新高考数学三轮冲刺提升练习专题18 圆锥曲线中的最值和范围问题（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（安徽省淮北市2023届高三二模数学试题）已知，过斜率为的直线上存在不同的两个点满足：.则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江苏南通·三模）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为( ).
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江西上饶·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（重庆市2023届高三猜题信息联考（二）数学试题）如图，已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交于，两点（点在轴的上方），过椭圆的右焦点的直线交于，两点，则（ ）
A．若，则的斜率
B．的最小值为
C．以为直径的圆与圆相切
D．若，则四边形面积的取值范围为
6．（2023·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，则（ ）
A．B．的最小值为4
C．D．的最小值为10
7．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知椭圆的左右焦点分别为，圆内切于椭圆.过椭圆上不与顶点重合的点引圆的两条切线，切点分别为，点关于原点对称，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．存在点，使得
C．若直线交椭圆于两点，线段的中点为，则的值为常数
D．若在轴上的射影是，直线交椭圆于另一点，则直线与不垂直
8．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，则（ ）
A．
B．当时，四边形为正方形
C．四边形面积的最大值为
D．若四边形为菱形，则
三、填空题
9．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知F为抛物线C：的焦点，都是抛物线上的点，O为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为 ，点，则的最小值为______________．
10．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知抛物线与圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，其中，在第一象限，，在第四象限，则最小值是______.
11．（2023·陕西商洛·统考二模）已知椭圆，，，斜率为的直线与C交于P，Q两点，若直线与的斜率之积为，且为钝角，则k的取值范围为_______．
12．（2023·吉林长春·校联考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为______.
四、解答题
13．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上.已知以为圆心，为半径的圆交于两点，若的面积为.
(1)求的值；
(2)过点的直线交抛物线于点（异于点），交轴于点，过点作直线的垂线交拋物线于点，若点的横坐标为正实数，直线和抛物线相切于点，求正实数的取值范围.
14．（2023·甘肃武威·统考三模）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．
15．（河北省2023届高三适应性考试数学试题）在平面直角坐标系xOy中，点A在轴上滑动，点B在轴上滑动，A、B两点间距离为．点P满足，且点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设M，N是C上的不同两点，直线MN斜率存在且与曲线相切，若点F为，那么的周长是否有最大值．若有，求出这个最大值，若没有，请说明理由．
16．（2023·北京西城·高三专题练习）已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围.
17．（贵州省新高考“西南好卷”2022-2023学年高二下学期适应性月考数学试题（五））已知椭圆的离心率为，三点，，中恰有两点在椭圆上.
(1)求的标准方程；
(2)设过点的直线（不为轴）与交于不同的两点，若点满足，求的取值范围.
18．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)设，求证：是定值；
(2)求的取值范围.
19．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知椭圆C：的离心率为，左､右焦点分别为，，过的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于P点，，，记，，的面积分别为，，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求m的取值范围.
20．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的上焦点为F，且C上的点到点的距离的最大值与最小值的差为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为1.
(1)求的方程；
(2)已知直线：）与交于,两点，与轴交于点，若点是线段靠近点的四等分点，求实数的取值范围．
21．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为.过点的直线交椭圆于两点，直线与的交点为.
(1)当直线的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点使得和的面积为，求的取值范围；
(2)求证：点在一条定直线上.
22．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知椭圆上右顶点到右焦点的距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P（4，0），AB是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
(3)在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围.
23．（2023春·山东青岛·高二校考期中）已知点，，中，只有一点不在抛物线上.
(1)求W的方程；
(2)若直线与W相切，证明：.
24．（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．
25．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．
(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设的斜率为，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．
26．（2023·海南·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一个动点，，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)设点在第一象限，且直线，与椭圆分别相交于另外两点和，求的最大值.
27．（2023·江苏南通·三模）双曲线C：，点是C上位于第一象限的一点，点关于原点O对称，点关于y轴对称．延长至E使得，且直线和C的另一个交点F位于第二象限中．
(1)求的取值范围；
(2)证明：不可能是的三等分线.
28．（2023·四川遂宁·统考三模）已知椭圆的左右焦点分别是，，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为4，过左焦点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且（为坐标原点），求的取值范围.
29．（2023·湖北十堰·统考二模）已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A点在x轴的上方），直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，且，求k的取值范围．
30．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点作轴的垂线，与交于两点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，，交于点，求的取值范围．
31．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线，从点发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别为A、B，求的取值范围．
32．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上一点到焦点的距离为2.
(1)求抛物线方程；
(2)圆：，过抛物线上一点 作圆的两条切线与轴交于、两点，求的最小值.
33．（2023·辽宁丹东·统考一模）已知O为坐标原点，，为双曲线C：的左右焦点，P为C的右支上一点，当轴时，．
(1)求C的方程；
(2)若P异于C的右顶点A，点Q在直线上，，M为AP的中点，直线OM与直线的交点为N，求的取值范围．
34．（2023·四川遂宁·统考三模）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围．