数学选择性必修 第一册圆的方程课堂检测

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1．已知圆C过三个点0,2,1,1,2,2，过点P2,0引圆C的切线，求：
(1)圆C的一般方程；
(2)圆C过点P的切线方程.
【解题思路】（1）设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，代入三点的坐标，求解即可；
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，再结合点线距离公式即可求解.
【解答过程】（1）设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，
代入三个点0,2,1,1,2,2得，4+2E+F=0,2+D+E+F=0,8+2D+2E+F=0,解得D=−2,E=−4,F=4,
所以圆C的一般方程为x2+y2−2x−4y+4=0.
（2）圆C的一般方程化为标准形式为(x−1)2+(y−2)2=1.
当切线斜率不存在时，易知切线方程x=2符合题意.
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx−2，即kx−y−2k=0，
则依题意可得k−2−2kk2+1=1，解得k=−34，此时切线方程为−34x−y+32=0，即3x+4y−6=0.
综上所述，圆C过点P的切线方程为x=2和3x+4y−6=0.
2．已知一圆C的圆心为2,−1，且该圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点P4,3的该圆的切线方程.
【解题思路】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程.
【解答过程】（1）设圆C的方程为x−22+y+12=r2r>0，
∵圆心到直线x−y−1=0的距离为d=2+1−112+−12=2，
又圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22，∴r2=22+22=4，
∴圆的方程为：x−22+y+12=4.
（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为y−3=kx−4，即kx−y−4k+3=0，
由2k+1−4k+3k2+1=2得：k=34，∴切线方程为34x−y=0，即3x−4y=0，
综上所述：过点P4,3的圆的切线方程为x=4或3x−4y=0.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x+y−1=0相切于点P2,−1.
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
【解题思路】（1）求出过点P2,−1且与直线x+y−1=0垂直的直线方程，与y=−2x联立求出圆心M，根据两点间的距离求出半径，即可得圆M的方程；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
【解答过程】（1）过点P2,−1且与直线x+y−1=0垂直的直线方程为x−y−3=0，
联立x−y−3=0y=−2x，解得x=1y=−2，所以M1,−2,
所以圆M的半径为MP=2−12+−1+22=2,所以圆M的方程为x−12+y+22=2.

（2）由（1）可知圆M的方程为x−12+y+22=2，
因为直线l被圆M截得的弦长为6，所以M到直线l的距离为d=2−64=22，
若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设方程为y=kx，则d=k+2k2+1=22,即k2+8k+7=0,解得k=−1或−7,
所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0.

4．已知圆C经过点A(1,2)和B(5,−2)，且圆C关于直线2x+y=0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)过点D(−3,1)作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
【解题思路】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与2x+y=0的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可；
（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.
【解答过程】（1）∵A(1,2)，B(5,−2)，故AB的中点坐标为3,0，kAB=−2−25−1=−1，
∴AB的垂直平分线为：y−0=−1−1x−3⇒y=x−3，
由y=x−32x+y=0解得圆心C(1,−2)，半径r=CA=CB=4
故圆C的方程为(x−1)2+(y+2)2=16；
（2）若直线l的斜率存在，方程可设为y−1=kx+3，即kx−y+3k+1=0
圆心C(1,−2)到直线l的距离为d=k+2+3k+11+k2=r=4，解得k=724，
所求的一条切线为7x−24y+45=0；
当直线l的斜率不存在时，圆心C(1,−2)到x=−3的距离为4，即x=−3与圆相切，
所以直线l的方程为x=−3和7x−24y+45=0．
5．已知直线l:mx−y+1−m=0和圆C:x2+y−12=5.
(1)求证：对任意实数m，直线l和圆C总有两个不同的交点；
(2)设直线l和圆C交于A，B两点.
①若|AB|=17，求l的倾斜角；
②求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解题思路】（1）解法1，联立消元，根据Δ>0，即可得证；
解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明；
解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明；
（2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可；
②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数m，即可得解；
【解答过程】（1）解法1：将y=1+m(x−1)代入x2+(y−1)2=5，
得1+m2x2−2m2x+m2−5=0，因为Δ=16m2+20>0，故直线l和圆C总有两个不同的交点.
解法2：圆心C(0,1)到直线l的距离d=|m|1+m2=1−11+m2