2025年八年级数学开学摸底考（湖南长沙专用）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考

这是一份2025年八年级数学开学摸底考（湖南长沙专用）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考，共30页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：人教版七年级下册+八年级上册第十三章三角形
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上).
1．（本题3分）在实数，，，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（本题3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（本题3分）据相关数据显示，2025年襄阳市参加中考的学生人数将突破万人，为了了解这些学生的视力情况，从中随机抽查了1000名学生进行统计分析．下面四个说法正确的是（ ）
A．上述调查是全面调查B．为方便起见，这1000名学生就从樊城区抽取
C．1000名学生是总体D．这次随机调查的样本容量是1000
4．（本题3分）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
5．（本题3分）如图，下列说法错误的是（ ）
A．由，可得B．由，可得
C．由，可得D．由，可得
6．（本题3分）以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（ ）
A．测量跳远成绩B．木板上弹墨线
C．两钉子固定D．弯曲河道改直
7．（本题3分）给出下列命题：①三角形的一个外角等于两个内角和；②若，则是直角三角形；③三角形的角平分线是射线；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．⑤如果，那么，⑥如果，那么；正确的命题有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．（本题3分）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．2B．8C．12D．18
9．（本题3分）如图，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．（本题3分）点位于轴上方，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（ ）
A．B．，C．，D．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（本题3分）的立方根与的算术平方根之和是 ．
12．（本题3分）将命题“垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式是： ．
13．（本题3分）若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是 ．
14．（本题3分）若关于a，b的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ．
15．（本题3分）如图，，点E在的延长线上，交于点F，，，点P为线段上一点，点Q为上一点，且．
（1） ；（用含x的代数式表示）
（2）若平分，则的度数为 ．
16．（本题3分）如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号)．

三、解答题（本大题共9小题，共72分．17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）计算．
(1)
(2)
18．（本题6分）（1）解方程组：
（2）解不等式组：请结合题意填空，完成本题的解答．
解：解不等式①，得_____．
解不等式②，得_____．
把不等式①②的解集在如下数轴上表示出来．
原不等式组的解集为__________．
19．（本题6分）与在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)分别写出下列各点的坐标： _______； _______；_______；
(2)说明由经过怎样的平移得到？_______．
(3)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______；
(4)求的面积．
20．（本题8分）某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表．
根据以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的______，______，并补全图1；
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______；
(3)已知该校共有名学生，如果答对题数不小于个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数．
21．（本题8分）如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)点F在上，连接．若，请说明：．
22．（本题9分）为响应教育部下发的《义务教育劳动课程标准（2022年版）》文件要求，让学生在富有自然情趣的劳动实践中培养团结协作精神．某学校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上购买30株种菜苗和20株种菜苗需花费240元，购买20株种菜苗和30株种菜苗需花费260元．
(1)求市场上每株种菜苗和每株种菜苗的价格各是多少？
(2)经过协商，市场对两种菜苗均提供九折优惠，学校决定在市场上购买两种菜苗共100株，种菜苗的株数不超过种菜苗株数的，且购买两种菜苗的总费用不超过480元．请问有哪几种购买方案？
23．（本题9分）如图，，点E在上，点F在上，分别交于点G，H，已知，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，求的度数．
24．（本题10分）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”．
例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”．
(1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）；
(2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围；
(3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围．
25．（本题10分）问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，直线分别交于点，点在射线上运动．
①当点在（不与重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？
②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请直接写出间的数量关系．
2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：人教版七年级下册+八年级上册第十三章三角形
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上).
1．（本题3分）在实数，，，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键．
【详解】解：是有限小数，0，3是整数，是分数，它们不是无理数；
，，（两个1之间依次多一个6）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个；
故选：C．
2．（本题3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示是：
故选：C．
3．（本题3分）据相关数据显示，2025年襄阳市参加中考的学生人数将突破万人，为了了解这些学生的视力情况，从中随机抽查了1000名学生进行统计分析．下面四个说法正确的是（ ）
A．上述调查是全面调查B．为方便起见，这1000名学生就从樊城区抽取
C．1000名学生是总体D．这次随机调查的样本容量是1000
【答案】D
【分析】本题考查统计调查的基本概念，包括全面调查、抽样方法、总体、样本及样本容量的定义，需逐一分析选项的正确性．
【详解】解：选项A：全面调查需对所有研究对象进行考察，而题目中仅抽查了1000名学生，属于抽样调查，故A错误；
选项B：抽样需保证样本的代表性，若仅从樊城区抽取学生，样本无法反映襄阳市全体中考生的视力情况，故B错误；
选项C：总体是研究对象的全体，即襄阳市6.4万名中考生，而非被抽查的1000名学生（样本），故C错误；
选项D：样本容量是样本中包含的个体数量，本题中抽查了1000名学生，因此样本容量为1000，D正确．
故选：D．
4．（本题3分）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为180度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案．
【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为，
∴这个三角形最大的内角度数为，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：A．
5．（本题3分）如图，下列说法错误的是（ ）
A．由，可得B．由，可得
C．由，可得D．由，可得
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A. 由，根据同位角相等，两直线平行可得，故选项正确，不符合题意；
B. 由，根据同旁内角互补，两直线平行可得可得，故选项正确，不符合题意；
C. 由，可得，得不到，故选项错误，符合题意
D. 由，根据两直线平行，同旁内角互补可得，故选项正确，不符合题意；
故选：C
6．（本题3分）以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（ ）
A．测量跳远成绩B．木板上弹墨线
C．两钉子固定D．弯曲河道改直
【答案】A
【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短．
【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意；
B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意；
C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意；
D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意；
故选：A．
7．（本题3分）给出下列命题：①三角形的一个外角等于两个内角和；②若，则是直角三角形；③三角形的角平分线是射线；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．⑤如果，那么，⑥如果，那么；正确的命题有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了判断命题真假，根据三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、 角平分线的定义、点到直线的距离、不等式的性质逐一判断各命题的正确性，统计正确个数即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：①三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和，故原命题错误，不符合题意；
②由及三角形内角和为，得，故，为直角三角形，故原命题正确，符合题意；
③三角形的角平分线是线段而非射线，需从顶点延伸至对边，故原命题错误，不符合题意；
④点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故原命题错误，不符合题意；
⑤当时，，不等式不成立，故原命题错误，不符合题意；
⑥由，两边乘得，故原命题正确，符合题意；
综上，正确命题为②和⑥，共2个，
故选：A．
8．（本题3分）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．2B．8C．12D．18
【答案】C
【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．利用两方程相加，得到再利用整体代入法求解即可．
【详解】解：，
两方程相加得：，
，
∴，
，
故选：C．
9．（本题3分）如图，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是关键；由平移的性质：面积相等，对应线段相等且平行或在同一直线上，即可求解．
【详解】解：由平移知，，
∴，
∴四边形的面积与四边形的面积相等；
故①正确；
由平移知，，
∴，但不一定相等，
故②错误；
由平移知，，
∴，
即向右平移了，
故③正确；
综上，正确的有2个；
故选：C．
10．（本题3分）点位于轴上方，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（ ）
A．B．，C．，D．
【答案】B
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点在各个象限的符合特征；由点到坐标轴的距离得，，即可求解；掌握象限符号特征及“到轴的距离为，到轴的距离为”是解题的关键．
【详解】解：∵点位于轴上方，故纵坐标，
∵到轴的距离为2，即，得，
∵到轴的距离为3，即，得或，
∴点的坐标是和，
故选：B．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（本题3分）的立方根与的算术平方根之和是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根与算术平方根，先求出，再根据立方根和算术平方根的定义列式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
故的立方根与的算术平方根之和是，
故答案为：．
12．（本题3分）将命题“垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式是： ．
【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行
【分析】本题考查了命题与定理，平行线公理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面．
【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行，
故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行．
13．（本题3分）若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键．
求出原不等式组的解集为，然后根据原不等式组有3个整数解，可得到关于a的不等式组，即可求解．
【详解】解：，
解不等式得：
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
∵原不等式组有3个整数解，
∴，
解得：．
故答案为：
14．（本题3分）若关于a，b的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解的意义，解题关键是掌握二元一次方程组的解的意义．
设，，可根据已知得出，，求出，即可．
【详解】解：设，，
则可化为，
∵关于a，b的方程组的解为，
∴，，
∴，，
即关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
15．（本题3分）如图，，点E在的延长线上，交于点F，，，点P为线段上一点，点Q为上一点，且．
（1） ；（用含x的代数式表示）
（2）若平分，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线，平行线的判定和性质的应用，三角形的内角和定理；
（1）根据三角形的内角和定理求出，再证出，得到，得到，再计算即可；
（2）由角平分线性质得到，再结合计算即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）∵平分，∴，
又∵，∴，
故答案为：．
16．（本题3分）如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号)．

【答案】①③④
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的性质可判断②，如图，延长EG交AB于K, 先求解∠KEG=45°, 从而可判断③④，于是可得答案．
【详解】解：由题意得：
∠GEF=60°,∠GFE=30°,∠EGF=90°=∠MPN,∠PMN=∠PNM=45°,
∴∠MPG=∠EGP=90°,
∴EGPM, 故①符合题意；
∵∠EFG=30°,
∴∠EFN=180°−30°=150°, 故②不符合题意；
如图，延长FG交AB于K,

∵ABCD,
∴∠GKE=∠PNM=45°,
∴∠KEG=90°−45°=45°,
∴∠BEF=180°−45°−60°=75°, ∠AEG=∠PMN=45°, 故③④符合题意；
综上：符合题意的有①③④
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角板中角度计算问题，掌握以上基础知识是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）计算．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，绝对值等知识．解题的关键在于正确的计算．
（1）先计算立方根，算术平方根，然后进行加减运算即可；
（2）先计算立方根，算术平方根，化简绝对值，然后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（本题6分）（1）解方程组：
（2）解不等式组：请结合题意填空，完成本题的解答．
解：解不等式①，得_____．
解不等式②，得_____．
把不等式①②的解集在如下数轴上表示出来．
原不等式组的解集为__________．
【答案】（1）
（2）；；；图见解析
【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集．熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）用加减法求解即可；
（2）先分别求出每一个不等式的解集，再把不等式的解集在数轴上表示出来，最后根据图写出不等式组解集即可．
【详解】解：（1），
由，得，
解得：，
把代入①得：，
∴．
（2）
解不等式①，得．
解不等式②，得．
把不等式①②的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为．
19．（本题6分）与在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)分别写出下列各点的坐标： _______； _______；_______；
(2)说明由经过怎样的平移得到？_______．
(3)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______；
(4)求的面积．
【答案】(1)，，
(2)先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
(3)
(4)2
【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移变换等知识，熟练掌握平移的性质是解题关键．
（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点、的变化写出平移方式即可；
（3）根据平移规律写出点的坐标即可；
（4）利用割补法计算的面积即可．
【详解】（1）解：根据在平面直角坐标系中的位置，
可知，，．
故答案为：，，；
（2）根据与在平面直角坐标系中的位置，
可知先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，即可得到．
故答案为：先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度；
（3）若点是内部一点，
则平移后内的对应点的坐标为．
故答案为：；
（4）的面积．
20．（本题8分）某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表．
根据以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的______，______，并补全图1；
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______；
(3)已知该校共有名学生，如果答对题数不小于个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数．
【答案】(1)；；图见详解
(2)
(3)人
【分析】本题考查了样本估计总体，画条形统计图，圆心角的计算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由组的人数为人，所占的比是，可求出参与的总人数，即样本容量，用样本容量乘以组所占的百分比即可求出的值，再让样本容量减去其他组的人数即可求出的值．
（2）组所占圆心角的度数，看组所占整体的百分比，用去乘这个百分比即可．
（3）用样本估计总体，样本中优秀人数所占的百分比去估计总体，总人数乘以这个百分比即可．
【详解】（1）解：根据题意，抽取学生总人数为：，
∴，
∴，
故答案为：；．
故补全图1如下：
（2）解：根据题意可得“C组”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：．
（3）解：根据题意可得名学生中优秀的人数有：（人），
∴名学生中，优秀的学生人数为：（人）．
21．（本题8分）如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)点F在上，连接．若，请说明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和，熟记三角形内角和定理是解题的关键．
（1）先利用角平分线的意义求出，再利用三角形内角和求出，进而求出，然后利用三角形内角和求出；
（2）先求出，再利用三角形内角和求出即可．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
，
，
，
，
，
∴；
（2），，
，
，
，
．
22．（本题9分）为响应教育部下发的《义务教育劳动课程标准（2022年版）》文件要求，让学生在富有自然情趣的劳动实践中培养团结协作精神．某学校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上购买30株种菜苗和20株种菜苗需花费240元，购买20株种菜苗和30株种菜苗需花费260元．
(1)求市场上每株种菜苗和每株种菜苗的价格各是多少？
(2)经过协商，市场对两种菜苗均提供九折优惠，学校决定在市场上购买两种菜苗共100株，种菜苗的株数不超过种菜苗株数的，且购买两种菜苗的总费用不超过480元．请问有哪几种购买方案？
【答案】(1)每株种菜苗是元，每株种菜苗的价格是元
(2)见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键：
（1）设市场上每株种菜苗和每株种菜苗的价格各是元和元，根据市场上购买30株种菜苗和20株种菜苗需花费240元，购买20株种菜苗和30株种菜苗需花费260元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买种菜苗株，根据种菜苗的株数不超过种菜苗株数的，且购买两种菜苗的总费用不超过480元，列出不等式组，求出整数解即可．
【详解】（1）解：设市场上每株种菜苗是元，每株种菜苗的价格是元，
由题意，得：，解得：，
答：市场上每株种菜苗是元，每株种菜苗的价格是元；
（2）设购买种菜苗株，则购买种菜苗株，
由题意，得：，解得：，
∵为整数，
∴，
∴；
故共有4种方案：
方案一：购买株种菜苗，株种菜苗；
方案二：购买株种菜苗，株种菜苗；
方案三：购买株种菜苗，株种菜苗；
方案四：购买株种菜苗，株种菜苗．
23．（本题9分）如图，，点E在上，点F在上，分别交于点G，H，已知，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，求的度数．
【答案】(1)；见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键。
（1）由平行线的性质可得，则可证明，进而可证明，则可证明．
（2）由平行线的性质可得．进而得到．解得．再由平行线的性质得到，则．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：由（1）知，
∴．即．
∵，
∴．
解得．
∵，
∴．
∴．
24．（本题10分）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”．
例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”．
(1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）；
(2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围；
(3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围．
【答案】(1)③
(2)
(3)
【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断；
（2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可；
（3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出．
【详解】（1）解：，解得：，
，故①不成立；
，故②不成立；
，故③成立，
故答案为：③；
（2）∵是方程与不等式组的“调和解”，
∴，，
解得：，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）不等式组，解得：，
将代入，得，解得：，
∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，
∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组．
25．（本题10分）问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，直线分别交于点，点在射线上运动．
①当点在（不与重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？
②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请直接写出间的数量关系．
【答案】（1）；（2）①当点在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，；②当在延长线时，；当在之间时，
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键．
（1）如图：过作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答；
（2）①同（1）求解即可；②如图：当在延长线时，过作交于，结合图形可得；同理：可求当在之间时．
【详解】（1）解：如图：过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴；
（2）解 ：①，理由如下：
如图：过作交于，
，
，
，
；
②如图：当 P 在延长线时，
如图：过作交延长线于，
，
，
，
如图：当在之间时，
如图：过作交于，
，
，
，
．
组别
正确题数x
人数
A
20
10
B
15
C
25
D
m
E
n
组别
正确题数x
人数
A
20
10
B
15
C
25
D
m
E
n