期末测试卷一（含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一）

这是一份期末测试卷一（含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线2x-by+4=0的斜率等于-12,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于( )
A.1 B.2 C.4 D.12
2.与双曲线x24−y28=1有共同渐近线,且经过点(2,4)的双曲线的虚轴长为( )
A.22 B.42 C.2 D.4
3.已知☉O1:x2+y2-ax=0(a>0)截直线x-y=0所得线段的长度是22,则☉O1与☉O2:
(x-4)2+(y-2)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相离
C.外切 D.相交
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=2DC,E为PC上一点,且PC=4EC,则异面直线AC与BE所成角的余弦值为( )
A.-4214 B.4214 C.2114 D.−2114
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC的距离与到直线D1C1的距离相等,则动点P的轨迹是 ( )
A.线段 B.圆弧 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
6.已知抛物线C:y2=4x上一点P(x0,y0),点A(3,21),则y022+2|PA|的最小值是( )
A.10 B.8 C.5 D.4
7.设a为实数,若直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y+a=0,l3:(a2+a-5)x+3ay+5=0两两相交,且交点恰是直角三角形的三个顶点,则这样的l1,l2,l3有( )
A.2组 B.3组
C.4组 D.5组
8.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则椭圆C的离心率为( )
A.13 B.12 C.23 D.34
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,且满足r1+r20)始终平分圆C:(x-1)2+(y-2)2=4的周长,则2m+1n的最小值为 .
13.已知双曲线E:x24−y212=1,过P(4,t)(t>0)作直线l交双曲线于A,B两点,若不存在直线l,使得P是线段AB的中点,则t的取值范围是 .
14.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE= ,点E的轨迹的长度为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分)
15.(13分)如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角E-AC-B的正弦值;
(3)求点D到平面ACE的距离.
16.(15分)以双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心作圆,与C的一条渐近线切于点Q43,253.
(1)求双曲线C的标准方程及其离心率;
(2)已知点M,N分别是双曲线C的左、右顶点,过右焦点F作一条斜率为k(k≠0)的直线l,与双曲线交于点A,B,记直线MA,NB的斜率分别为k1,k2.求k1k2的值.
17.(15分)从①CD⊥BC;②BC∥平面PAD这两个条件中选一个,补充在下面的横线上,并解答.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=23,E为PB的中点, .
(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;
(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PB上是否存在一点F,使得AF∥平面PCD?若存在,求出|PF||PB|的值;若不存在,请说明理由.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(17分)在平面直角坐标系中,直线l:x-3y-4=0交x轴于点M,以原点O为圆心的圆与直线l相切.
(1)求圆O的方程;
(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°,求x0的取值范围;
(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
19.(17分)已知点A,B在直线l:y=x+2上(B在A的上方),P(2,0),|AB|=2,斜率为k1的直线AP交抛物线Γ:y2=4x于点M,N,直线BP交Γ于点R,S,如图所示.
(1)求k1的取值范围;
(2)若043或00)的渐近线方程为y=±bax.
因为圆F与y=bax切于点Q43,253,所以ba=52①.(1分)
设F(c,0),则kFQ×ba=-1,即25343-c×ba=-1②.(3分)
又c2=a2+b2③,所以由①②③解得c=3,a=2,b=5,(4分)
则双曲线C的标准方程为x24−y25=1,离心率e=ca=32.(6分)
(2)由(1)得M(-2,0),N(2,0),F(3,0),
所以直线l的方程为y=k(x-3).(8分)
由y=k(x-3),x24-y25=1,消去y并整理,得(5-4k2)x2+24k2x-36k2-20=0,
所以5-4k2≠0且Δ=(24k2)2+4×(5-4k2)(36k2+20)>0,解得k≠±52.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-24k25-4k2=24k24k2-5,x1x2=36k2+204k2-5,(12分)
所以k1k2=y1(x2-2)y2(x1+2)=(x1-3)(x2-2)(x2-3)(x1+2)=x1x2-3(x1+x2)+x1+6x1x2-3(x1+x2)+5x2-6=36k2+204k2-5-3×24k24k2-5+24k24k2-5-x2+636k2+204k2-5-3×24k24k2-5+5x2-6=12k2-104k2-5-x250-60k24k2-5+5x2
=−15.(15分)
17.解析 (1)证明:选择条件①.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=2,∴PD=22.
又∵PC=23,CD=2,∴CD2+PD2=PC2,∴CD⊥PD.(2分)
∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD.(3分)
又∵CD⊥BC,∴AD∥BC.
∵AD≠BC,∴四边形ABCD是直角梯形.(5分)
选择条件②.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=2,∴PD=22.
又∵PC=23,CD=2,∴CD2+PD2=PC2,∴CD⊥PD.(2分)
∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD.(3分)
∵BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BC∥AD,又AD≠BC,∴四边形ABCD是直角梯形.(5分)
(2)过A作AD的垂线交BC于点M.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM,PA⊥AD.
如图,建立空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0),E1,-12,1,∴AE=1,-12,1,PC=(2,2,−2),PD=(0,2,-2).(8分)
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·PC=2x+2y-2z=0,n·PD=2y-2z=0,令y=1,得x=0,z=1,∴n=(0,1,1).(10分)
设直线AE与平面PCD所成的角为α,∴sin α=|cs|=-12×1+1×12×32=26.∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26.(12分)
(3)存在.
设|PF||PB|=λ(0