人教A版选择性必修一高二数学上册期末复习 圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法（2份，原卷版+解析版）

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1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，
具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。
3、双曲线的用点差法同理，可得
二、抛物线的中点弦与点差法
设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为
代入抛物线方程，，，
将两式相减，可得，
整理可得：
三、点差法在圆锥曲线中的结论
题型一 中点弦所在直线的斜率与方程
【例1】已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______.
【答案】
【解析】已知椭圆的弦被点平分，设这条弦的两个端点分别为、，
则，得，由于点、均在椭圆上，则，
两式相减得，可得，即，
所以直线的斜率为，因此，这条弦所在直线的方程为，
即.故答案为：.
【变式1-1】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，整理可得．设，，则，两式相减可得．因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，则直线的斜率．故选：C
【变式1-2】已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为M（4，2），则直线AB的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】设交点坐标分别为，，，，则，，，
两式相减可得，即，
所以，即直线的斜率为；故选：A．
【变式1-3】过点的直线交抛物线于两点，当点恰好为的中点时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，所以，两式相减得，，
因为点为的中点，所以，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即，联立，所以，，故斜率为符合题意，因此直线的方程为，故选：D.
【变式1-4】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，的中点，则，.
因为，两点在椭圆上，所以，.两式相减得：，
，，，
即，解得.故选：B
【变式1-5】椭圆离心率为，直线与椭圆交于，两点，且中点为，为原点，则直线的斜率是_______．
【答案】
【解析】因为椭圆离心率为，所以，所以
设，，所以，，
因为，在椭圆上，所以，两式作差得，
即，即，即，所以，故答案为：
【变式1-6】已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，所以不妨设为.
设，，，，，，，
两式作差得，则，，
同理可得，所以，故选：．
题型二 求圆锥曲线的方程问题
【例2】过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则 的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
所以，所以
椭圆方程为：.故选：A.
【变式2-1】已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，求双曲线的方程 .
【答案】
【解析】设双曲线的方程为(，)，由题意知，，
设、则有：，，
两式作差得：，又的斜率是，
∴，代入得，，，∴双曲线标准方程是.
【变式2-2】已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为.故选：D.
【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程；
【答案】
【解析】设，，
，两式相减并化简得，，所以抛物线方程为.
【变式2-4】设、是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线为，若，则______.
【答案】
【解析】由题知，，，两式相减得，
所以，由题知，所以，所以.
故答案为：.
题型三 求圆锥曲线的离心率问题
【例3】过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则， ，
所以，作差得，所以，即，所以该椭圆的离心率.故选：A.
【变式3-1】已知直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】设，，代入椭圆方程得，，
两式作差得，整理得，因为，
所以，又因为，所以，所以，
所以.故答案为：.
【变式3-2】已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，设，由题设可得，，所以.
因为，
所以，则，所以.
【变式3-3】已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是______．
【答案】2
【解析】设，
则，两式作差可得：，即，
因为为BD中点，所以，又直线BD斜率为1，所以，代入可得，，所以C的离心率.故答案为：2
【变式3-4】已知直线:与双曲线:(,)交于,两点,点是弦的中点,则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设，点是弦的中点
根据中点坐标公式可得:,两点在直线:
根据两点斜率公式可得:，两点在双曲线上
,即
解得:故选:D.
题型四 弦中点的坐标问题
【例4】已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，消去y，得，则，，
所以A、B两点中点的横坐标为：，所以中点的纵坐标为：，
即线段AB的中点的坐标为.故选：B
【变式4-1】求直线被抛物线截得线段的中点坐标。
【答案】
【解析】解法一：设直线与抛物线交于，，其中点，
由题意得，消去y得，即，
所以，，即中点坐标为。
解法二：设直线与抛物线交于，，其中点，
由题意得，两式相减得，所以，
所以，即，，即中点坐标为。
【变式4-2】已知直线l过抛物线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，，则弦AB中点M的横坐标是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】直线l过抛物线的焦点, 交抛物线C于A、B两点则其焦点坐标为,准线方程为 过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于,交轴于,如下图所示:设
由抛物线定义可知,
由,可知
因为为的中点,由梯形的中位线性质可知
则即M的横坐标是 故选:C
【变式4-3】已知圆与抛物线相交于两点，且，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，则线段的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为关于轴对称，所以纵坐标为，横坐标为1，代入，
可得.设点，.则则，，又关于直线对称.，即，，又的中点一定在直线上，.线段的中点坐标为.故选:A.
题型五 求弦中点的轨迹方程问题
【例5】过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。
【答案】 （）
【解析】解法一：设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），
则有，两式相减得，
又因为，，所以，
所以，而，故。
化简可得 （）。
解法二：设弦中点M（），Q（），
由，可得，，
又因为Q在椭圆上，所以，即，
所以PQ中点M的轨迹方程为 （）。
【变式5-1】斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
【答案】(或).
【解析】设直线为，与双曲线交点为，联立双曲线可得：，
则，即或，所以，
故，则弦中点为，所以弦的中点的轨迹方程为(或).故答案为：(或)
【变式5-2】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，求弦的中点轨迹方程.
【答案】
【解析】设，中点，则.
，过定点，.
又，（1），（2）
得：，
.于是，即.
∵弦中点轨迹在已知抛物线内，
∴所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）.
【变式5-3】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.
【答案】.
【解析】方法1：设，，弦的中点为，则，
当直线的斜率存在时，.
因为两式相减，得.
所以，即，即.
当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），
由得.所以 所以.
设，，的中点为，则，.
所以.
所以消去参数，得.
当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
题型六 圆锥曲线上两点关于直线对称问题
【例6】已知椭圆C：上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点的纵坐标为，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】设，，则，，
两式相减，得，即，
，关于直线对称，，
又线段中点的纵坐标为，线段中点的横坐标为，所以
，解得．故选：A．
【变式6-1】已知椭圆：上存在，两点关于直线对称，且线段的中点在抛物线上，则实数的值为___________.
【答案】或
【解析】因为所在的直线与直线垂直，所以设：，的中点，
联立，得，设，，则有，所以，，得，将代入抛物线方程中得，所以或，
所以或，因为点在直线上，所以得或，
故答案为：或.
【变式6-2】已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.
【答案】.
【解析】设、是椭圆E上关于直线的两个对称点，则应有：
①-②并把③代入得..⑥
联立④⑥得代入⑤得，解得.
【变式6-3】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】当时，显然满足.当时，设抛物线上关于直线对称的两点
分别为，且的中点为，则，（1），（2）
得：，，又，.
中点在直线上，，于是.
中点在抛物线区域内，即，解得.
综上可知，所求实数的取值范围是.
题型七 弦中点存在性问题
【例7】已知点，直线l：与椭圆相交于A，B两点，是否存在直线l满足？
【答案】不存在，过程见解析
【解析】设存在直线l满足，不妨设，联立直线与椭圆
可得
由于直线和椭圆有两个交点，故解得：
故，即的中点坐标为
，过点和中点的直线与直线垂直，
即不存在直线l满足
【变式7-1】已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；（2）不存在；理由见解析.
【解析】（1）设，，则，即．
因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，即，
又，所以，即．
又因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，直线的方程为．
假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，
设，，的中点为，所以，，
因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即．
又因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，
即，所以，即．
联立，解得，即．
又因为，即点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，
所以椭圆上不存在点，两点，使得，关于直线对称．
【变式7-2】已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
【答案】不存在
【解析】假设这样的直线存在，设的坐标分别为，
则，，又，（1），（2）
得：，
的斜率
又直线过三点，的方程为 ，即.
但若将代入整理得方程，
而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.
【变式7-3】已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为.
（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围；
（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的斜率；若不能，请说明理由.
【答案】（1）；（2）能，.
【解析】（1）当时，椭圆，椭圆的两个焦点.
设，则，即，所以，
所以
因为，所以所以的范围是.
（2）设A，B的坐标分别为可得.
则，两式相减可得，即.
又设，直线，即直线的方程为，
从而代入椭圆方程可得，.
由与联立得.
若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，
所以，即，整理可得，解得.
经检验满足题意，所以当时，四边形OAPB为平行四边形.