中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左､右顶点，点在双曲线上，且位于第一象限.
（1）直线与椭圆相交于第一象限内的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，求的值；
（2）直线与椭圆相交于点（异于点A），求的取值范围.
【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．
【变式5-2】已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
（1）求双曲线的方程；
（2）过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
【变式5-3】已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
题型六 参数型最值范围问题
【例6】已知点在椭圆上，直线的斜率之积是，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于点，且，求的取值范围.
【变式6-1】已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
（3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
【变式6-2】设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围．
【变式6-3】离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围．