人教A版必修第一册高一数学上册同步讲与练第23讲 函数的对称性和周期性专题训练（2份，原卷版+解析版）

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第23讲 函数的对称性和周期性专题训练【知识点梳理】1.函数常见对称性结论定理1 若函数关于直线对称，则．关系式也可以写成 或．若写成，则函数关于直线对称．定理2 若函数关于点对称，则．推论2 关系式也可以写成或．2.函数常见周期性结论若函数对于任意的都满足，则为的一个周期，且定理1  = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若函数满足，则． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若函数满足，则． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若函数满足，则．④若函数满足，则．定理2 若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期．定理3 函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周定理4 函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．推论1 周期为的奇函数一定关于点对称，周期为的偶函数关于直线对称．定理5 若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．证明 由函数,则，所以，则是以为周期的周期函数．定理6 若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．证明 由函数满足得，则函数是以为周期的周期函数．定理7 若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．证明 由，又，则．【典型例题】题型一：利用周期性求函数值【例1】已知奇函数满足，当时，，则（       ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由奇函数性质用已知等式确定函数的周期性，然后由周期性、奇偶性求函数值．【详解】是奇函数，则，所以，函数是周期函数，是它的一个周期，．故选：A．【例2】已知是R上的奇函数，且，当时，，则（       ）A．3 B． C．255 D．【答案】B【分析】根据题意可知是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【详解】由可得，，故是以4为周期的周期函数，故，故选：B【例3】设是定义在上的周期为3的函数，当时，，则（　　）A．﹣1 B．1 C． D．【答案】D【分析】根据题意，化简得到，代入即可求解.【详解】因为是定义在上的周期为3的函数，当时，，则.故选：D.【例4】（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（       ）A．是偶函数 B．是周期函数C． D．时，【答案】AB【分析】首先判断函数的奇偶性与周期性，根据奇偶性求出函数在上的解析式，最后根据周期性求出.【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以是偶函数，故A正确；又，所以是以为周期的周期函数，故B正确；设，则，所以，又是偶函数，则，即当时，故D错误；，故C错误；故选：AB【例5】是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______．【答案】【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再根据对数的运算及奇函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以，即，所以是以为周期的周期函数，又所以，又是定义在上的奇函数，所以，且当时，，所以.故答案为：【题型专练】1.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（     ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．【详解】解：，，函数是周期为的周期函数，又当时，，所以，，，，故选：B．2.已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（       ）A．0 B．1C．6 D．216【答案】C【分析】由可得函数周期为6，进而，最后求出答案.【详解】根据题意，偶函数满足，即，是周期为6的周期函数，则，当时，，则，故故选：C3.已知函数为定义在上的奇函数，且，当时，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知函数是周期为的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性的性质可求得结果.【详解】因为，所以，即，所以函数的周期为，所以，因为函数为定义在上的奇函数，且当时，，所以，所以.故选：B.4．已知定义在上的函数满足，则___________.【答案】【分析】由函数满足，推得函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期，即可求解.【详解】因为在R上的函数满足，且，令，有，又，所以函数是以4为周期的周期函数，所以.故答案为：．5．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.【答案】1【分析】由已知条件可得，函数的周期为4，再结合所给的解析式可求得答案【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，因为，所以，所以，所以的周期为4，因为当时，，所以，故答案为：1题型二：函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【例1】已知定义在上的偶函数满足，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意, 分析可得函数是周期为4的周期函数, 由此可得，，用赋值法求出的值, 由此计算即可得答案.【详解】根据题意, 函数满足, 则,又由为偶函数，则有,则有, 即函数是周期为4的周期函数,，令可得.，，所以故选：B【例2】已知函数是上的奇函数，且满足，当，，则下列关于函数叙述正确的是（       ）①函数的最小正周期为2②函数在内单调递增③函数相邻两个对称中心的距离为④函数在区间内有个零点A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据已知关系式通过赋值确定函数的周期，由此判断①；由周期性、奇偶性和函数在上的解析式可得图象，通过图象判断②③；将零点个数问题转化为与交点个数问题，通过数形结合判断④，由此确定正确命题的个数.【详解】因为函数是上的奇函数，所以，，当，， 所以，， 所以函数在和上都单调递增，由取可得，所以函数为周期函数，周期为2，由以上条件可得大致图象如下图所示：由图象可得最小正周期为，①正确；函数在内不单调递增，②错误；的对称中心为，则相邻的对称中心之间距离为，③错误；在区间内的零点个数等价于与在内的交点个数，在平面直角坐标系中画出与大致图象如下图所示：由图象可知：与在区间时的交点横坐标为1，在每个内都有个交点，且交点横坐标小于，故两个函数在内有个交点，即在区间内有个零点，④正确.故选：B.【例3】定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.【详解】因为当时，，所以，又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误.故选：B.【例4】设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当，，若，则=（       ）A．- B．- C．- D．【答案】C【分析】根据函数的图像变换以及奇偶性，可得函数的所有对称中心和对称轴，进而可得函数的周期，以及所过的点，求得部分解析式，可得答案.【详解】根据函数的图像变换，由为偶函数，为奇函数，则直线，分别为函数的对称轴与对称中心，即函数的对称轴的方程为与对称中心坐标为，易知，函数的周期，由，则，即，且，可得方程：，解得，即当，，.故选：C.【例5】已知函数的定义域为，且满足：，又为偶函数，当时，，则的值为（       ）A．4 B． C．0 D．2【答案】C【分析】由，可得，再根据条件得到周期后即可求解.【详解】由，可知函数关于点中心对称，即有；由为偶函数，可知函数关于对称，即有.于是有，从而可得，因此可得函数的周期为4.所以，.再由，令，有，即.所以.故选：C【例6】已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由题意可得函数是周期为4的周期函数，所以，令有，即可求出答案.【详解】，用代换，有恒成立，所以函数是周期为4的周期函数.所以.令有，所以.故选：A【例7】已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法错误的是（       ）A．函数是偶函数 B．函数的最小正周期为C．当时，函数的最小值为 D．方程有个根【答案】C【分析】利用偶函数的定义判断A；利用函数周期的定义判断B；根据对称性以及二次函数的性质可判断C；利用数形结合的判断D.【详解】因为是定义域为R的函数，由，则，又，所以，即，所以，所以函数是偶函数，故A正确；由，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B正确；当时，，函数的最小值为，由，所以为对称轴，所以当时，函数的最小值为，故C不正确；作出时与的图像，由图像可知时，函数有个交点，又与为偶函数，由对称性可知方程有10个根，故D正确.故选：C.【例8】若函数的定义域为R，且，则（ ）A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．【题型专练】1.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由奇函数性质可得，由偶函数性质可得，化简整理可得，即可求出周期.【详解】因为为奇函数，所以， 因为为偶函数，所以，则，则，即，所以，即，，所以的周期是4.故选：C.2．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（       ）A． B．0 C． D．1【答案】D【分析】根据奇偶性的性质化简可得是以4为周期的函数，即可求出.【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，又为偶函数，故可得，则，故以4为周期，故.故选：D.3．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（       ）A．1 B．-1 C．2 D．-3【答案】B【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将.【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．故选:B．4.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（       ）A．是以4为周期的周期函数B．C．函数有3个零点D．当时，【答案】B【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】因为，且为偶函数，所以，故的周期为4，故A正确．由的周期为4，则，，所以，故B错误；令，可得，作函数和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；当时，，则，故D正确．故选：B．5．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，为偶函数，且当时，，则（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】先判断出函数是周期为4的周期函数，利用周期性直接求解.【详解】因为为偶函数，所以，用代换x，可得：①对任意的，有，把①代入有：，即②在②式中，用代换x，有③.②③对照可得：，用代换x，有恒成立，所以函数是周期为4的周期函数.所以.在③中，令有，所以，所以.故选：A6．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（       ）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的图象关于直线成轴对称C．在区间上，为减函数D．【答案】C【分析】对于A：根据题意结合奇函数可得，结合对称中心结论，则关于成中心对称理解判断；对于B：根据对称轴的结论：，则关于成轴对称，结合题意理解判断；对于C：根据题意可得：在内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调性相反理解判断；对于D：整理可得，则的周期为4，结合单调性整理分析．【详解】，即，故关于成中心对称，不正确；∵，则关于成轴对称，错误；根据题意可得：在内单调递增∵关于成轴对称，（2，0）中心对称，则在内单调递减；正确；又∵，则∴，可知的周期为4，则错误，故选：C．7．已知函数为上的奇函数，为偶函数，则下列说法错误的是（       ）A．的图象关于直线对称B．C．的最小正周期为4D．对任意的都有【答案】C【分析】由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.【详解】由的对称中心为，对称轴为，则也关于直线对称且，A、D正确，由A分析知：，故，所以，所以的周期为4，则，B正确；但不能说明最小正周期为4，C错误；故选：C8．的定义域为，且，，则（       ）A．3 B．2 C．0 D．1【答案】C【分析】令，则，由此可推出，则的周期为6，然后利用赋值法求出的值，可求出一个周期上的6个函数值的和，从而可求出【详解】令，则，即，所以，，所以，所以，所以的周期为6，令，则，得，因为，所以，，，，，所以，所以故选：C9．（多选）已知函数对，都有，且，则（       ）A．的图像关于直线对称B．的图像关于点中心对称C．D．【答案】ABC【分析】A选项根据题目条件立即得出，BCD选项通过已知条件合理的进行“取代”，推出函数周期后便容易得出结果.【详解】因为，所以关于对称，A选项正确；又，令去取代，所以，再令取代，所以，所以的周期为4，由可得：，所以的图像关于对称，结合的周期为4，所以的图像关于点中心对称，故B正确；定义在上的奇函数满足，令中，可得，所以，故C正确；，故D不正确.故选：ABC.10．（多选）已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（       ）A．函数是偶函数 B．函数在上单调递增C．x=2是函数的对称轴 D．函数的最小正周期是12【答案】BCD【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由结合函数的奇偶性可推得以及，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;【详解】因为定义在R上的函数 满足，即，故函数是奇函数，故A错误；因为，故，而，所以，即的图象关于对称，则x=2是函数的对称轴，故C正确；因为，所以，故12是函数的周期；对任意的 ，当 时，都有 ，即，故时，单调递减，又因为为奇函数，所以时，单调递减，又因为的图象关于对称，故时，单调递增，因为12是函数的周期，故函数在 单调性与时的单调性相同，故函数在上单调递增，故B正确，作出函数的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数的最小正周期，D正确；故选：BCD