小学数学北京版五年级上册三角形习题

这是一份小学数学北京版五年级上册三角形习题，共35页。试卷主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc155533060" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc155533061" 考点一 三角形的相关概念
\l "_Tc155533062" 题型01 三角形的分类
\l "_Tc155533063" 题型02 三角形个数的规律探究问题
\l "_Tc155533064" 题型03 三角形的稳定性
\l "_Tc155533065" 考点二 三角形的重要线段
\l "_Tc155533066" 题型01 画三角形的高、中线、角平分线
\l "_Tc155533067" 题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误
\l "_Tc155533068" 题型03 等面积法求三角形的高
\l "_Tc155533069" 题型04 利用网格求三角形的面积
\l "_Tc155533070" 题型05 与垂心性质有关的计算
\l "_Tc155533071" 题型06 根据三角形的中线求长度
\l "_Tc155533072" 题型07 根据三角形的中线求面积
\l "_Tc155533073" 题型08 判断重心位置
\l "_Tc155533074" 题型09 与重心性质有关的计算
\l "_Tc155533075" 考点三 三角形的性质
\l "_Tc155533076" 题型01 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围
\l "_Tc155533077" 题型02 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子
\l "_Tc155533078" 题型03 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题
\l "_Tc155533079" 题型04 三角形内角和定理的证明
\l "_Tc155533080" 题型05 应用三角形内角和定理求角度
\l "_Tc155533081" 题型06 三角形内角和与平行线的综合应用
\l "_Tc155533082" 题型07 三角形内角和与角平分线的综合应用
\l "_Tc155533083" 题型08 三角形折叠中的角度问题
\l "_Tc155533084" 题型09 应用三角形内角和定理解决三角板问题
\l "_Tc155533085" 题型10 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
\l "_Tc155533086" 题型11 三角形内角和定理与新定义问题综合
\l "_Tc155533087" 题型12 应用三角形外角的性质求角度
\l "_Tc155533088" 题型13 三角形的外角性质与角平分线的综合
\l "_Tc155533089" 题型14 三角形的外角性质与平行线的综合
\l "_Tc155533090" 题型15 应用三角形的外角性质解决折叠问题
\l "_Tc155533091" 题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合
考点一 三角形的相关概念
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.
三角形的分类：
1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
2）三角形按角分类：三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形
三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.
1. 三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排. 即 ∆ABC, ∆ACB等均为同一个三角形.
2. 等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形.
3. 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
题型01 三角形的分类
【例1】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【变式1-1】（2020·河北保定·统考一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为( )
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能
【变式1-2】（2020·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点C在格点上．
【变式1-3】（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积．
题型02 三角形个数的规律探究问题
【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（ ）
A．8B．18C．24D．36
【变式2-1】（2020·江西南昌·模拟预测）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（ ）
A．DE,GH,MIB．GF,EF,MFC．GD,EI,MHD．AD,AG,GD
【变式2-2】阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……
（2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表
(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即Sn=n×n-12
（4）结论：Sn=n×n-12
试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：
当仅有3个点时，可作出 个三角形；
当仅有4个点时，可作出 个三角形；
当仅有5个点时，可作出 个三角形；
……
（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）
(3)推理： （4）结论：
【变式2-3】（2022·吉林长春·校考模拟预测）一个圆周上有12个点：A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问：有多少种连法？
题型03 三角形的稳定性
【例3】（2023·山西运城·统考二模）学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ）

A．三角形的稳定形B．四边形的不稳定性
C．勾股定理D．黄金分割
【变式3-1】（2023·广东佛山·校考一模）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【变式3-2】（2022·河北保定·校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2021·浙江台州·一模）如图，升降平台由三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等腰三角形组成，其中平台AM与底座A0N平行，长度均为2.4米，B，B0分别在AM和A0N上滑动，且始终保持点B0，C1，A1成一直线．
(1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的____性；
(2)为了安全，该平台在作业时∠B1不得超过40°，求平台高度(AA0)的最大值（sin20°≈0.34）．
考点二 三角形的重要线段
1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．
2. 常见三角形的高：
3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.
题型01 画三角形的高、中线、角平分线
【例1】（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AD B．GE C．EF D．CH
【变式1-1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，BC长度不确定，拫据尺规作图痕迹，用直尺不一定能直接画出BC边的高的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ）

A．高，中线，角平分线B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线D．高，角平分线，垂直平分线
【变式1-3】（2023·广东深圳·统考二模）观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段AD为△ABC的角平分线的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）

A．AB边上的中线和高线B．∠C的角平分线和AB边上的高线
C．∠C的角平分线和AB边上的中线D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【变式1-5】（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形．如图，当∠1=∠2时，折痕是三角形的（ ）

A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【变式1-6】（2023·吉林松原·统考一模）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画△ABC的中位线DE，使点D、E分别在边AB、BC上；
(2)在图②中画△ABC的高线BF．
题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误
【例2】（2023·江苏扬州·校考二模）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高．则下列各式中错误的是（ ）

A．∠AFB=90°B．AE=CE
C．BC=2CDD．∠BAE=12∠BAC
【变式2-1】（2020上·安徽池州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CFB．∠C＋∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAFD．S△ABC=2S△ABF
题型03 等面积法求三角形的高
【例3】如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13，则点C到直线AB的距离等于（ ）
A．125B．135C．6013D．6512
【变式3-1】（2023·河北张家口·统考一模）如图，在点A，B，C，D中选一个点；与点M，N为顶点构成一个三角形，其面积等于△KMN的面积，这个点为（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【变式3-2】（2023·江苏苏州模拟）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为( )
A．S△ABC >S△DEFB．S△ABC 90°，∠B=20°，则∠C的度数为______；
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，点D是线段AB上的一点，若AD=94，判断△BCD是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由；
(3)如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若∠ACD=2∠ABC，且△BCD是“奇妙互余三角形”，求BD的长．
【变式11-2】（2022·江西抚州·统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．
【定义感知】
(1)如图1，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=110°，AB=BD．求证：AD是△ABC的“华丽分割线”．
【问题解决】
(2)①如图2，在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数是________；
②如图3，在△ABC中，AB=2，AC=3，AD是△ABC 的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．
【变式11-3】（2019·江苏无锡·统考一模）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；
（2）在图2中分别画出三个顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．
题型12 应用三角形外角的性质求角度
【例12】（2021·陕西·统考中考真题）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（ ）
A．60°B．70°C．75°D．85°
【变式12-1】（2022·北京朝阳·统考二模）如图，点C，D在直线AB上，OC⊥OD，若∠ACO=120∘，则∠BDO的大小为（ ）
A．120∘B．140∘C．150∘D．160∘
【变式12-2】．（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图．在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B= ．
题型13 三角形的外角性质与角平分线的综合
【例13】（2022·陕西西安·校考二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ．
【变式13-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知△ABC中，∠A=70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则∠D= °．

【变式13-2】（2023·江苏泰州·统考二模）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=70°，∠D=10°，则∠P= ．

【变式13-3】（2019·浙江杭州·模拟预测）△ABC中，AB,AC边上的高CE,BD相交于点F，∠ABC,∠ACB的角平分线交于点G，若∠CGB=125°，则∠CFB= ．
【变式13-4】（2020·山西临汾·校联考模拟预测）阅读下面内容，并解答问题．
请解决以下问题：
（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______；
（2）如图，已知点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角平分线CQ的交点，试探究∠Q和∠A的数量关系？并说明理由．
【变式13-5】如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1．
（1）∵BA1、CA1是∠ABC与∠ACD的平分线，
∴∠A1BD＝12∠ABD，∠A1CD＝12∠ACD，
∴∠A1CD﹣∠A1BD＝12（∠ACD﹣∠ABD），
∵∠A1CD﹣∠A1BD＝ ，∠ACD﹣∠ABD＝∠ ，
∴∠A1＝ ．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D＝230°，求∠F的度数．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1，若E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：
①∠Q+∠A1的值为定值；
②∠Q﹣∠A1的值为定值，
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
题型14 三角形的外角性质与平行线的综合
【例14】（2023·贵州贵阳·校考一模）如图，直线AB∥CD，点E是平行线外一点，连接AE，CE，若∠A=22°，∠C=50°，则∠E的度数是（ ）

A．22°B．24°C．26°D．28°
【变式14-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）某城市几条道路的位置如图所示，道路CD与道路EF平行，道路AB与道路CD的夹角∠CDB为50°，城市规划部门想修一条新道路BF，要求∠F=∠B，则∠F的大小为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【变式14-2】（2022·辽宁辽阳·一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．41°C．49°D．50°
【变式14-3】（2021·江苏镇江·统考一模）如图，△ABC中，∠A=45°,∠B=30°，直尺的一边与BC平行，则∠1= °．
题型15 应用三角形的外角性质解决折叠问题
【例15】（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C=105°，则∠1+∠2的度数是 ．
【变式15-1】（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，在ΔABC中，AC=BC，∠C=90°，点D在BC上，且CD=2DB，将ΔABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED= ．
【变式15-2】（2023·浙江绍兴·校联考三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿MN与PQ是否平行，把纸片沿着AC折叠（如图1），并用量角器测出∠1、∠2的度数．
(1)若∠1=∠2，则MN∥PQ．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下小聪同学在PQ边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接AD并折叠纸片使得射线AB与射线AD重合，折痕交PQ于点E，过E作EF⊥AC于点F，设∠AEF=α，∠ADP=β．
①当点D在点C、B之间时，若β=120°，求α的度数；
②当点D在PQ上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合
【例16】（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
【变式16-1】如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，则∠CDE的度数为 ；
（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，则∠BAD的度数为 ；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，则∠BAD与∠CDE的数量关系为 ．
【变式16-2】（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 ．
【变式16-3】（2022下·江苏南京·七年级校考期末）已知△ABC中，∠A=65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB'=35°，则∠1+∠2+∠3= °．
【变式16-4】（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求∠BFC的度数．

考点要求
新课标要求
命题预测
三角形的相关概念
理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性.
在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察.
三角形的重要线段
三角形的性质
探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
证明三角形的任意两边之和大于第三边.
点的个数
可作出直线条数
2
1=S2=2×12
3
3=S3=3×22
4
6=S4=4×32
5
10=S5=5×42
……
……
n
Sn=n×n-12
点的个数
可连成三角形个数
3
4
5
……
n
重要线段
概念
图形
性质
三角形的高
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
∵AD是∆ABC中BC边的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线
∵AD是∆ABC中BC边的中线
∴BD=CD S△ABD=S△ADC
C∆ACD-C∆ABD=AC-AB
三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠DAC=12 ∠BAC
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
∵DE是∆ABC的中位线
∴AD=DB AE=EC
DE=12 BC DE∥BC

概念
图形
性质
重心
三角形三条中线交点
1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3) 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
垂心
三角形三条高交点
1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外；
2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆.
4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短.
三角形关型
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
垂心的位置
直角顶点
①
在三角形外部
垂心的性质
三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍．
图形
图1
图2
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图，ΔABC,
求证：∠A+∠B+∠C=180∘.
方法一
证明：如图，过点A作DE//BC.

方法二
证明：如图，过点C作CD//AB.
探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律
在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果．
规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半．
规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．
如图，已知点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点．则∠P=90°+12∠A，∠M=90°-12∠A．
证明：规律1，∵BP，CP是△ABC的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB．
∴∠A=180°-2∠1+∠2．
∴∠1+∠2=90°-12∠A．
∴∠P=180°-∠1+∠2=90°+12∠A．
规律2，∵∠3=12∠A+∠ACB，∠4=12∠A+∠ABC，
∴∠3+∠4=12∠A+∠ACB+∠ABC+12∠A=90°+12∠A．
∴∠M=180°-∠3+∠4=90°-12∠A．
探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律
在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果．
规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半．
规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．
如图，已知点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点．则∠P=90°+12∠A，∠M=90°-12∠A．
证明：规律1，∵BP，CP是△ABC的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB．
∴∠A=180°-2∠1+∠2．
∴∠1+∠2=90°-12∠A．
∴∠P=180°-∠1+∠2=90°+12∠A．
规律2，∵∠3=12∠A+∠ACB，∠4=12∠A+∠ABC，
∴∠3+∠4=12∠A+∠ACB+∠ABC+12∠A=90°+12∠A．
∴∠M=180°-∠3+∠4=90°-12∠A．