期末测试卷二（含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一）

这是一份期末测试卷二（含答案解析）-人教 B版高二上册数学（选必一），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线3x+2y-1=0的一个方向向量为v=(1,m),则m的值为( )
A.233 B.−233 C.32 D.−32
2.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为-26,则实数x的值为( )
A.-3 B.11 C.3 D.-3或11
3.如图,在空间四边形ABCD中,向量AB=(−3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则EF=( )
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3) C.1,32,32 D.(-5,2,-1)
4.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于( )
A.14 B.34 C.14或45 D.34或14
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1的中点为E,则二面角A-BE-B1的余弦值为( )
A.-1010 B.−8145145 C.−23 D.−45
6.已知双曲线x24−y23=1,F为其右焦点,过F点的直线与双曲线相交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线PQ过F1与椭圆交于P,Q两点,若2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|,则椭圆的离心率是( )
A.105 B.104 C.21313 D.31313
8.已知圆O(O为坐标原点)与直线x+y+42=0相切,点P在直线x=8上,过点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点的坐标为( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(1,0) D.(0,1)
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是( )
A.若对空间中任意一点O,有OP=14OA+14OB+12OC,则P,A,B,C四点共面
B.已知向量a=(9,4,-4),b=(1,2,2),则a在b上的投影向量为(1,2,2)
C.若直线l的方向向量为e=(1,0,3),平面α的法向量为n=-2,0,23,则直线l∥α
D.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,a+c}是空间向量的另一组基底
10.设F是抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )
A.|AB|≥4
B.|OA|+|OB|>8
C.若点P(2,2),则|PA|+|AF|的最小值是3
D.△OAB的面积的最小值是2
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E,F分别是BC,A1C1的中点,点D在线段B1C1上,则下面说法中正确的有( )
A.EF∥平面AA1B1B
B.若D是B1C1的中点,则BD⊥EF
C.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为255
D.当直线BD与直线EF所成的角最小时,线段BD的长为322
12.设动直线l:mx-y-2m+3=0(m∈R)交圆C:(x-3)2+(y-2)2=3于A,B两点,则下列说法正确的是( )
A.直线l过定点P(2,3)
B.当|AB|取得最大值时,m=1
C.当∠ACB最小时,其余弦值为14
D.AB·AC的取值范围是[2,6]
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0),B(-4,0)两点,则圆C的方程为 .
14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)与原点之间的距离d的最小值等于 .
15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF2·F1F2=0,O为坐标原点,过点O作F1P的垂线,垂足为点H,若双曲线的离心率e=52,存在实数m满足|OH|=m|OF1|,则m= .
16.如图,在平面四边形ABCD中,|AB|=|BC|=3,|CD|=1,|AD|=5,∠ADC=90°.沿直线AC将△DAC折起到△D'AC的位置,则AC·BD'= ;当平面D'AC⊥平面ABC时,异面直线AC与BD'所成角的余弦值是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)若直线l与圆C交于A,B两点,|AB|=46,求实数m的值;
(2)求证:无论m取什么实数,直线l与圆C恒交于两点;
(3)求直线l被圆C截得的最短弦长以及此时直线l的方程.
18.(12分)下图是一个半圆柱,E为半圆弧CD上一点,|CD|=5.
(1)若|AD|=25,求四棱锥E-ABCD的体积的最大值;
(2)有三个条件:①4DE·DC=EC·DC;②直线AD与BE所成角的正弦值为23;③sin∠EABsin∠EBA=62.请你从中选择两个作为已知条件,求直线AD与平面EAB所成角的余弦值.
19.(12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=32,O为坐标原点,圆O:x2+y2=45与直线AB相切.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1·k2是不是定值?证明你的结论.
20.(12分)已知点E到直线l:y=-2的距离比到点F(0,1)的距离大1.设点E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若P(x0,y0)为直线l上任意一点,过点P作曲线C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,求点F到直线MN的距离的最大值.
21.(12分)如图,将等腰直角△ABC沿斜边AC旋转,使得点B移到点B'的位置,且BB'=AB.
(1)证明:平面AB'C⊥平面ABC;
(2)求二面角B-AB'-C的余弦值;
(3)若在棱CB'上存在点M,使得CM=μCB',μ∈15,45,在棱BB'上存在点N,使得BN=λBB',且BM⊥AN,求实数λ的取值范围.
22.(12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点P(-3,2),|PF|=25,过点P作直线与抛物线E顺次交于A,B两点,过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为C.
(1)求证:直线BC过定点;
(2)若直线BC所过定点为Q,△QAB,△PBC的面积分别为S1,S2,求S1S2的取值范围.
答案与解析
全书综合测评(二)
1.D 直线3x+2y-1=0的斜率为-32,所以m=-32.故选D.
2.A ∵cs=a·b|a||b|=x+8-10x2+16+25×1+4+4=−26,∴x-2x2+41=−22,∴x=-3.故选A.
3.B 由题图得,EF=EB+BA+AF,EF=EC+CD+DF,
所以2EF=EB+BA+AF+EC+CD+DF=(EB+EC)+BA+CD+(AF+DF)
=BA+CD=−AB+CD=(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)=(-4,-6,-6),
所以EF=(-2,-3,-3).故选B.
4.D 设圆C1、圆C2的半径分别为r1,r2.
圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a,所以C1(3,-2),C2(7,1),r1=1,r2=50-a.
由题意得两圆相切,所以|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|.
因为|C1C2|=42+32=5,所以5=1+50-a或5=|1-50-a|,
解得a=34或a=14.故选D.
5.A 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,0,1),B1(2,2,2),∴AB=(0,2,0),EB=(2,2,−1),EB1=(2,2,1),
设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则n·AB=2y=0,n·EB=2x+2y-z=0,
取x=1,得n=(1,0,2),
设平面BB1E的一个法向量为m=(a,b,c),
则m·EB=2a+2b-c=0,m·EB1=2a+2b+c=0,取a=1,得m=(1,-1,0),
设二面角A-BE-B1的平面角为θ,由图知θ为钝角,
∴cs θ=-|m·n||m||n|=−12×5=−1010.
6.C 由双曲线x24−y23=1得a=2,b=3.
当弦AB仅过双曲线右支时,通径最短,长度为2b2a=3,
因为|AB|=4>3,所以符合条件的直线有2条.
当弦AB过双曲线的两支时,实轴最短,长度为2a=4,
因为|AB|=4,所以符合条件的直线有1条.故选C.
7.A 设2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|=6t>0,|F1F2|=2c,则|PF1|=3t,|PF2|=2t,|QF1|=t.
连接QF2,由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a,所以|QF2|=2a-t=4t,所以a=52t.
在△PF1F2中,由余弦定理得4t2=9t2+4c2-2×2c×3t×cs∠PF1F2.
在△QF1F2中,由余弦定理得16t2=t2+4c2-2×2c×t×cs∠QF1F2.
因为∠PF1F2+∠QF1F2=π,所以cs∠PF1F2+cs∠QF1F2=0,
所以4t2+3×16t2=(9t2+4c2-2×2c×3t×cs∠PF1F2)+3(t2+4c2-2×2c×t×cs∠QF1F2),即52t2=12t2+16c2,所以c=102t.
所以椭圆的离心率e=ca=102t52t=105.故选A.
8.A 依题意得,圆O的半径r=4212+12=4,所以圆O的方程为x2+y2=16.连接OA,OB,OP.因为PA,PB是圆O的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上.设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+y-b22=42+b22,b∈R,化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R.因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过点(2,0).
9.ABD 因为14+14+12=1,所以P,A,B,C四点共面,故A正确;
a在b上的投影向量为|a|cs·b|b|=|a|·a·b|a|·|b|·b|b|=a·b|b|2·b=9+8-89b=(1,2,2),故B正确;
e·n=1×(-2)+0+3×23=0,则e⊥n,所以l∥α或l⊂α,故C错误;
假设a+b,b+c,a+c共面,则存在m,n∈R,使得a+b=m(b+c)+n(c+a)=na+mb+(m+n)c,则n=1,m=1,m+n=0,无解,故假设不成立,故D正确.
故选ABD.
10.ACD F(1,0),不妨设点A在第一象限.
①若直线l的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2),则|AB|=4,|OA|+|OB|=2|OA|=254,原点O到直线l的距离d=|k|k2+1,
∴S△OAB=12·|AB|·d=12·4+4k2·|k|k2+1=21+1k2>2.
综上,|AB|≥4,S△OAB≥2,故A,D正确;
如图,过点A向准线作垂线,垂足为N,则|PA|+|AF|=|PA|+|AN|,
故当P,A,N三点共线时,|PA|+|AF|取得最小值3,故C正确.故选ACD.
11.ACD 建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),
F(0,1,2),设D(x,2-x,2),则B1C1=(−2,2,0),BB1=(0,0,2),EF=(−1,0,2),BD=
(x-2,2-x,2).
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,可得AC为平面AA1B1B的一个法向量,AA1为平面ABC的一个法向量.
对于A,易知AC=(0,2,0),因为EF·AC=0,所以EF⊥AC,又EF⊄平面AA1B1B,所以EF∥平面AA1B1B,故A正确;
对于B,若D是B1C1的中点,则BD=(-1,1,2),所以EF·BD=1+4=5,所以EF与BD不垂直,故B不正确;
对于C,易知AA1=(0,0,2),设直线EF与平面ABC所成的角为θ,则sin θ=cs=|EF·AA1||EF||AA1|=45×2=255,故C正确;
对于D,设B1D=λB1C1=(-2λ,2λ,0)(0≤λ≤1),则BD=BB1+B1D=(-2λ,2λ,2),所以BD·EF=2λ+4,所以cs=BD·EF|BD||EF|=2+λ5×2λ2+1=15×3λ+2-432+29,所以当3λ+2=43,即
λ=14时,cs取得最大值,即直线BD与直线EF所成的角最小,此时BD=-12,12,2,
∴BD=|BD|=322,故D正确.故选ACD.
12.AD 对于A,由mx-y-2m+3=0得m(x-2)-y+3=0,
由x-2=0,-y+3=0,解得x=2,y=3,所以直线l:mx-y-2m+3=0过定点P(2,3),故A正确;
对于B,易知圆C的圆心为C(3,2),半径r=3,当直线l经过圆心C(3,2)时,|AB|取得最大值,为23,所以3m-2-2m+3=0,解得m=-1,故B不正确;
对于C,显然点P在圆C内,设圆心C(3,2)到直线l的距离为d,则|AB|=2(3)2-d2=23-d2,因为d≤|PC|=(2-3)2+(3-2)2=2,当且仅当PC⊥l时,等号成立,所以|AB|≥23-2=2,所以cs∠ACB=|AC|2+|BC|2-|AB|22|AC|·|BC|=3+3-|AB|22×3×3=1−16|AB|2,当∠ACB最小时,cs∠ACB最大,所以|AB|最小,因为|AB|的最小值为2,所以cs∠ACB=1-16×4=13,故C不正确;
对于D,AB·AC=|AB|·|AC|·cs∠BAC=|AB|·|AC|·12|AB||AC|=12|AB|2,由B,C中的分析知,2≤|AB|≤23,所以12|AB|2∈[2,6],
即AB·AC的取值范围是[2,6],故D正确.故选AD.
13.答案 (x+3)2+(y-2)2=5
解析 线段AB的中垂线方程为x=-3,把x=-3代入x-2y+7=0,得y=2,故圆心C(-3,2),由两点间的距离公式得半径r=|AC|=5,∴圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=5.
14.答案 5
解析 由y=2x,x+y=3,解得x=1,y=2,把(1,2)代入mx+ny+5=0,可得m+2n+5=0,于是m=-5-2n,因此点(m,n)与原点之间的距离d=m2+n2=(-5-2n)2+n2=5(n+2)2+5≥5,当且仅当n=-2,m=-1时取等号,故点(m,n)与原点之间的距离d的最小值等于5.
15.答案 19
解析 ∵PF2·F1F2=0,∴PF2⊥F1F2,故可设P(c,n),将P(c,n)代入双曲线方程,得n=±b2a.易得
△F1OH∽△F1PF2,∴|OH||PF2|=|OF1||PF1|,又|OH|=m|OF1|,|PF2|=b2a,|PF1|=2a+b2a,∴mb2a=12a+b2a,
∴2a2m+b2m=b2,整理得b2a2=2m1-m.∵e=52,∴e2=c2a2=1+b2a2=1+2m1-m=54,解得m=19.
16.答案 2;69
解析 由题可知|AC|=|CD|2+|AD|2=6,AC·BD'=AC·(BC+CD')=AC·BC+AC·CD',
在△ABC中,由余弦定理得cs∠ACB=|BC|2+|AC|2-|AB|22|AC|·|BC|=9+6-926×3=66,∴AC·BC=|AC||BC|·
cs∠ACB=6×3×66=3,又cs∠ACD'=|CD'||AC|=|CD||AC|=66,∴AC·CD'=|AC||CD'|·
(-cs∠ACD')=6×1×-66=-1,则AC·BD'=AC·BC+AC·CD'=3-1=2.
当平面D'AC⊥平面ABC时,设异面直线AC与BD'所成的角为θ,
以AC的中点O为原点,OB的方向为x轴正方向,OA的方向为y轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,作D'E⊥AC于点E,易知D'E⊥平面ABC,
则|OB|=|BC|2-|CO|2=32-622=302,|ED'|=1×56=306,|CE|=1-3062=66,
∴|OE|=|CO|−|CE|=62−66=63,故B302,0,0,A0,62,0,C0,-62,0,D'0,-63,306,
∴AC=(0,−6,0),BD'=-302,-63,306,∴|BD'|=3,则cs θ=|AC·BD'||AC||BD'|=236=69.
17.解析 易得圆C的圆心为C(1,2),半径r=5.(1分)
(1)由题意得|2m+1+2(m+1)-7m-4|(2m+1)2+(m+1)2=52-4622,解得m=±12.(3分)
(2)证明:方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)可化为m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,
∴2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1,∴直线l恒过点(3,1),记为P.(5分)
∵|PC|=(3-1)2+(1-2)2=50,∴-2