专题16 三角形（讲义）-2024年小升初数学复习讲练测（通用版）-A4

这是一份专题16 三角形（讲义）-2024年小升初数学复习讲练测（通用版）-A4，共18页。
（高频考点梳理＋重难点讲解＋同步练习＋答案）
【知识梳理】
1、三角形的定义
由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
三角形有3条边，3个顶点，3个角。
2、三角形的分类。
（1）按角来分。
（2）按边来分。
3、三角形的特性：三角形具有稳定性。
【例1】如果点A用数对表示是（3，6），点B用数对表示为（3，9)，点C用数对表示为（5，6），那么三角形ABC是（ ）三角形。
A、锐角 B、直角 C、钝角
【解题分析】
用数对（x，y）表示位置时，x表示第几列，y表示第几行。如果点A用数对表示为（3，6），点B用数对表示为（3，9），则点A和点B同在第3列；点C用数对表示为（4，5），则点A和点C同在第5行，所以∠BAC是直角，那么三角形ABC一定是直角三角形。
【答案】B；
【例2】要固定一个长方形框架，下面方案（ ）的效果最好。
A、 B、 C、 D、
【解题分析】
根据三角形具有稳定性可知，C中固定成的图形为三角形，所以C的效果更牢固些。
【答案】C；
【例3】在一个三角形中，三个内角度数的比是 2∶3∶4，这个三角形是（ ）三角形。
A、锐角 B、钝角 C、直角
【解题分析】
三角形的内角和为180°。
180°×22＋3＋4＝40°
180°×32＋3＋4＝60°
180°×42＋3＋4＝80°
因为三个角都小于90°，所以这个三角形是锐角三角形。故选A。
【答案】A；
【例4】在三角形ABC中，如果∠A＝∠B＋∠C，那么三角形ABC一定是（ ）三角形。
A、锐角 B、直角 C、钝角
【解题分析】
根据三角形的内角和为180°得：
∠A＋∠B＋∠C＝180°
2∠A＝180°
所以∠A＝90°，则三角形ABC一定是直角三角形，故选B。
【答案】B；
【练习1】辩一辩。对的打√，错的打×。
（1）一个三角形中如果有两个锐角，那么第三个角一定是钝角。（ ）
（2）一个三角形的三个内角的度数都不相同，若其中最小的一个内角是45°，则这个三角形一定是钝角三角形。（ ）
（3）任意一个三角形都可以分割成两个直角三角形。（ ）
（4）用三根长度分别是3cm、4cm、5cm的小棒首尾相连拼一个三角形，不管怎样拼，这个三角形的形状和大小都不会发生改变。（ ）
【练习2】数一数，下面这个图形中共有（ ）个三角形。
【练习3】画出下面三角形指定底边上的高。
【知识梳理】
三角形三边关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边。
（2）任意两边之差小于第三边。
【例5】下面几组小棒，能摆成三角形的是（ ）。
A．3厘米，4厘米，7厘米 B．5厘米，5厘米，11厘米
C．4厘米，6厘米，9厘米 D．3厘米，8厘米，12厘米
【解题分析】
根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边。
A选项，3＋4＝7，不满足两边之和大于第三边，不能摆成三角形；
B选项，5＋5＝10＜11，不满足两边之和大于第三边，不能摆成三角形；
C选项，4＋6＞9，6－4＜9，满足条件，可以摆成三角形；
D选项，3＋8＝11＜12，不满足两边之和大于第三边，不能摆成三角形。
【答案】C；
【例6】用三根小棒围一个三角形，若其中两根小棒的长度分别为5厘米和9厘米，那么第三根小棒最长是（ ）厘米。（结果取整厘米数）
【解题分析】
根据三角形三边关系，9－5＜第三根小棒的长度＜9＋5，即4＜第三根小棒的长度＜14，因为结果取整厘米数，所以第三根小棒最长是13 厘米。
【答案】13；
【例7】一个三角形的三条边长都是质数，且三边长的和是19，则这个三角形的三条边长分别是（ ）。
【解题分析】
19以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17。
19＝3＋3＋13＝3＋5＋11＝5＋7＋7，
因为3＋3＝6＜13，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
3＋5＝8＜11，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
5＋7＞7，7－5＜7，满足条件，可以组成三角形，所以这个三角形的三条边长分别是5、7、7。
【答案】5、7、7；
【练习1】下面三组线段中不能围成三角形的是（ ）。
A. 2，5，6 B. 3，6，9 C. 4，7，10
【练习2】从五根长分别为 7cm、7cm、9cm、9cm、16cm小棒中选取三根围成不同的等腰三角形，这个等腰三角形的周长不可能是（ ）。
A. 23cm B. 25cm C. 30cm D. 34cm
【知识梳理】
1、等腰三角形
相等的两条边叫做三角形的腰。
两腰与底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两腰相等。
等腰三角形的两个底角也相等。
2、等边三角形
等边三角形也叫做正三角形。
等边三角形3条边都相等。
等边三角形3个角也相等，都是60°。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
【例8】一个周长是90厘米的等腰三角形，有两条相邻的边的长度比是5∶2，则这个三角形的底是（ ）厘米。
【解题分析】
等腰三角形两腰长度相等。
当腰和底的比是5∶2时，设腰长为5x厘米，底为2x厘米，
5x＋5x＋2x＝90
12x＝90
x＝7.5
底：2x＝2×7.5＝15（厘米）
当腰和底的比是2∶5时，设腰长为2x厘米，底为5x厘米，此时2x＋2x＜5x，不能构成三角形，舍去。所以底是15厘米。
【答案】15；
【例9】用一根绳子刚好可以围一个边长是8cm的正方形，如果用这根绳子围一个底边长是10cm的等腰三角形，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）厘米。
【解题分析】
先求出绳子长度，即正方形周长：8×4＝32（厘米）然后根据等腰三角形的腰长＝（绳子长度－底边长度）÷2求出等腰三角形的腰长。
（32－10）÷2
＝22÷2
＝11（厘米）
【答案】11；
【例10】如图，在长方形里面有一个等边三角形，则∠x＝（ ）°。
【解题分析】
长方形的四个角都等于90°，等边三角形的三个角都等于60°。
∠x＝90°－60°－15°
＝30°－15°
＝15°
【答案】15；
【练习1】一个等腰三角形的两条边长分别是5cm和10cm，这个三角形的周长是（ ）厘米。
A.20 B.22 C.25
【练习2】已知一个等腰三角形的顶角和底角的比是4∶3，则这个三角形的底角是（ ）°。
A.52 B.54 C.56
【知识梳理】
三角形的内角和：三角形的内角和是180°。
【例11】一个直角三角形，如果一个锐角是另一个锐角的3倍，那么这个直角三角形的两个锐角分别是（ ）°和（ ）°。
【解题分析】
在直角三角形中，两个锐角和为90度。把较小的锐角看作1份，较大的锐角就是3份，那么两个锐角一共是4 份，4份对应的是90°，可求出1份即较小锐角的度数，进而求出较大锐角的度数。
90°÷（1＋3）
＝90°÷4
＝22.5°
22.5°×3＝67.5°
【答案】22.5°；67.5°；
【例12】一个三角形的三个内角的度数比是1∶2∶3，把这个三角形按3∶1的比例放大后，最大的角是（ ）°。
【解题分析】
三角形内角和为 180°。
解：设三个角的度数分别为x，2x，3x。
x＋2x＋3x＝180°
6x＝180°
x＝30°
所以最大角为 3x＝3×30＝90°，三角形按比例缩小后角的大小不变，所以最大角还是90°。
【答案】90°；
【例13】已知∠4＝88°，∠2＝29°，求∠3的度数。
【解题分析】
先根据平角的性质得到∠1＝180°－∠4＝180°－88°＝92°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠3。
∠3＝180°－∠1－∠2
＝180°－92°－29°
＝88°－29°
＝59°
【答案】59°；
【练习1】一个等腰三角形，底角和顶角的度数比是2∶5，则底角的度数为（ ）°。
A. 40° B. 80° C. 100°
【练习2】三角形ABC和三角形ACD都是等腰三角形，AB＝AC＝DC，求∠D的度数。
【知识梳理】
1、三角形的周长：
（1）三角形的周长等于其三条边的长度之和。
三角形周长＝三边之和
用字母表示为：设三角形的三条边分别为a、b、c，则周长C＝a＋b＋c。
（2）等腰三角形的周长＝腰长×2＋底
（3）等边三角形的周长＝边长×3
2、三角形的面积：
（1）三角形面积＝底×高÷2
用字母表示为：当已知三角形的底边a和高h时，面积S＝12ah。
（2）直角三角形面积＝直角边×直角边÷2
【例14】把三角形ABC按照3∶1的比放大后，得到的图形与原来的三角形相比，下面说法正确的是（ ）。
A. 面积扩大原来的3倍 B. 面积缩小到原来的13
C. 周长扩大原来的3倍 D. 周长缩小到原来的13
【解题分析】
根据图形方法或缩小的规律可知：把一个图形的放大的几倍或缩小到原来的几分之几是指把这个图形的对应边放大的几倍或缩小到原来的几分之几。但是图形的放大或缩小，图形的形状不变。所以把一个三角形按照3∶1比放大，那么三角形的每条边长都扩大到原来的3倍。所以三角形的周长扩大3倍，面积扩大了3×3＝9倍
【答案】C；
【例15】有一个直角三角形，它的两条直角边长度分别是5厘米和12厘米，第三条边是13厘米，则这个直角三角形的面积是（ ）平方厘米，第三条边上的高是（ ）厘米。
【解题分析】
根据直角三角形面积＝直角边×另一直角边÷2，求出三角形的面积。
5×12÷2
＝60÷2
＝30（平方厘米）
设斜边上的高为x厘米，根据直角三角形面积＝直角边×直角边÷2，利用“面积相等”可列出方程求解即可得斜边上的高。
13×x÷2＝30
13x＝60
x＝6013
【答案】30；6013；
【例16】一个三角形与一个长是8分米，宽是4分米的长方形面积相等，已知三角形的底边长16分米，它的高是（ ）分米。
【解题分析】
先求出长方形的面积为8×4＝32平方分米，因为三角形与长方形面积相等，根据三角形高＝面积×2÷底，可得三角形的高为：
32×2÷16
＝64÷16
＝4（分米）
【答案】4；
【练习1】何阿姨家有一块等腰三角形的花园，其中两条边的长分别是15米和30米。要在花园的四周围上栅栏，栅栏的长至少是（ ）米。
【练习2】一块面积是480平方米的三角形空地，底是30米，高是（ ）米。
【练习1】
【解题分析】
（1）三角形有两个角是锐角，第三个角中可能是钝角或直角，也可能是锐角，原题说法错误。
（2）三角形的内角和是180°，已知最小的内角是 45°，且三个角各不相同，那么另两个角都大于45°。假设第二小的角为46°，则最大的角为180°－45°－46°＝89°，即最大角小于90°，所以这个三角形是锐角三角形，原题说法错误。
（3）沿三角形的一个顶点做对边的高（如下图），可以将一个三角形可以分成两个直角三角形。
（4）根据三角形的稳定性可知：如果三角形的三边长度确定了，那么这个三角形的形状和大小就完全确定了。所以用三根长度分别是3cm、4cm、5cm的小棒首尾相连拼一个三角形，不管怎样拼，这个三角形的形状和大小都不会发生改变，原题说法正确。
【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；
【练习2】
【解题分析】
数三角形时要按照一定的顺序数。单个的三角形有6个；由2个三角形合成1个三角形的有4个；由3个三角形合成1个三角形的有2个；由6个三角形合成1个三角形的有1个。6＋4＋2＋1＝13（个），所以图中有13个三角形。
【答案】13；
【练习3】
【解题分析】
三角形高的画法：（1）找到题目中要求画高的底边。（2）找到底边对面的顶点。（3）过已经找到的顶点向底边画垂线，并标上垂直符号。
【解答】
【练习1】
【解题分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析。
A 选项，2＋5＞6，6－2＜5，能围成三角形；
B 选项，3＋6＝9，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形；
C 选项，4＋7＞10，10－4＜7，能围成三角形。
【答案】B；
【练习2】
【解题分析】
当腰长为7cm，第三边为9cm时，周长为7＋7＋9＝23cm；
当腰长为7cm，第三边为16cm时，7＋7＝14＜16不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形；
当腰长为9cm时，第三边为7cm，周长为9＋9＋7＝25cm；
当腰长为9cm时，第三边为16cm，周长为9＋9＋16＝34cm，所以不可能是30cm。
【答案】C；
【练习1】
【解题分析】
当腰长为5cm时，5＋5＝10，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形；
当腰长为10cm时，10＋10＞5，10－5＜10，可以组成三角形，此时周长为10＋10＋5＝25（厘米）。
【答案】C；
【练习2】
【解题分析】
因为等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为180°。
解：设顶角为4x，底角为3x。
4x＋3x＋3x＝180°
10x＝180°
x＝18°
所以底角为3x＝3×18°＝54°。
【答案】B；
【练习1】
【解题分析】
三角形内角和为180°，因为等腰三角形两底角相等。
180°×22＋2＋5＝40°。
【答案】40°
【练习2】
【解题分析】
根据等腰三角形两底角相等和三角形的内角和等于180°，分别求出∠1和∠2，进而求出∠D的度数。
∠1＝（180°－50°）÷2
＝130°÷2
＝65°
∠2＝180°－∠1
＝180°－65°
＝115°
∠D＝（180°－∠2）÷2
＝（180°－115°）÷2
＝65°÷2
＝32.5°
【答案】32.5°
【练习1】
【解题分析】
如果腰长是15米，15＋15＝30，不满足三角形三边关系，所以腰长一定是30米。根据三角形的周长等于其三条边的长度之和可得栅栏长为30＋30＋15＝75（米）。
【答案】75米；
【练习2】
【解题分析】
三角形的面积＝底×高÷2，那么高＝三角形的面积×2÷底。已知面积和底，直接代入公式计算即可。
【答案】
480×2÷30
＝960÷30
＝32（米）
答：高是32米。