2025年八年级数学开学摸底考（江苏南京专用）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考

这是一份2025年八年级数学开学摸底考（江苏南京专用）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考，共34页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：苏科版2024七下全部内容+八上三角形
一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上）
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的（ ）
A．和B．差C．积D．商
3．如图，若将图形平移至下方的空白处，则正确的平移方法是（ ）
A．先向右平移4格，再向下平移5格B．先向右平移3格，再向下平移4格
C．先向右平移4格，再向下平移3格D．先向右平移3格，再向下平移5格
4．某商店为了促销一种定价为元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有元钱，那么她最多可以购买该商品（ ）
A．件B．件C．件D．件
5．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）
7．要说明命题“若，则”是假命题，写一个c的值，它可以是 ．
8．已知、满足方程组，则 ．
9．把加上一个单项式 成为一个多项式的平方（写出一个即可）
10．已知，则a，b的大小关系是 （用“>”号连接）．
11．如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ．
12．如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为 ．
13．如图，正方形与正方形相互重合，重叠部分是一个长方形，延长、分别与正方形交于点、，若阴影部分、均为正方形，且面积之和为60，，，则重叠部分的面积为 ．
14．已知不等式组的解集中每一个x的值均不在的范围内，a的取值范围为 ．
15．如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数为 ．（用含n的代数式表示）
16．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为24，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ．
三、解答题（本题共11小题 ，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
(1)． (2)．
18．（6分）（1）解方程组
（2）解不等式组．把解集在数轴上表示出来，并找出最小整数解．
19．（6分）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上．
(1)画出关于直线的轴对称图形；
(2)若正方形网格的单位长度为1，求的面积．
20．（6分）如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）．
(1)作线段的垂直平分线交于点；
(2)作的角平分线交于点；
(3)的周长是 ．
21．（8分）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：．
解：∵，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴（ ）
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ．
（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．
22．（8分）如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
(1)若，则周长是多少？为什么？
(2)若，则的度数是 ；
(3)若，则的度数是 ．
23．（8分）请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)计算长方体棱数，可依据长方体有6个面，每个面均为四边形即有4条棱，得出总棱数为12；请你猜想多面体面数、形状、棱长之间的数量关系，完成以下计算：
①如图所示，正八面体的每一个面都是三角形，则正八面体有__________条棱；
②正十二面体的每一个面都是正五边形，则它共有__________条棱；
(2)如下图，一种足球（可视作简单32面多面体）是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，已知图中足球有90条棱；某体育公司采购630张牛皮用于生产这种足球，已知一张牛皮可用于制作30个正五边形或者制作20个正六边形，要使裁剪后的五边形和六边形恰好配套，应怎样计划用料才能制作尽可能多的足球？

24．（8分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号）
①；②；③
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围；
(3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围．
25．（10分）如图1，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题：
(1)如图2，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式_______________．
A． B．
C． D．
(2)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在上，连接，若它们边长之和为14，面积之和为100，求阴影部分面积．
(3)如图4，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为14，阴影部分面积为45，求这两个正方形的面积之差．
26．（10分）【阅读材料】
数形结合是一种重要的数学思想方法，在中学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
【初步感受】
【拓展研究】
（3）从“数”和“形”两个角度，当时，求代数式的最大值．
27．（12分）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（南京专用）
数学•全解全析
一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上）
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据合并同类项、同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则逐一分析各选项即可．
【详解】解：A、，结果应为，而非，故A错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意；
C、，结果应为，而非，故C错误，不符合题意；
D、，结果正确，故D正确，符合题意，
故选：D．
2．两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的（ ）
A．和B．差C．积D．商
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式的应用，绝对值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
设两个连续自然数为，得到，即可得到答案．
【详解】解：设两个连续自然数为，
则，
，
两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的和，
故选：A．
3．如图，若将图形平移至下方的空白处，则正确的平移方法是（ ）
A．先向右平移4格，再向下平移5格B．先向右平移3格，再向下平移4格
C．先向右平移4格，再向下平移3格D．先向右平移3格，再向下平移5格
【答案】A
【分析】本题考查了图形的平移，根据图形结合平移的性质即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图可得，将图形平移至下方的空白处，则正确的平移方法是先向右平移4格，再向下平移5格，
故选：A．
4．某商店为了促销一种定价为元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有元钱，那么她最多可以购买该商品（ ）
A．件B．件C．件D．件
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设她最多可以购买该商品件，根据题意列关于的一元一次不等式求解即可，理解题意，找出题中的数量关系，列出不等式是解题的关键．
【详解】解：设她可以购买该商品件，根据题意得，
，
解得：，
∵取整数，
∴，
∴她最多可以购买该商品件，
故选：．
5．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故选：C．
6．如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比．
连接，设，由三角形面积公式可得，，由点E是的中点，得，，进而得，，，，，，得出，通过讨论的面积最大值得四边形的面积最大值．
【详解】解：连接，

设，
∵，
，，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴当时，的面积最大，为，
四边形的面积的最大值是，
故选：B．
二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）
7．要说明命题“若，则”是假命题，写一个c的值，它可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，不等式的性质等知识点，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可．
【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：，
故答案为：．
8．已知、满足方程组，则 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相加即可．
【详解】解：
得：，
故答案为：6．
9．把加上一个单项式 成为一个多项式的平方（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查完全平方公式，根据已知条件即可写出一个完全平方式，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴.
故答案为：．
10．已知，则a，b的大小关系是 （用“>”号连接）．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可．
【详解】解：依题意，，
则，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
11．如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作于H，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质得到，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
由作图方法可得平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点D到的距离是，
故答案为：3．
12．如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为 ．
【答案】2.25或3
【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得出，据此求解即可．
【详解】解：中，厘米，点为的中点，
厘米，
若，则需厘米，（厘米），
点的运动速度为3厘米秒，
点的运动时间为：秒，
（厘米秒）；
若，则需厘米，，
，
解得：；
的值为：2.25或3，
故答案为：2.25或3．
13．如图，正方形与正方形相互重合，重叠部分是一个长方形，延长、分别与正方形交于点、，若阴影部分、均为正方形，且面积之和为60，，，则重叠部分的面积为 ．
【答案】28
【分析】本题考查了利用完全平方公式解几何问题，利用完全平方公式代入计算是解题的关键．
设，，根据已知条件得，根据完全平方公式得，将代入整理得的值，根据长方形的面积求解即可．
【详解】解：设，，
四边形和四边形为正方形，
，，
四边形为正方形，
，
，，
，
，，，，
，
，
，
正方形和正方形的面积之和为60，
，
将代入中，得：，
∴，
重叠部分长方形的面积，
故答案为：28．
14．已知不等式组的解集中每一个x的值均不在的范围内，a的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集与的关系，可得答案．
【详解】解：解不等式组得，
∵不等式组的解集中每一个x的值均不在的范围内，
∴或，
∴或．
故答案为：或
15．如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数为 ．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】本题主要考查角的运算和图形折叠的性质，，进而求得，，结合，即可求得答案．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：
16．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为24，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，等腰三角三角形的性质和判定，
连接，作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，从而得出，然后根据三角形的面积公式得，可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案．
【详解】解：连接，过点O作，交的延长线于点H，
∵，
∴，
∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是，
∴．
∵，
∴，
∴.
根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即，
∴的面积最小值为．
故答案为：18．
三、解答题（本题共11小题 ，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查同底数幂相乘，积的乘方，零次幂，负整数指数幂等幂的运算．
（1）先根据同底数幂相乘，积的乘方计算，再合并同类项即可；
（2）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（6分）（1）解方程组
（2）解不等式组．把解集在数轴上表示出来，并找出最小整数解．
【答案】（1）；（2），数轴见解析，最小整数解为
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握消元法和不等式组的解法是解题关键．
（1）将第一个方程的两边同乘以2，减去第二个方程，消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来，据此找出最小整数解即可得．
【详解】解：（1），
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为，
把解集在数轴上表示出来如下：
所以不等式组的最小整数解为．
19．（6分）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上．
(1)画出关于直线的轴对称图形；
(2)若正方形网格的单位长度为1，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，找得到点，再依次连接得，即可作答．
（2）运用割补法进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：依题意，的面积
20．（6分）如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）．
(1)作线段的垂直平分线交于点；
(2)作的角平分线交于点；
(3)的周长是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)11
【分析】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，线段垂直平分线的性质，正确掌握各作图方法是解题的关键．
（1）利用尺规作出线段的垂直平分线交于点，即可；
（2）利用尺规作出的角平分线交于点，即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线，点E即为所求．
（2）解：如图，射线即为所求．
（3）解：∵垂直平分，
∴，
∴周长为．
故答案为：11
21．（8分）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：．
解：∵，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴（ ）
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ．
（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．
【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等
【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明；
（1）根据上面的推理过程得出结论即可；
（2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题．
【详解】解：∵，（已知）
∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等），
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知），
∴∠EMN=∠AMN，
∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义），
∴∠EMN=∠FNM（等量代换）
∴，（内错角相等两直线平行）．
故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行．
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行；
故答案为：内错；平行．
（2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行．
22．（8分）如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
(1)若，则周长是多少？为什么？
(2)若，则的度数是 ；
(3)若，则的度数是 ．
【答案】(1)10，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，掌握这三个内容是关键；
（1）由线段垂直平分线的性质得，则，即可求解；
（2）由题意可得，再由等腰三角形性质得，则，从而可求解；
（3）与（2）同理．
【详解】（1）解：周长为10；理由如下：
∵分别是边的垂直平分线，
∴，
∴；
故周长为10．
（2）解：∵，，
∴；
∵，
∴，
∴
，
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴；
∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
23．（8分）请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)计算长方体棱数，可依据长方体有6个面，每个面均为四边形即有4条棱，得出总棱数为12；请你猜想多面体面数、形状、棱长之间的数量关系，完成以下计算：
①如图所示，正八面体的每一个面都是三角形，则正八面体有__________条棱；
②正十二面体的每一个面都是正五边形，则它共有__________条棱；
(2)如下图，一种足球（可视作简单32面多面体）是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，已知图中足球有90条棱；某体育公司采购630张牛皮用于生产这种足球，已知一张牛皮可用于制作30个正五边形或者制作20个正六边形，要使裁剪后的五边形和六边形恰好配套，应怎样计划用料才能制作尽可能多的足球？

【答案】(1)12;30
(2)用于制作30个正五边形的牛皮共180张，用于制作20个正六边形的牛皮共450张．
【分析】本题考查了几何体中点、棱、面之间的关系以及二元一次方程组的应用与整除问题，解题的关键是审清题意．
（1）根据每一个面有三条棱，每二个面共用一条棱即可求解，即：棱数面数．
（2）设一个足球有黑皮x块，白皮y块，根据二个面共用一条棱，结合题意可列方程组，求得每个足球黑皮块数与白皮块数；然后再设用于制作正五边形的需要m张，用于制作正六边形的需要n张，依据题意建立方程组，求得m与n的最大整数值，并检验是否符合题意即可得到答案．
【详解】（1）解：①正八面体的每一个面都是三角形，则每一个面有三条棱，故八个面共有条棱，但每两个面共用一条棱，因此正八面体棱数是：（条）．
②根据①的思路可知，正十二面体共有棱数：（条）．
故答案为：12；30．
（2）设一个足球有黑皮x块，白皮y块，根据题意得：
，解得：
设630张牛皮中，用于制作正五边形的需要m张，用于制作正六边形的需要n张，依据题意得：，解得：（m、n为整数）
m、n取最大的整数并经过检验知，正好符合题意，
∴最多制作（个）足球，且正好将630张牛皮全部用完．
答：用于制作30个正五边形的牛皮共180张，用于制作20个正六边形的牛皮共450张．
24．（8分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号）
①；②；③
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围；
(3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可；
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可．
【详解】（1）解：解不等式组，得，
解方程得：；
解方程得：；
解方程得：，
∵，，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）解：解不等式组得：，
解方程得：，
∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
即k的取值范围是；
（3）解：解方程得，
解方程得，
∵方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，则，
∴不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以m的取值范围是．
25．（10分）如图1，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题：
(1)如图2，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式_______________．
A． B．
C． D．
(2)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在上，连接，若它们边长之和为14，面积之和为100，求阴影部分面积．
(3)如图4，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为14，阴影部分面积为45，求这两个正方形的面积之差．
【答案】(1)C
(2)24
(3)56
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
（1）结合图2表示出拼接前后阴影部分面积，即可得出答案；
（2）由题意得，，，利用完全平方公式的变形得到，即可得到阴影部分面积；
（3）连接，由题意得，阴影部分面积，，利用完全平方公式的变形得到，得到的值，再利用平方差公式即可求解．
【详解】（1）解：由图2可得，
拼接后阴影部分面积为，
拼接前阴影部分面积为，
拼接前后，阴影部分面积相等，
故选：C．
（2）解：由题意得，，，
，
，
阴影部分面积为．
（3）解：如图，连接，
由题意得，阴影部分面积，，
，
，
，
，
这两个正方形的面积之差为56．
26．（10分）【阅读材料】
数形结合是一种重要的数学思想方法，在中学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
【初步感受】
【拓展研究】
（3）从“数”和“形”两个角度，当时，求代数式的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）134；（3）的最大值为36，方法见解析
【分析】本题考查了数形结合思想、完全平方公式的应用，解题的关键是理解数形结合思想，灵活运用完全平方公式和二次函数性质．
（1）根据所给卡片拼成大正方形，直观体现完全平方公式；
（2）设，，利用完全平方公式变形来求解式子的值；
（3）从数的角度通过求最值，从形的角度通过图形面积分析最值．
【详解】（1）解：由数”的角度可知，图2中正方形的边长为，
故答案为：；
（2）解：设，，则，，
∴，则，
∴，
故答案为：134；
（3）解：角度一：“数”的角度
方法一：，
∴代数式的最大值为36，
方法二：，
∴，
∴，
∴代数式的最大值为36；
角度二：“形”的角度，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
∴；
∴当时，的最大值为36，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
∴；
∴当时，的最大值为36，
综上所述，的最大值为36．
27．（12分）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。
（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等；
（2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系；
（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系．
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，，
∴．

多面体
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
6
长方体
6
12
正八面体
8
“形”的角度
“数”的角度
（1）选取图1中，1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可以拼成图2中的大正方形，在图2中，画出示意图，并标注相关字母．
观察图2，可得到乘法公式
．
应用：（2）若x满足，则的值为______．

多面体
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
6
长方体
6
12
正八面体
8
“形”的角度
“数”的角度
（1）选取图1中，1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可以拼成图2中的大正方形，在图2中，画出示意图，并标注相关字母．
观察图2，可得到乘法公式
．
应用：（2）若x满足，则的值为______．