北师大版（2024）七年级上册（2024）有理数的混合运算导学案

这是一份北师大版（2024）七年级上册（2024）有理数的混合运算导学案，共13页。学案主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，运算正确的是( )
A．(-5.8)-(-5.8)=-11.6B．−52+4×−5×−32=−45
C．−23×−32=−72D．−42÷14×14=−1
2．我们定义一种新的运算“⊗”，并且规定：x⊗y=x2−2y，例如：4⊗3=42−2×3=10，则3⊗−2⊗1的值为（ ）．
A．5B．−2C．3D．4
3．老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下：
其中步骤错误的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24。现有四个有理数：3，4，－6，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（ ）
A．4×3−(−6)+10B．4−(−6÷3×10)
C．10−(−6×3)−4D．(4−6+10)×3
5．现定义一种新运算“∗”规定a∗b=aba−b，则3∗−3的值等于（ ）
A．−9B．−23C．0D．−32
6．小明和小红利用温差测量山峰的高度．小明在山顶测得温度是−1°C，小红此时在山脚测得温度是11°C，已知该地区高度每增加100米，气温大约下降0.8°C，则这个山峰的高度大约是（ ）
A．800米B．1250米C．1200米D．1500米
7．对于正整数n，定义f（n）表示n的首位数字与末位数字的平方和.例如：f（6） =62=36,f123=12+32=10.规定 f1n=fn,fₖ+1n=ffₖn（k为正整数）.
例如： f1123=f123=12+32=10,f2123=ff11230）=1.则 f44的值为（ ）
A．37B．58C．89D．145
8．式子“1+2+3+4+…+100”表示从 1开始的100个连续自然数的和.由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ∑n=1100：n.这里的“∑”是求和符号.依据以上材料，可计算出 ∑n=120131nn+1=（ ）
A．20142013B．20152014C．20132014D．20122013
二、填空题
9．计算：1+−23÷4= ．
10．已知“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1，…，则 100!98!= .
11． 现定义两种新运算“△”和“⊙”，对任意有理数a，b，规定：a△b=a+b-1，a⊙b= ab-a2 ，例如：1△（-1）=1+（-1）-1=-1，1⊙（-1）=1×（-1）-12=-2，那么（-2）⊙[8△（-3）]= .
12．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行加减乘除混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数−6，3，4，10，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式： ，使其结果等于24．
13．对于任意非零实数a，b，定义运算“☆”如下： a☆b=a−b2ab,则2☆1+3☆2+4☆3+…+1021☆1020= .
14．符号 abcd称为二阶行列式，规定运算法则为 abcd=ad−bc,例如：|3524|=3×4−2×5=2,|−12−1323|= .
三、计算题
15．计算：
（1）(−9)−(−5)+(−11)+(+4)．
（2）−12−15×[(−2)3÷4]．
16．计算.
（1）(12−59+712)×(−36) ；
（2）[2−5×(−12)2]÷(−14)
（3）112×57−(−57)×212+(−12)÷125
（4）−14−[1−(1−0.5×13)×6]
四、解答题
17．某自行车厂一周计划生产 700辆自行车，平均每天生产自行车100辆。由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有差别，下表是某周的自行车生产情况(超过计划生产量计为正，不足计划生产量计为负，单位：辆)：
（1）根据记录求前三天共生产自行车多少辆。
（2）若该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，一天中生产超过计划生产量的，每超过一辆奖15元，一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元?
18．在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“⊕”表示相加．例如：向右转⊕向左转=立正，向左转⊕向左转=向后转，等等．分别用数字符号0，1，−1，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表．
请完成下面问题：
（1）上述表格中，x= ，y= ，m= ．
（2）若用字母a表示任何一种体育口令，则a⊕0= ．
（3）判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）．
19．有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，-，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果.
（1）计算：1+2-6-9.
（2）若1÷2×6□9=-6，请推算□内的符号.
（3）在“1□2□6-9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.
20．对于正数x，规定 fx=x1+x,例如 f3=31+3=34,f13=131+13=14,求
f(12024)+f(12023)+⋯+f(12)+f(1)+f(2)+⋯+f(2023)+f(2024)的值.
五、实践探究题
21．观察算式：
11×2=1−12=12；
11×2+12×3=1−12+12−13=23；
11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=34；
（1）按规律填空：
①11×2+12×3+13×4+14×5=________；
②如果n为正整数，那么11×2+12×3+13×4+14×5+⋅⋅⋅+1n×n+1=________；
（2）计算（由此拓展写出具体过程）11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+199×101；
22．[定义]如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”。
[发现]若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数。记这个整数为F（n）。
[例如]若n＝256，交换百位数字与个位数字得到652，652＞256，则652-256＝396，396÷99＝4，所以F（256）＝4。
解决问题：
（1）求F（129）的值；
（2）请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的；
小明同学说理过程如下：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为 c，则n＝100a+10b+c。（请你继续完成小明同学的说理过程）
（3）若s，t都是“异数”，s＝850+x，t＝170+y（其中x，y均为小于10的正整数），若 F(t)F(s)恒为正整数，求F（t）-F（s）的最大值，并写出此时x，y的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：A、−5.8−−5.8=0，本项错误；
B、−52+4×−5×−32=5×9=45，本项错误；
C、−23×−32=−8×9=−72，本项正确；
D、−42÷14×14=−16×4×14=−16，本项错误；
故答案为：C.
【分析】根据相应的有理数计算法则逐项计算即可求解.
2．【答案】A
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵定义一种新的运算“⊗”，并且规定：x⊗y=x2−2y
∴3⊗−2⊗1
=3⊗−22−2×1
=3⊗2
=32−2×2
=5．
故选：A．
【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数的混合运算，根据新定义一种新的运算“⊗”，并且规定：x⊗y=x2−2y，得到3⊗−2⊗1=3⊗2，进行计算，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：−5.1×12
=−5−0.1×12
=−5×12+−0.1×12
=−60−1.2
=−61.2
∴出错的是乙．
故答案为：B．
【分析】首先根据有理数加法法则的逆用将第一个因数“-5.1”改写成“（-5-0.1）”，再根据乘法分配律律，用“12”与括号内的每一个加数相乘，最后把所得的积相加，据此逐一判断即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：A：4×3−(−6)+10=12+6+10=28，符合题意；
B：4−(−6÷3×10)=4−(−20)=24，不符合题意；
C：10−(−6×3)−4=10−(−18)−4=24，不符合题意；
D：(4−6+10)×3=8×3=24，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据有理数的混合运算的顺序：先运算括号，然后运算乘除，最后运算加减计算，然后逐一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】由题意得：3∗−3=3×−33−−3=−96=−32.
故答案为：D．
【分析】根据新定义代入求值即可．
6．【答案】D
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：山脚是11°C，山顶是−1°C，则气温降了11−−1=12°C，
根据题意：该地区高度每增加100米，气温大约下降0.8°C可得12°C里面包含几个0.8°C，就增加几个100米，即12÷0.8×100=1500（米）。
答：这座山峰的高度大约是1500米，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求得山顶和山脚的温度差，11−−1=12°C，再根据高度每增加100米，气温大约降低0.8°C可以得到，12°C里面包含几个0.8°C，就增加几个100米，于是得出结论．
7．【答案】C
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意得， f14=f4=42=16,f24=f（f1 4）=f16=12+62=37,f34=ff24=f 37=32+72=58,f44=ff34=f58=52 +82=89.
故选C.
故答案为：C
【分析】根据新定义运算法则列出算式并计算即可.
8．【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：根据题意得n=120131nn+1=11×2+12×3+⋯+12013×2014
=1−12+12−13+⋯+12013−12014
=20132014
故答案为：C
【分析】根据题意结合有理数的混合运算得到n=120131nn+1=11×2+12×3+⋯+12013×2014，进而化简即可求解。
9．【答案】−1
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：1+−23÷4
=1+−8÷4
=1+−2
=−1．
故答案为：−1
【分析】根据题意先计算有理数的乘方，进而计算有理数的除法，从而计算加减法即可。
10．【答案】9900
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：100！98！=99×100=9900
故答案为：9900.
【分析】根据新运算的定义直接计算即可.
11．【答案】-12
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意可得：
8△（-3）=8+(-3)-1=4
∴（-2）⊙[8△（-3）]=(-2)⊙4=-2×4-(-2)2=-12
故答案为：-12
【分析】根据新运算列式计算即可求出答案.
12．【答案】4−10×−6÷3（答案不唯一）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；“二十四点”游戏
【解析】【解答】解：4−10×−6÷3=4−10×−2=4−−20=4+20=24
∴满足题意的式子可以为4−10×−6÷3
故答案为：4−10×−6÷3（答案不唯一）．
【分析】根据有理数的四则混合计算法则进行计算求解即可．
13．【答案】5101021
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：根据题意得，2，2☆1+3☆2+4☆3+…+1021☆1020
=2−12×2×1+3−22×3×2+4−32×4×3+⋯
+1021−10202×1021×1020
=12×（1−12+12−13+13−14+⋯+11020− 11021）=12×1−11021=12×10201021=5101021.
故答案为：5101021
【分析】先根据新定义运算将所求式子化为普通运算，再裂项求和计算即可得到结果.
14．【答案】−56
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：根据题意，得 −12−1323=−12）×3−−13×2=−32+23=−56.
故答案为：−56
【分析】 根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果.
15．【答案】（1）解：(−9)−(−5)+(−11)+(+4)
=(−9)+5+(−11)+4
=(−9)+(−11)+5+4
=(−20)+9
=−11；
（2）解：−12−15×[(−2)3÷4]
=−1−15×[(−8)÷4]
=−1−15×(−2)
=−1+25
=−35．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先把算式写成代数和的形式，再进行计算。注意符号的变化。
（2）根据有理数的运算法则进行计算即可，注意要计算乘方和括号里面的，注意符号的变化。
16．【答案】（1）解：原式= 12×(−36)−59×(−36)+712×(−36)=−18+20−21=−19
（2）解：原式= [2−5×14]×(−4)=2×(−4)−54×(−4)=−8+5=−3
（3）解：原式= 112×57+57×212+(−12)×57=57×(112+212−12)=57×72=52
（4）解：原式= −1−[1−(1×6−0.5×13×6)]=−1−1+6−1=3
【知识点】有理数的乘法运算律；含括号的有理数混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）利用乘法分配律计算；（2）先算乘方，再将除法变乘法进行计算；（3）利用乘法分配律的逆运算进行简便计算；（4）括号内的乘法可用乘法分配律.
17．【答案】（1）解：100×3+6-2-4=300（辆）
答： 前三天共生产自行车300辆；
（2）解：一周实际生产自行车数量：（6-2-4+10-9+10-11）+700=700（辆）
700×60+（6+10+10）×15-（2+4+9+11）×20=41870（元）
答：该厂工人这一周的工资总额是41870元.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）求出前三天与计划生产量相比超出或不足的生产量，然后加上前三天计划的生产量；
（2）先求出一周生产自行车的实际生产量，然后注意每生产一辆自行车可得60元，生产每超过一辆奖15元，每少一辆扣20元，据此进行计算即可.
18．【答案】（1）−1；1；0
（2）a
（3）解：由表可知向右转⊕向左转=立正，向左转⊕向右转=立正，∴符合加法的交换律；
∵向右转⊕向左转=立正，立正⊕向后转=向后转
∴向右转⊕向左转+向后转=向右转
∵向右转⊕（向左转+向后转）=向右转⊕向右转=向后转
∴向右转⊕向左转+向后转=向右转⊕（向左转+向后转）
∴符合加法交换律．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】（1）解：∵向后转⊕向右转=向左转
∴x=−1；
∵向后转⊕向左转=向右转
∴y=1
∵向后转⊕向后转=立正
∴m=0；
故答案为：-1，1，0；
（2）解：∵任意口令⊕立正=该任意口令
∴a⊕0=a；
故答案为：a；
【分析】（1）根据新定义得到向后转⊕向右转，向后转⊕向左转，向后转⊕向后转的法则；
（2）根据任意口令⊕立正的结果为该任意口令解答即可；
（3）得到向右转⊕向左转=立正，向左转⊕向右转=立正，向右转⊕向左转+向后转=向右转⊕（向左转+向后转）的法则解题即可．
（1）解：∵向后转⊕向右转=向左转
∴x=−1；
∵向后转⊕向左转=向右转
∴y=1
∵向后转⊕向后转=立正
∴m=0；
（2）解：∵任意口令⊕立正=该任意口令
∴a⊕0=a；
（3）解：由表可知向右转⊕向左转=立正，向左转⊕向右转=立正
∴符合加法的交换律；
∵向右转⊕向左转=立正，立正⊕向后转=向后转
∴向右转⊕向左转+向后转=向右转
∵向右转⊕（向左转+向后转）=向右转⊕向右转=向后转
∴向右转⊕向左转+向后转=向右转⊕（向左转+向后转）
∴符合加法交换律．
19．【答案】（1）解：1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12
（2）解：∵ 1÷2×6 =3，而3-9=-6.
∴□内的符号是“-”
（3）解：这个最小数是-20.理由：∵在“1□2□6-9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6 的结果最小即可，∴1□2□6的最小值是1-2×6=-11，∴1□2□6-9的最小值是-11-9=-20，∴这个最小数是-20
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）直接按有理数的加减法则计算即可；
（2）先计算 1÷2×6 ，根据结果与-6的关系得出 □内的符号 ；
（3）要使“1□2□6-9”结果最小，就需要“1□2□6”结果最小，即应考虑“1□2□6”为非负数，因此两个“□”不可能为“+、×”、“+、÷”、“×、÷”组合，因为这三个组合都会使1□2□6”为正数.然后再观察数字特点，最小的数字为1，而由于乘法能产生较大的数字，所以考虑用1-2×6，即用最小的1，减去最大的12，产生最小的负数.
20．【答案】解：由题意可得， f2+f12=f3+f13= f4+f14=⋯=f2024+f12024=1,原式 =f1+f2+f12+f3+f13 +f4+f14+⋯+[f2024+f 12024]=12+1︸+1+1+⋯+1=2023.5.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】对于正数x，都有 fx+f1x=1,根据这个结论即可解答.
21．【答案】（1）①45；②nn+1
（2）解：11×3=12×1−13，13×5=12×13−15
15×7=12×15−17
⋯⋯
以此类推可知，199×101=12×199−1101
∴11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+199×101
=12×1−13+13−15+15−17+⋅⋅⋅+199−1101
=12×1−1101
=50101．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：（1）解：①11×2+12×3+13×4+14×5
=1−12+12−13+13−14+14−15
=1−15
=45，
故答案为：45；
11×2+12×3+13×4+14×5+⋅⋅⋅+1n×n+1
=1−12+12−13+13−14+14−15+⋅⋅⋅+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1
故答案为：nn+1；
【分析】（1）根据题设的算式，得到计算规律，结合运算此规律，即可得出结论；
（2）把所给的式子进行化简，得到原式=12×1−13+13−15+15−17+⋅⋅⋅+199−1101，找出规律，即可求解．
（1）解：①11×2+12×3+13×4+14×5
=1−12+12−13+13−14+14−15
=1−15
=45
故答案为：45；
11×2+12×3+13×4+14×5+⋅⋅⋅+1n×n+1
=1−12+12−13+13−14+14−15+⋅⋅⋅+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1，
故答案为：nn+1；
（2）解：11×3=12×1−13
13×5=12×13−15
15×7=12×15−17
⋯⋯
以此类推可知，199×101=12×199−1101
∴11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+199×101
=12×1−13+13−15+15−17+⋅⋅⋅+199−1101
=12×1−1101
=50101．
22．【答案】（1）解：921-129=792，792÷99=8
∴F(129)=8
（2）解：∵n=100a+10b+c，∴交换个位与百位后得数为：100c+10b+a
∵F(n)=|100a+10b+c-100c-10b-a|=99|a-c|
∵a，c均为整数
∴F(n)=99|a-c|÷99=|a-c|必为整数。
（3）解：∵s=850+x，t=170+y
∴F(s)=|x-8|，F(t)=|y-1|
∵F(t)F(s)=|y−1||x−8| 恒为正整数
∴|x−8|=1， 即 x=7 或 9
∴ 当 |y−1| 取最大值时， F(t)−F(s) 取最大值
∴|y−1|=8，即y=9或-7；
∵y 为小于 10 的正整数
∴y=9
此时， F(t)−F(s) 取得最大值为 8−1=7。
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）题可以首先判断129是异数，根据定义条件“ 交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99 ”列式计算即可；（2）题首先确定这个三位数是abc，即100a+10b+c；然后交换百位和个位数字之后，三位数变为cba，即100c+10b+a；此时无法判断两个三位数谁大谁小，因此作差的时候加上绝对值，然后化简分析即可；（3）题首先计算出F(s)=|x-8|，F(t)=|y-1|，因为F(t)F(s)恒为正整数，所以只有当F(s)=|x-8|=1时，肯定恒为正整数；然后分析绝对值的计算结果和x、y的具体值即可。星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+6
-2
-4
+10
-9
+10
-11
⊕
0（立正）
1（向右转）
−1（向左转）
2（向后转）
0（立正）
0
1
−1
2
1（向右转）
1
2
0
n
−1（向左转）
−1
0
2
1
2（向后转）
2
x
y
m