2025年八年级数学开学摸底考（北京专用）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考

这是一份2025年八年级数学开学摸底考（北京专用）原卷+答案解释-2025秋季初二入学分班考，共23页。试卷主要包含了考试范围，若点在第四象限，则的取值范围是，已知，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：人教版2024七年级下册全部内容+八年级上册第1章三角形。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．如图，用三角板作钝角的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，是的平分线，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知三角形的一个外角等于，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大，则这个三角形的三个内角分别是（ ）
A．B．
C．D．
4．方程的正整数解的对数是（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
5．若点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在和中，点、、在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
7．2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（ ）
①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；
②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；
③2018—2022年进口额年增长率持续下降；
④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
8．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共7小题，每题3分，共21分．
9．已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是 ．
10．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形周长为 ．
11．25的算术平方根是 ；7的平方根是 ；的立方根是 ．
12．在中，，平分，则
．
13．如图，则的度数是 ．

14．小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．

（1）小华从家出发 时，爸追上小华；
（2）图书馆离小华家 ．
15．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示．
烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．
某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．
（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次；
（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元．
三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：．
17．已为，，是的三边长．
(1)若，，满足．试判断的形状；
(2)化简：．
18．如图，在中，，，于，平分，与交于点，求．
19．已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：是的垂直平分线，
①_____（②__________（填推理的依据）．
③_____（④__________）（填推理的依据）．
又，
．
20．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
21．两块大小不同的三角板和如图摆放，其中，，，连接．请写出与的关系，并说明理由．
22．对于点，直线和图形，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图形的内部或边上，则称点为图形关于直线的“镜像点”．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．设点，直线为过点且与轴垂直的直线．
(1)若，在点中，点______是关于直线的“镜像点”；
(2)当时，若轴上存在关于直线的“镜像点”，则的最小值为______；
(3)已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行．若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出的取值范围．
2025年秋季新八年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．如图，用三角板作钝角的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形高的作法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据三角形作高的方法依次判断即可．
【详解】解：A、作的是边上的高，此选项符合题意；
B、三角板未过A点，故作的不是高，此选项不符合题意；
C、作的是边上的高，此选项不符合题意；
D、作的是边上的高，此选项不符合题意．
故选：A．
2．如图，是的平分线，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、平角定义及三角形外角性质等知识，先由角平分线定义得到，进而由平角定义得到，再由外角性质即可得到答案，熟练掌握三角形外角性质求角度是解决问题的关键．
【详解】解：是的平分线，，
，
，
是的一个外角，，
，
故选：D．
3．已知三角形的一个外角等于，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大，则这个三角形的三个内角分别是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据外角性质，结合题意列方程求解，再由三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：已知三角形的一个外角等于，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大，
设其中一个内角为，则另一个内角为，
由外角性质可得，解得，
这个三角形的两个内角分别为和，
再由三角形内角和定理可知，第三个内角为，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和与外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解决问题的关键．
4．方程的正整数解的对数是（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】C
【分析】将x=1，2，…，分别代入2x+3y=17，求出方程的正整数解的对数是多少即可．
【详解】解：当x＝1时，方程变形为2+3y＝17，解得y＝5；
当x＝4时，方程变形为8+3y＝17，解得y＝3；
当x＝7时，方程变形为14+3y＝17，解得y＝1；
∴二元一次方程的正整数解的对数是3对：、和．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为正整数．
5．若点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点在第四象限的特征，即可得到不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴横坐标为大于0，纵坐标小于0，
∴，
即：，
∴解集为：.
故选D．
【点睛】本题主要考查了直角坐标轴中第四象限的点的特征和解不等式组，掌握第四象限的点的特征是解题的关键．
6．如图，在和中，点、、在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：A、，，，由“”能判定，不符合题意；
B、，则，再结合，，由“”能判定，不符合题意；
C、，，，由“”能判定，不符合题意；
D、，，，由“”不能判定，符合题意；
故选：D．
7．2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（ ）
①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；
②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；
③2018—2022年进口额年增长率持续下降；
④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据条形统计图和折线统计图逐一判断即可．
【详解】解：由图可得：2018年进口额的年增长率为，进口额为14.4，2019年进口额的年增长率为，进口额为14.3，与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，故①说法正确； 2018年到2022年，进口额分别为：14.1，14.3，14.2，17.4，18.1，从2018年到2022年，最多的是2022年，故②说法正确；2018—2020年进口额年增长率持续下降,2020—2021年；进口额年增长率上升,故③说法错误；，与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元，故④说法正确，
综上，结论正确的是①②④，
故选：A．
【点睛】本题考查了条形统计图和折线统计图，从统计图中获取有用的信息是解题的关键．
8．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：得，则，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
二、填空题：本题共7小题，每题3分，共21分．
9．已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：
①-②，得
∵
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．
10．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形周长为 ．
【答案】7或8
【分析】根据算术平方根和平方的非负性，求出a和b的值，再根据三角形三边之间的关系以及等腰三角形的定义，即可解答，
本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
当a为腰长时，该等腰三角形三边为3、3、2，
∵，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长；
当b为腰长时，该等腰三角形三边为3、2、2，
∵，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长；
综上：此等腰三角形的周长为7或8．
故答案为：7或8．
11．25的算术平方根是 ；7的平方根是 ；的立方根是 ．
【答案】
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的概念求解．
【详解】解：25的算术平方根是，
7的平方根是，
的立方根是．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的知识，解题的关键是掌握各知识点的概念．
12．在中，，平分，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的外角及三角形内角和定理，根据三角形外角的定义可求得，进而求出的度数，在中，求出的度数，再根据角平分线的性质求得，进而即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
，
在中，，
平分，
，
，
故答案为：．
13．如图，则的度数是 ．

【答案】/180度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：如图，

∵是的外角，是的外角，
∴，，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．

（1）小华从家出发 时，爸追上小华；
（2）图书馆离小华家 ．
【答案】 10 1760
【分析】本题主要考查了变量关系图像上获取信息以及二元一次方程组的应用，看懂变量之间的图像是解题的关键．
（1）根据图像即可得出答案，
（2）设小华原来的速度为，爸爸的速度为，则小华后来的速度为根据函数图像关系列出关于a，b的二元一次方程求解即可得出a的值，再根据路程等于时间乘以速度计算即可得出答案．
【详解】解：（1）由图像可得出时间为的时候，小华与爸爸之间的距离y为0，
即小华从家出发时，爸爸追上小华；
故答案为：10．
（2）设小华原来的速度为，爸爸的速度为，
则小华后来的速度为
根据函数关系图可得出：，
解得：，
∴小华原来的速度为，后来的速度为：，
∴图书馆离小华家
故答案为：1760．
15．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示．
烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．
某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．
（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次；
（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元．
【答案】 2
【分析】（1）根据需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次烧制8个大尺寸陶艺品，B款电热窑每次烧制0个大尺寸陶艺品即可得到答案；
（2）要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次最多可放8个大尺寸陶艺品，B款电热窑不能放大尺寸陶艺品，且烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，
∴烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用2次，
故答案为：2；
（2）∵A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，
∴要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少；
当A款电热窑的使用次数为2次时，则可以烧制10个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品，
∴在此种情形下，只需要B款电热窑的使用次数1次即可完成任务，
∴烧制这批陶艺品成本最低为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：
【答案】
【分析】利用绝对值的性质，立方根和算术平方根的意义化简，然后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质，立方根和算术平方根的意义是解题的关键．
17．已为，，是的三边长．
(1)若，，满足．试判断的形状；
(2)化简：
【答案】(1)等边三角形
(2)
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可．
【详解】（1）解：，
且，
，
为等边三角形；
（2），，是的三边长，
，，，
原式
．
【点睛】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
18．如图，在中，，，于，平分，与交于点，求．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质解题．
现根据三角形内角和定理求得，再根据平分可得，最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角和即可求解．
【详解】解：，，
且三角形内角和是，
，
平分，
，
，
，
是的外角，
．
19．已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：是的垂直平分线，
①_____（②__________（填推理的依据）．
③_____（④__________）（填推理的依据）．
又，
．
【答案】(1)见解析
(2)；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角和三角形外角的性质：
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得到，再由等边对等角可得，最后根据三角形外角的性质即可证明结论．
【详解】（1）解；如图所示，即为所求；

（2）证明：是的垂直平分线，
（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
（等边对对角）．
又，
．
故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角．
20．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质定理即可证明；
（2）证明，得，由即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．两块大小不同的三角板和如图摆放，其中，，，连接．请写出与的关系，并说明理由．
【答案】，，理由见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，设延长线交于点O，交于点H，根据条件证即可求解．
【详解】解：，，理由如下：
如图，设延长线交于点O，交于点H，
∵
在与中，
．
，
．
22．对于点，直线和图形，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图形的内部或边上，则称点为图形关于直线的“镜像点”．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．设点，直线为过点且与轴垂直的直线．
(1)若，在点中，点______是关于直线的“镜像点”；
(2)当时，若轴上存在关于直线的“镜像点”，则的最小值为______；
(3)已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行．若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)点和点
(2)
(3)
【分析】（1）将已知点放入直角坐标系中，根据对称性求得对应的对称点，结合“镜像点”逐点判断即可；
（2）根据题意可知这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的，观察竖直方向，上离x轴最远的点为C，则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C．此时，直线位于x轴和点C的正中间即可．
（3）结合图像可知t取最小值和最大值时直线上存在关于直线的“镜像点”，结合对称性和临界点的性质即可求得最大值和最小值．
【详解】（1）解：将各个点标示在平面直角坐标系中，
∵关于直线的对称点为，，，
∴点和点是关于直线的“镜像点”．
（2）解：求t的最小值，这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的，
所以观察竖直方向，上离x轴最远的点为C，
则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C．
此时，直线位于x轴和点C的正中间．
因此，t的最小值为；
（3）解∶ 由题意可知直线的解析式为，
则直线上的点关于的对称点为，
那么，过点的直线为，
∴与直线有交点，且交点的临界值为和．
∴当过点A时，t的最大值为；
当过点C时，t的最小值为，
故直线上存在关于直线的“镜像点”，t的取值范围为．
【点睛】本题主要考查直角坐标系中轴对称的性质，等腰三角形的性质和正方形的性质，解一元一次不等式方程组，解题的关键是在新定义“镜像点”下结合对称轴的性质和正方形的性质找到对称点和不等式组．
大
中
小
A
8
15
25
B
0
10
20
大
中
小
A
8
15
25
B
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