高考数学微专题集专题23圆锥曲线中的最值、范围问题微点2圆锥曲线中的范围问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题23圆锥曲线中的最值、范围问题微点2圆锥曲线中的范围问题(原卷版+解析)，共52页。
微点2 圆锥曲线中的范围问题
【微点综述】
对于圆锥曲线中的范围问题，如果是单参数问题，那么需要列出这个参数的相关不等式（组）求解．如果是双参数问题，那么还需要列出这两个参数之间的关系．具体求范围时，一般需要找出所求几何量的函数解析式，注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值定理或者函数单调性．有时，也可以考虑观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足最值条件，然后再证明．
1.圆锥曲线中的范围问题的解题策略
（1）利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
2.求解圆锥曲线中的范围问题常用方法
（1）函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
3.典例精析
3.1 函数法
例1．(2023·吉林吉林·模拟预测）
1．已知P是椭圆上一动点，，是椭圆的左、右焦点，当时，；当线段的中点落到y轴上时，，则点P运动过程中，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2.
2．已知直线与焦点为F的抛物线相切.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.
例3.
3．如图，椭圆（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为，△OED（O坐标原点）的面积为.求的取值范围.
例4．(2023·浙江·镇海中学模拟预测）
4．已知、、，圆，抛物线，过的直线与抛物线交于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与圆交于、两点，记面积为，面积为，求的取值范围.
3.2 不等式法
例5．(2023广东·模拟预测）
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，直线过A点且与x轴垂直，P为直线上的任意一点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023浙江·模拟预测）
6．如图所示，与是椭圆方程：的焦点，是椭圆上一动点（不含上、下两端点），是椭圆的下端点，是椭圆的上端点，连接，，记直线的斜率为．当在左端点时，△是等边三角形．若△是等边三角形，则__；记直线的斜率为，则的取值范围是__．
例7.
7．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
例8.
8．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围.
例9.(2023北京卷)
9．已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
3.3 判别式法
例10.
10．已知椭圆的一个顶点，焦点在x轴上，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点．当时，求m的取值范围．
【强化训练】
一、单选题
(2023宁夏·银川一中模拟预测）
11．设A，B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1]B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，1]∪[9，+∞）D．[9，+∞）
(2023内蒙古呼和浩特·二模）
12．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023·甘肃·一模）
13．直线与椭圆相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023·河南·模拟预测）
14．如图，椭圆：的左､右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
(2023海南·模拟预测）
15．已知点，和在椭圆：上，则（ ）
A．的焦点为B．的离心率为
C．直线的斜率小于1D．的面积最大值为3
(2023福建·福州三中模拟预测）
16．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最大值是D．的周长存在最大值
(2023全国·模拟预测）
17．已知，分别是椭圆：的左､右焦点，在上，为坐标原点，若，的面积为1，则（ ）
A．椭圆的离心率为B．点在椭圆上
C．的内切圆半径为D．椭圆上的点到直线的距离小于2
(2023·全国·模拟预测）
18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为
C．存在点使得
D．的最小值为1
三、填空题
(2023·浙江·模拟预测）
19．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.
(2023·河南洛阳·二模）
20．如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点、分别作弦、．若，则的最小值为______．
(2023·全国·模拟预测）
21．如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为______.
(2023·山西朔州·三模）
22．过椭圆左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴及y轴各有唯一公共点M，N，则的取值范围是___________.
四、解答题
23．已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，求 的取值范围.
24．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
（2023浙江卷）
25．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
(2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．
(1)求证：；
(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；
(2023·北京东城·三模）
27．已知椭圆的左焦点为，长轴长为.过右焦点的直线交椭圆C于两点，直线分别交直线于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设线段中点为，当点位于轴异侧时，求到直线的距离的取值范围.
(2023·北京·人大附中模拟预测）
28．已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围．
(2023·浙江·模拟预测）
29．如图所示，曲线，曲线，过点作直线交曲线于点A，交曲线于点B，若点C在曲线的准线上．
(1)求；
(2)若存在直线使点B为中点，求A点横坐标（用p表示）及斜率的范围．
(2023·重庆市育才中学模拟预测）
30．已知双曲线：过点，且的渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)如图，过原点O作互相垂直的直线，分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.
①求四边形ACBD面积的取值范围；
②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点2 圆锥曲线中的范围问题
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题
微点2 圆锥曲线中的范围问题
【微点综述】
对于圆锥曲线中的范围问题，如果是单参数问题，那么需要列出这个参数的相关不等式（组）求解．如果是双参数问题，那么还需要列出这两个参数之间的关系．具体求范围时，一般需要找出所求几何量的函数解析式，注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值定理或者函数单调性．有时，也可以考虑观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足最值条件，然后再证明．
1.圆锥曲线中的范围问题的解题策略
（1）利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
2.求解圆锥曲线中的范围问题常用方法
（1）函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
3.典例精析
3.1 函数法
例1．(2023·吉林吉林·模拟预测）
1．已知P是椭圆上一动点，，是椭圆的左、右焦点，当时，；当线段的中点落到y轴上时，，则点P运动过程中，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2.
2．已知直线与焦点为F的抛物线相切.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.
例3.
3．如图，椭圆（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为，△OED（O坐标原点）的面积为.求的取值范围.
例4．(2023·浙江·镇海中学模拟预测）
4．已知、、，圆，抛物线，过的直线与抛物线交于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与圆交于、两点，记面积为，面积为，求的取值范围.
3.2 不等式法
例5．(2023广东·模拟预测）
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，直线过A点且与x轴垂直，P为直线上的任意一点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023浙江·模拟预测）
6．如图所示，与是椭圆方程：的焦点，是椭圆上一动点（不含上、下两端点），是椭圆的下端点，是椭圆的上端点，连接，，记直线的斜率为．当在左端点时，△是等边三角形．若△是等边三角形，则__；记直线的斜率为，则的取值范围是__．
例7.
7．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
例8.
8．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围.
例9.(2023北京卷)
9．已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
3.3 判别式法
例10.
10．已知椭圆的一个顶点，焦点在x轴上，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点．当时，求m的取值范围．
【强化训练】
一、单选题
(2023宁夏·银川一中模拟预测）
11．设A，B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1]B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，1]∪[9，+∞）D．[9，+∞）
(2023内蒙古呼和浩特·二模）
12．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023·甘肃·一模）
13．直线与椭圆相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023·河南·模拟预测）
14．如图，椭圆：的左､右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
(2023海南·模拟预测）
15．已知点，和在椭圆：上，则（ ）
A．的焦点为B．的离心率为
C．直线的斜率小于1D．的面积最大值为3
(2023福建·福州三中模拟预测）
16．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最大值是D．的周长存在最大值
(2023全国·模拟预测）
17．已知，分别是椭圆：的左､右焦点，在上，为坐标原点，若，的面积为1，则（ ）
A．椭圆的离心率为B．点在椭圆上
C．的内切圆半径为D．椭圆上的点到直线的距离小于2
(2023·全国·模拟预测）
18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为
C．存在点使得
D．的最小值为1
三、填空题
(2023·浙江·模拟预测）
19．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.
(2023·河南洛阳·二模）
20．如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点、分别作弦、．若，则的最小值为______．
(2023·全国·模拟预测）
21．如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为______.
(2023·山西朔州·三模）
22．过椭圆左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴及y轴各有唯一公共点M，N，则的取值范围是___________.
四、解答题
23．已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，求 的取值范围.
24．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
（2023浙江卷）
25．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
(2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．
(1)求证：；
(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；
(2023·北京东城·三模）
27．已知椭圆的左焦点为，长轴长为.过右焦点的直线交椭圆C于两点，直线分别交直线于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设线段中点为，当点位于轴异侧时，求到直线的距离的取值范围.
(2023·北京·人大附中模拟预测）
28．已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围．
(2023·浙江·模拟预测）
29．如图所示，曲线，曲线，过点作直线交曲线于点A，交曲线于点B，若点C在曲线的准线上．
(1)求；
(2)若存在直线使点B为中点，求A点横坐标（用p表示）及斜率的范围．
(2023·重庆市育才中学模拟预测）
30．已知双曲线：过点，且的渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)如图，过原点O作互相垂直的直线，分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.
①求四边形ACBD面积的取值范围；
②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．A
分析：设.先由题意求出椭圆标准方程为..把转化为，由求出，即可求得.
【详解】设.
在中，当时，由椭圆的定义，余弦定理得：
整理得：
由三角形的面积公式得：，解得：.
因为线段的中点落到y轴上，又O为的中点，所以轴，即.
由，得，解得：，所以，
代入椭圆标准方程得：.
又有，解得：，所以椭圆标准方程为：.
所以.
因为，所以.
所以.
因为，
当时，，
所以.
故选：A.
【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
2．（Ⅰ）（Ⅱ）
分析：（Ⅰ）联立和，利用即可求得，从而得到抛物线方程；（Ⅱ）设直线为，与抛物线联立后可利用韦达定理求得，进而得到；由中点坐标公式可求得中点；利用点到距离之和等于点到的距离的倍，可将所求距离变为关于的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.
【详解】（Ⅰ）将与抛物线联立得：
与相切 ，解得：
抛物线的方程为：
（Ⅱ）由题意知，直线斜率不为，可设直线方程为：
联立得：
设，，则
线段中点
设到直线距离分别为
则
当时，
两点到直线的距离之和的最小值为：
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是能够将所求距离之和转变为中点到直线的距离，利用点到直线距离公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求得结果.
3．（1）（2）
【详解】（1）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°.设，则.将代入，得.所以椭圆的离心率.
（2）由（1）知，椭圆方程可设为，设，.依题意，直线AB不能与x、y轴垂直，故设直线AB的方程为，将其代入，整理得.
则.
所以.
因为，所以.
因为，
所以.
所以的取值范围是.
4．(1)
(2)
分析：（1）设、，分析可知直线与轴不重合，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解出的值，即可得出抛物线的方程；
（2）利用韦达定理结合三角形的面积公式可求得的表达式，设直线的方程为，利用几何法计算出的表达式，然后将直线、的方程联立，求出点的坐标，代入抛物线方程，可得出且，然后利用换元法结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
（1）
解：设、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，与联立得，
所以，，
因为，解得，
故抛物线的方程．
（2）
解：由，，
得，
设直线的方程为，即，则原点到直线的距离，
得，，
联立可得，即点，
所以，则且，
则，
令，则，，则，
综上，的取值范围为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
5．A
分析：设直线，的倾斜角分别为， ，得到，根据基本不等式可得选项.
【详解】由题意可知，，直线的方程为，
设直线，的倾斜角分别为，
由椭圆的对称性，不妨设点P为第二象限的点，即，
则，
，
当且仅当，即时取等号.
，，且满足，则，，∴，
则的最大值为，故的最大值是.
当P为第二或第四象限的点时，的取值范围是；
当P为x轴负半轴上的点时，.
综上可知，的取值范围为，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆中的根据向量间的线性关系求角的范围的问题，关键在于设出椭圆上的点的坐标，由向量间的线性关系表示所求的角的三角函数，再运用基本不等式求解范围.
6． ，
分析：根据题意先求各点坐标，然后根据斜率公式求解；利用参数方程求解的取值范围.
【详解】解：由题意知，若△是等边三角形，
则在左端点或右端点，此时，，，
故点，或点，，点，
故或；
由题意知，椭圆方程可化为，
不妨设，，
则，，
则
，
.
故答案为：；，
7．（1） （2）
【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.
试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，
所以，.
又
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设
由题意可设直线的方程为：，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以
点到直线的距离
所以，
设，则，
，
当且仅当，即，
解得时取等号，
满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
8．(1)
(2)
分析：（1）由题意列出方程组求出，，由此能求出椭圆的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，的方程为，，点B在椭圆内，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出的取值范围.
（1）
由题意，得：又因为
解得，所以椭圆C的方程为.
（2）
当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，
此时为椭圆的上下顶点，且，
因为点总在以线段为直径的圆内，且，
所以；
当直线的斜率存在时，设的方程为.
由方程组得，
因为直线与椭圆有两个公共点，即，得；
设，则.
设的中点，则，
所以.所以，
，
因为点D总在以线段EF为直径的圆内，所以对于恒成立，
所以，
化简，得，整理得，
而（当且仅当时等号成立）所以，
由，得，综上，的取值范围是.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
9．（1）；（2）．
分析：（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.
【详解】（1）因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
综上，或.
10．（1）（2）
分析：（1）根据顶点、离心率建立方程求出椭圆的标准方程；
（2）先由直线与椭圆方程联立方程组，由判别式得出不等关系，根与系数关系，再将条件转化为A在线段的垂直平分线上，建立等量关系，最后将它们相结合进行求解．
【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为，
则解之得：．
故椭圆的标准方程为．
（2）设弦的中点，设，
由得，
因为直线与椭圆相交，所以，
，①
∴，所以．
∴，
又，∴，
则，即，②
把②代入①得，解得，
由②得，解得．
综上可知m的取值范围为．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，有一定难度，属于中档题目．
11．C
分析：可得当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，讨论焦点在轴和在轴上两种情况即可求解.
【详解】若椭圆焦点在轴上，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，
则，解得；
若椭圆焦点在轴上，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，
则，解得；
综上，m的取值范围是
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点M满足，则此时，则.
12．C
分析：延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果.
【详解】如下图，延长、相交于点，连接，
因为，则，
因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，
因为为的中点，所以，，
设点，由已知可得，，，
则且，且有，
，
故，
所以，.
故选：C.
13．C
分析：判断直线与椭圆的交点的位置,然后求解|AB|的取值范围即可．
【详解】由可知，椭圆的短轴长，长轴长，
又直线与椭圆相交于A，B两点，
所以的最大值为，
将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，此时的最大值仍然是长轴长，而短轴两个端点间的距离为，由于A,B不能在短轴端点处，
所以，
故选：C
14．C
分析：分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线的斜率不存在，可求出点的坐标，从而可得，当直线的斜率存在，设直线的方程为，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出，从而可表示出，， 进而可表示
【详解】解：由椭圆的对称性可知，，.
设点，.
若直线的斜率不存在，则点，，
所以，所以.
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立消去整理得，，
则.
又，
同理可得，
所以，
所以.
综上，的取值范围为，
故选:C.
15．BCD
分析：将，的坐标代入椭圆的方程可求出的值，从而可得椭圆方程，进而可求出的值，于是对A，B选项可进行判断；对于C，由题意可知，点在曲线段之间，从而可求出直线的斜率的范围；对于D，求出与平行且与椭圆相切的直线，从而可得点的坐标，进而可求出的面积的最大值
【详解】解：将，的坐标代入椭圆的方程得且，得，，所以椭圆的方程为，其焦点为，故A错误．
离心率为，故B项正确．
根据题意，可知点在曲线段之间，因为直线的斜率为1，所以直线的斜率小于1，故C项正确．
由于直线的斜率为，所以设与平行且与椭圆相切的直线为，将其代入椭圆方程整理得，由得或，当时，切点为不合题意，舍去，当时，切点为，即当取时，的面积最大，因为直线为，所以直线与切线间的距离为，所以的面积最大值为，故D项正确．
故选：BCD
【点睛】此题考查椭圆方程的方程及几何性质，解题的关键是根据题意求出椭圆方程，考查计算能力，属于中档题
16．ABC
分析：由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB长度的取值范围，判断B；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C；表示出的周长的表达式，结合t的取值范围可判断D.
【详解】由题意得半圆的方程为，
设椭圆的方程为，所以 ，
所以椭圆的方程为．
A．椭圆的离心率是，所以该选项正确；
B． 当时，；当时，，
所以线段AB长度的取值范围是，所以该选项正确；
C．由题得面积，
设，
设，所以，
所以
，当且仅当时等号成立，所以该选项正确；
D．的周长，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，所以的周长没有最大值，
所以该选项错误．
故选：ABC.
17．ABD
分析：先根据已知条件得到，再利用的面积为1，确定点P为C的短轴的一个端点，然后逐项分析即可.
【详解】由，为的中点可知，.
由的面积为1，可知，所以，所以P为椭圆C短轴的一个端点，则，所以，所以，A正确；
由A可知，椭圆C的方程为，将点的坐标代入，可知满足C的方程，B正确；
因为为等腰直角三角形，且，所以的内切圆半径，C错误；
不妨取，则直线的方程为，即，设椭圆C上的点，则点M到直线的距离，其中，则，D正确.
故选：ABD.
18．BD
分析：根据点在椭圆内部求得的范围，从而解得离心率范围即可判断；由离心率求得，再利用椭圆定义，数形结合求得的最大值；根据可得，结合选项中所得的范围即可判断；利用均值不等式以及椭圆定义，即可求得的最小值.
【详解】因为长轴长为4，所以，即；因为点在椭圆内部，
所以，又，故可得.
对于选项：
因为，故，，故不正确；
对于选项：
当，即，解得，所以，则；
由椭圆定义：，
如图所示：当点，，共线且在轴下方时，取最大值，
所以的最大值为，故正确；
对于选项：
若，则
由选项知，，，，
所以，
所以不存在使得，故不正确；
对于选项：由基本不等式可得，当且仅当时取得等号.
又，所以，故正确．
综上所述：正确的选项是：.
故选：.
19．
分析：利用焦半径公式把比值表示为的式子，然后由得出范围．
【详解】设，，且得：.
故答案为：.
20．
分析：分析可知，则，设直线的方程为，与椭圆的方程联立，利用韦达定理、弦长公式可求得的最小值，即可得解.
【详解】设点关于原点的对称点为，由于椭圆关于原点对称，则点在椭圆上，
因为既为的中点，也为线段的中点，故四边形为平行四边形，
故且，
因为且，故点与点重合，所以，，
由题意可知，直线不与轴重合，易知点，设点、，
设直线的方程为，联立，可得，
，，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
21．
分析：作点关于原点的对称点，连接、、，分析可知且、、三点共线，故，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用弦长公式可求得的取值范围，即可得解.
【详解】作点关于原点的对称点，连接、、，易知点、，
由椭圆的对称性可知点也在椭圆上，
因为为、的中点，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
因为，故、、三点共线，则，
所以，.
因为点、为椭圆上位于轴上方的两点，则直线不与轴重合，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，
由韦达定理可得，，
所以，，
所以，.
故答案为：.
22．
分析：设，，中点，，利用点差法及两点的斜率公式得到，即可求出的取值范围，再根据，可得，最后根据计算可得；
【详解】解：设，，中点，，
由与相减得，
所以，
又，所以，所以，即，
因为，所以，所以，
又，所以，所以，所以，
又，所以，即．
故答案为：
23．（1）；（2）.
分析：（1）利用椭圆的性质及，即可得出；
（2）分直线的斜率存在于不存在讨论，当的斜率存在时，可设直线的方程为 ，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及其中点坐标公式及其基本不等式的性质即可得出.
【详解】解：（1）设椭圆的半焦距是.依题意，得.
因为椭圆的离心率，
所以，，.
故椭圆的方程为 .
（2）当轴时，显然.
当与轴不垂直时，可设直线的方程为.
由消去整理得
.
设，，线段的中点为，
则.
所以，.
线段的垂直平分线方程为.
在上述方程中令，得.
当时，；当时，.
所以，或.
综上：的取值范围是.
【点睛】此题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题
24．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．
试题解析：（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
【考点】圆锥曲线综合问题
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
25．（1）；（2）.
分析：（1）求出的值后可求抛物线的方程.
（2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直线在x轴上的截距为．
【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.
方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
26．(1)证明见解析
(2)
分析：（1）设，即可表示、的坐标，再由直线的方程，得到点坐标，同理可得点坐标，从而得证；
（2）依题意可得，即可求出、，再根据三角形面积求出的取值范围；
（1）
解：设，
则，
由于A，F，B三点共线，则，整理得，
又，
则，同理可得
则，
，所以，即证；
（2）
解：若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，
即，则，
化简得，，
即
可得，又因为，
，
可得，，，
，，即
27．(1)
(2)
分析：（1）由题可知，求解即可；（2）利用韦达定理求斜率的范围以及线段中点T的横坐标为，注意讨论直线斜率是否存在．
（1）
由题可知解得.
故椭圆C的方程为.
（2）
当直线l的斜率不存在时，T到直线的距离为1.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为.
联立消y，得.
由及题意，可得.
设，则.
直线的方程为，
令，得，则.
同理，.
因为点M，N位于x轴异侧，所以.
即
，
解得.
线段中点T的横坐标为t，则.
T到直线的距离为.
由，得，故.
综上，T到直线的距离的取值范围为.
28．(1)
(2)
分析：（1）根据题意得，再通过的周长为求出，即可计算得到椭圆方程；
（2）先讨论直线与轴重合和垂直的情况，再计算一般情况，得到的表达式，然后计算范围.
（1）
由题，
由椭圆定义，的周长为，所以
所以椭圆的方程为.
（2）
当轴时，MN与x轴重合，不符合题意，
当直线与轴重合时，，所以；
当直线斜率存在且不为0时，设
，
由韦达定理
所以
同理
所以
综上所述，的取值范围是.
29．(1)2；
(2).A点的横坐标为，AC斜率的范围是.
分析：（1）先得出曲线的准线方程，进而建立等式求出答案；
（2）设点，进而得到点A的坐标，然后代入曲线化简即可得到t,p间的关系，进而求出点A的横坐标；然后根据及t,p间的关系将所求斜率进行化简，最后结合对勾函数的性质求出斜率的范围.
（1）
由题意，曲线的准线方程为，则.
（2）
由题意，，，设，因为点B为线段AC的中点，则，代入曲线得，则点A的横坐标.
因为，所以，
易知，由对勾函数的性质可知，，所以，于是.
30．(1)
(2)若选①，；若选②，直线AD不存在.
分析：（1）求出后可得双曲线的方程.
（2）若选①，设，，联立直线方程和双曲线方程后可求四边形面积的平方的表达式，从而可求其取值范围；若选②，可得设，其中，则可求的坐标，利用它们在双曲线上及可得关于的方程组，根据方程组无解可得直线不存在.
（1）
因为双曲线的渐近线方程为，故，又，
解得，故双曲线的方程为：.
（2）
若选①，
由题设可知直线，的斜率均存在且均不为零，设，，
设，则可得，其中.
同理，其中，故或，
故，同理，
故四边形ACBD的面积满足：
，
令，则，
当或时，；
当或时，；
故在，上为增函数，在，上为减函数，
故当或时，或，
所以，故即.
若选②，
先考虑在轴上方，且在第一象限，在第二象限，
设，其中，若M，N为线段AD的三等分点，
则可得，
故，同理，
所以，整理得，
而，故，
故，
整理得到，
故无解，
故满足条件的直线不存在，
由双曲线的对称性可得直线不存在.