八年级数学开学摸底考（湖南长沙专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

这是一份八年级数学开学摸底考（湖南长沙专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷，文件包含开学摸底考2024-2025学年春季期八年级数学开学摸底考解析版docx、开学摸底考2024-2025学年春季期八年级数学开学摸底考参考答案docx、开学摸底考2024-2025学年春季期八年级数学开学摸底考考试版docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版八年级上册全部。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求的）
1．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形的识别，涉及轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结
论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：B．
2．下列计算正确的是（
A．
）
B．
D．
C．
试卷第 23 页，共 23 页

【答案】D
【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多
项式，根据相关运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、
与
不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、
C、
，故此选项计算错误，不符合题意；
，故此选项计算错误，不符合题意；
D、
，故此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．已知
A．
，
，
，则
，
， 的大小关系是（ ）
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方，将三个数全部化成底数为 的幂，再进行比较即可得解．
【详解】解：
，
，
，
∴
，
故选：A．
4．如图，已知 D 是
的中点，
、
分别是
的角平分线、高线，则下列结论正
确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高
的定义判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键．
【详解】A、∵D 是
的中点，∴
，但
不一定等于
，故本选项结论错误，
不符合题意；
B、∵
是
的角平分线，∴
，本选项结论正确，符合题意；
试卷第 12 页，共 23 页

C、∵
是
的角平分线，不是高线，∴
不等于
，故本选项结论错误，不符
合题意；
D、
与
的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：B．
5．计算
的结果是（
）
A．8m5
B．-8m5
C．8m6
D．-4m4+12m5
【答案】A
【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可．
【详解】原式=4m2•2m3
=8m5，
故选 A．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的法则，掌握运算法则是解题的关
键．
6．如图 1，
中，点 E 和点 F 分别为
上的动点，把
纸片沿
折叠，
使得点 A 落在
的外部 处，如图 2 所示．若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质，由折叠前后对应角相等可得
，
结合三角形外角的性质可得
【详解】解：如图，标记
，由此可解．
与
的交点为点 B，
试卷第 23 页，共 23 页

由三角形外角的性质得，
，
，
由折叠得
，
，
，
，
，
故选 B．
7．如图，在
中，
，再分别以点
，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交
于点
和
为圆心，大于
于点
为半径作弧，两弧交于点 ，连
接
并延长交
于点
，
，则
的面积为（ ）
A．4
【答案】D
B．5
C．8
D．9
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的
关键．
根据题意得出
平分
，作
垂直
于点 ，得到
，再根据三角形面
积公式计算即可．
【详解】解：作
垂直
于点
，
试卷第 12 页，共 23 页

由题意得
平分
，
∵
∴
∵
，
，
，
∴
,
故选： D．
8．某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用 4 个能够完全重合的长方
形，长、宽分别为 a、b 拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这 4 个长方形摆成了
一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（
）
A．
B．
D．
C．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量
的等量关系．根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积 小正
方形的面积
个矩形的面积，据此求解即可．
【详解】解：∵大正方形的面积 小正方形的面积
个矩形的面积，
∴
．
故选：B．
9．若关于 x 的不等式组
无解，且关于 y 的分式方程
的解为正整
试卷第 23 页，共 23 页

数，则所有满足条件的整数 a 的值之和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解分式方程，由不等式组
无解，
解得
，解分式方程
得，
，进而得到
，即可得
解，本题特别要注意分式有意义的条件．
【详解】解：∵关于 x 的不等式组
，
∴由①得，
，
由②得，
，
∵原不等式组无解，
∴
，
解得，
，
解分式方程
∵分式方程的解为正整数，
得，
，
∴
，
∵
，
∴
，
综上，
，
∴
，
故选：D．
10．如图，在
和
中，
交于点 ，连接
平分 ，其中正确的为（
，
，
，
，连接
分
、
，下列结论：①
；②
；③
平
；④
）
试卷第 12 页，共 23 页

A．①②
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；
证明三角形全等是解题的关键．
由
证明
得出
，
，①正确；由全等三角形的性质
，②正确；作
得出
，由三角形内角和定理得到
于 G，
分线的判定方法得出
于 H，由全等三角形对应边上的高相等得出
，由角平
平分
，④正确；假设
，而
平分
，证明出
，得到
，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：设
与
交于点
，
∵
∴
即
，
又∵
，
，
∴
∴
，①正确；
，
∴
又∵
∴
，②正确；
作
于 G，
于 H，如图所示：
试卷第 23 页，共 23 页

∵
∴
（全等三角形对应边上的高相等）
平分 ，④正确；
∴
∴
假设
∴
平分
∵
∴
∴
与
矛盾，故③错误；
正确的有①②④．
故选：B．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．写出下列分式中的未知的分子或分母：
（1）
；（2）
；（3）
．
【答案】（1） ；（2）
；（3）
【分析】1、观察(1)中等号左右两边的分子有什么变化,借助分式的性质对分母可进行同样的
操作即可得到答案;
2、同理,对于(2)、(3)可借助分式的性质进行变形即可.
【详解】解:(1)对
6mn，得
;
(2)
(3)
，得
;
x，得
【点睛】本题考查分式的通分、约分，解题关键是熟练掌握分式的性质.
12．化简：
．
【答案】
试卷第 12 页，共 23 页

【分析】把除法化成乘法，最后约分即可解答.
【详解】原式=
故答案为：
.
【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
13．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是
，则这个多边形的边数是
．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．设
这个多边形为 n 边形，根据题意列出不等式组
，求出 n 的取值
范围即可确定整数 n 的值．
【详解】解：设这个多边形为 边形，根据题意得：
，
解得
，
∵n 为整数，
∴
，
故答案为：
14．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一
个大正方形，先取甲纸片 1 块，再取乙纸片 4 块，还需取丙纸片 块．
．
【答案】4
【分析】根据
，即可得．
【详解】解：∵
∴甲纸片 1 块，再取乙纸片 4 块，取丙纸片 4 块，可以拼成一个边长为 a+2b 的正方形，
试卷第 23 页，共 23 页

故答案为：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．
15．如图，
，垂足为点 A，
，
，射线
，垂足为点 B，
上一动点，随着
秒时，
一动点 E 从 A 点出发以
E 点运动而运动，且始终保持
．
秒的速度沿射线
运动，点 D 为射线
，当点 E 离开点 A 后，运动
【答案】1 或 3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握
判定三角形全等是解题的关键；
，进而可求时间，
分两种情况讨论，当 E 在
当 E 在 上时，
【详解】解：
上时，
，可证
，可证
，进而可求时间．
，
，
，
当 E 在
上时，
当
时，则
，
，
，
E 离开点 A 后，运动的时间为：
当 E 在 上时，
秒，
试卷第 12 页，共 23 页

当
时，则
，
，
，
E 离开点 A 后，运动的时间为：
秒，
综上所述：当点 E 离开点 A 后，运动 1 或 3 秒时，
故答案为：1 或 3．
，
16．如图，点 为线段
上一点，
、
都是等边三角形，
、
交于点
，
、
交于点
；
，
、
交于点 ，连结
，给出下面四个结论：
；
；
．上述结论中，一定正确的是
（填
所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角
形的性质推出
判定
，
，判定
是等边三角形．由
，推出
，由对顶角的性质得到
，
由三角形内角和定理得到
，而
，由
，得到
在变化，
判定
，推出
是等边三角形，因此
，得到
，推出
，
不一定是 ．
【详解】解：
，
、
，
都是等边三角形，
，
，
试卷第 23 页，共 23 页

，
，
，
，
故
故
符合题意；
，
，
，
，
符合题意；
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故
符合题意；
上的位置在变化，
在变化， 不一定是
不符合题意．
正确的是
故答案为：
在
，
故
．
．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题 6 分）计算
(1)
(2)
；
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算、负整数指数幂以及积的乘方运算，熟记相关运算规则
试卷第 12 页，共 23 页

是解题关键．
（1）计算负整数指数幂、积的乘方，将除法变成乘法运算即可求解；
（2）利用完全平方公式、平方差公式即可求解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．（本题 6 分）因式分解：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．
（1）先提公因式，再用完全平方公式因式分解；
（2）直接利用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
．
19．（本题 6 分）先化简，再求值：
，其中
．
试卷第 23 页，共 23 页

【答案】
，1
【分析】先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可．
【详解】解：
当
时，原式
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键．
20．（本题 8 分）已知
(1)求
(2)若
的值．
用含 x 的代数式表示 y 值．
(3)求
【答案】(1)1
(2)
(3)2
【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运用，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘等运算法
则，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理
，再分别代入
，再代入
进行计算，即可作答．
，进行化简，即可作答．
（2）运用幂的乘方得出
（3）先整理出
，再结合
，
，然后得出
代入求值，即可作答．
，即
，把
试卷第 12 页，共 23 页

【详解】（1）解：∵
∴
．
（2）解：∵
∴
（3）解：∵
∴
，
即
，
∵
∴
即
，
∴
，得
，
即
，
∴
，
．
21．（本题 8 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形 (顶点是
网格线交点的三角形)
关于直线 对称的图形为
，其中
是 A 的对称点．
试卷第 23 页，共 23 页

(1)请作出对称轴直线 及
关于直线 l 对称的
；
(2)在直线 l 上画出点 P，使得
的周长最小；
(3)直接写出四边形
的面积为 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)24
【分析】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解
答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）连接
，交直线 l 于点 P，则点 P 即为所求；
（3）利用梯形的面积公式计算即可；
【详解】（1）如图，直线 和
即为所求；
，
（2）如图，连接
，交直线 l 于点 P，连接
试卷第 12 页，共 23 页

此时
即
，为最小值，
最小，
的周长最小，则点 P 即为所求；
，
（3）四边形
的面积为：
．
22．（本题 9 分）如图，
平分
且平分
，
，点 F 在射线
上，且
．
(1)求证：
；
．
(2)求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
（1）由角平分线的定义可得
，
，再利用
证明
即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得
，再证明
，即可
试卷第 23 页，共 23 页

得证．
【详解】（1）证明：∵ 平分
且平分
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
∴
，
；
（2）证明：由（1）可得
，
∴
，
∴
，
由（1）知：
，
在
和
中，
，
∴
∴
，
．
23．（本题 9 分）某公司拟在甲、乙两个街区投放一批共享单车，这批共享单车包括
两
种不同款型．请回答下列问题：
(1)该公司早期在甲街区进行了试点投放，投放
两种款型的共享单车各 50 辆，投放成本
共计 7500 元，其中 种款型的共享单车的成本单价比 种款型的共享单车高 10 元．
种款型的共享单车的成本单价各是多少？
两
(2)该公司决定采取如下投放方式：甲街区每 1000 人投放 辆共享单车，乙街区每 1000 人投
辆共享单车．按照这种投放方式，甲街区共投放 1500 辆，乙街区共投放 1200 辆．
如果甲、乙两个街区共有 15 万人，试求 的值．
放
【答案】(1)
两种款型的共享单车的成本单价分别是 70 元和 80 元
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题
试卷第 12 页，共 23 页

的关键．
（1）设 种款型的共享单车的成本单价是 元，则 种款型的共享单车的成本单价是
元，根据投放
解方程即可；
（2）根据甲街区每1000人投放 辆共享单车，乙街区每1000人投放
两种款型的共享单车各 50 辆，投放成本共计 7500 元，列出方程，
辆共享单车．甲
街区共投放 1500 辆，乙街区共投放 1200 辆，甲、乙两个街区共有 15 万人，列出分式方程，
解方程即可．
【详解】（1）解：设 种款型的共享单车的成本单价是 元，则 种款型的共享单车的成本
单价是
元．
由题意，得
，
解得
，
．
故
两种款型的共享单车的成本单价分别是 70 元和 80 元．
（2）解：由题意，得
．
解得
．
经检验，
是分式方程的解，且符合题意．
24．（本题 10 分）如图①所示是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成
四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)按要求填空：
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______；
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法 1：______
方法 2：______
试卷第 23 页，共 23 页

③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn 这三个代数式之间的等量关系：______；
(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2 的值．
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______．
【答案】（1）①m﹣n；②（m﹣n） ；（m n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（2）
2
+
（m﹣n）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2
【分析】（1）①观察可得阴影部分的正方形边长是 m-n；
②方法 1：阴影部分的面积就等于边长为 m-n 的小正方形的面积；方法 2：边长为 m+n 的大
正方形的面积减去 4 个长为 m，宽为 n 的长方形面积；
③根据以上相同图形的面积相等可得；
（2）根据|m+n-6|+|mn-4|=0 可得 m+n=6、mn=4，利用（1）中结论（m-n）2=（m+n）2-4mn
计算可得；
（3）根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为 m、n 的正方形加上 3 个长为 m、
宽为 n 的小长方形面积和列式可得．
【详解】（1）①阴影部分的正方形边长是 m﹣n．
②方法 1：阴影部分的面积就等于边长为 m﹣n 的小正方形的面积，
即（m﹣n）2，
方法 2：边长为 m+n 的大正方形的面积减去 4 个长为 m，宽为 n 的长方形面积，即（m
+n）2﹣4mn；
③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．
（2））∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0，
∴m+n﹣6=0，mn﹣4=0，
∴m+n=6，mn=4
∵由（1）可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=62﹣4×4=20，
∴（m﹣n）2=20；
+
+
（3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：（2m n）（m n），
或两个边长分别为 m、n 的正方形加上 3 个长为 m、宽为 n 的小长方形面积和有：2m2
+3
+
2
mn n ，
故可得：（2m+n）（m+n）=2
m2+3mn n ．
+
2
故答案为（1）m﹣n；（2）①（m﹣n）2，②（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）
2﹣4mn
试卷第 12 页，共 23 页

；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练的掌握完全平方公式的相关知
识．
25．（本题 10 分）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图 1，已知
中，
是
边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图 2，延长
至 E，使
，
∵
∴
在
是
边上的中线，
，
和
中，
，
∴
∴
在
∴
（依据 1），
，
中，
（依据 2），
．
（1）任务一：上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指：
依据 1： ；依据 2： ．
试卷第 23 页，共 23 页

【归纳总结】
上述方法是通过延长中线
，使
，构造了一对全等三角形，将
，
，
转
化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造
全等三角形和证明边之间的关系．
（2）任务二：如图 3，
A． B．
，
，则
的取值范围是 ；
；
；
C．
（3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图 4， 中， ，D 为 中点，求证：
．
【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三
边
（2）C
（3）见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”
是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可．
（2）依题意，与（1）同理，得出
，再利用“三角形任意两边之和大于
第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
（3）先运用
证明
，再证明
，即可作答．
【详解】解：（1）依据 1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或
“
”）；
依据 2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）如图，延长
至点 ，使
，连接
．
是
的中线，
，
试卷第 12 页，共 23 页

在
与
中，
，
，
，
在
即
中，
．
，
，
故选：C．
（3）证明：如图 4，延长
至 F，使
连接
，
是
的中点，
∴
，
又
∴
，
，
，
∵
∴
，
，
，
即
，
又∵
，
∴
∴
∴
，
，
．
试卷第 23 页，共 23 页

试卷第 12 页，共 23 页