中考数学第一轮专项复习专题第17讲 全等三角形（讲义）（解析版）

这是一份中考数学第一轮专项复习专题第17讲 全等三角形（讲义）（解析版），共134页。学案主要包含了考情分析，知识建构，常见的全等三角形模型等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156054063" 考点一 全等三角形及其性质
\l "_Tc156054064" 题型01 利用全等三角形的性质求角度
\l "_Tc156054065" 题型02 利用全等三角形的性质求长度
\l "_Tc156054066" 题型03 根据全等的性质判断正误
\l "_Tc156054067" 题型04 利用全等三角形的性质求解
\l "_Tc156054068" 题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
\l "_Tc156054069" 考点二 全等三角形的判定
\l "_Tc156054070" 题型01 添加一个条件使两个三角形全等
\l "_Tc156054071" 题型02 添加一个条件仍不能证明全等
\l "_Tc156054072" 题型03 灵活选用判定方法证明全等
\l "_Tc156054073" 题型04 结合尺规作图的全等问题
\l "_Tc156054074" 题型05 全等三角形模型-平移模型
\l "_Tc156054075" 题型06 全等三角形模型-对称模型
\l "_Tc156054076" 题型07 全等三角形模型-一线三等角模型
\l "_Tc156054077" 题型08 全等三角形模型-旋转模型
\l "_Tc156054078" 题型09 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
\l "_Tc156054079" 题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
\l "_Tc156054080" 题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线
\l "_Tc156054081" 题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线
\l "_Tc156054082" 题型13 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156054083" 考点三 角平分线的性质
\l "_Tc156054084" 题型01 利用角平分线的性质求长度
\l "_Tc156054085" 题型02 利用角平分线的性质求面积
\l "_Tc156054086" 题型03 角平分线的判定定理
\l "_Tc156054087" 题型04 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题
\l "_Tc156054088" 题型05 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法
\l "_Tc156054089" 考点四 全等三角形的应用
\l "_Tc156054090" 题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
\l "_Tc156054091" 题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
\l "_Tc156054092" 题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
考点一 全等三角形及其性质
全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.
特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.
全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上.
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.
全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等.
2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
3）全等三角形的周长相等、面积相等．
1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.

题型01 利用全等三角形的性质求角度
【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△AEC≌△ADB，若∠A=50°,∠ABD=40°，则∠1的度数为（ ）

A．40°B．25°C．15°D．无法确定
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质可得AB=AC，由等腰三角形的性质可求∠ABC的度数，即可求解．
【详解】解：∵△AEC≌△ADB，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=50°，
∴∠ABC=∠ACB=180°-∠A2=65°，
∵∠ABD=40°，
∴∠1=∠ABC-∠ABD=65°-40°=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【变式1-1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ABC≌△AED，∠A=75°，∠B=30°，则∠ADE的度数为（ ）
A．105°B．80°C．75°D．45°
【答案】C
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ACB=75°，利用全等三角形的性质即可得到∠ADE的度数．
【详解】解：∵∠A=75°，∠B=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-75°-30°=75°，
∵△ABC≌△AED，
∴∠ADE=∠ACB=75°，
故选：C
【点睛】此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．
【变式1-2】（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC=35°，则∠BFD= ．
【答案】145°/145度
【分析】根据△ADE≌△ABC可得∠AED=∠ACB，再由三角形内角和得到∠DFC=∠EAC=35°，利用邻补角定义求出∠BFD即可．
【详解】解：∵△ADE≌△ABC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠ADE=∠FDC，
∴∠DFC=∠EAC=35°，
∴∠BFD=180°-∠DFC=145°．
故答案为：145°
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和以及邻补角定义，解答关键是在全等三角形性质基础上灵活运用数形结合思想
题型02 利用全等三角形的性质求长度
【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ABC≅△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若AB=8，AC=3，BC=7，则AD的长为（ ）

A．3B．7C．8D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC≅△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，
∴AB=ABAC=BDBC=AD，
∵BC=7
∴AD=BC=7.
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形找出对应边．
【变式2-1】（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，△ABC≌△DEF，DE=5，AE=2，则BE的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【详解】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【分析】解：∵△ABC≌△DEF，DE=5，
∴AB=DE=5，
∵AE=2，
∴BE=AB-AE=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【变式2-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考一模）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB＝8cm，BD＝7cm，AD＝6cm，那么BC的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，BC＝AD.
【详解】解：∵△ABC≌△BAD，AD＝6cm，
∴BC＝AD＝6（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是本题的解题关键.
题型03 根据全等的性质判断正误
【例3】（2022·天津河西·统考二模）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，点A的对应点为D，AC交DE于点P，连结EC，AD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ED=CBB．∠EBA=60°
C．∠EPC=∠CADD．△ABD是等边三角形
【答案】D
【分析】由题意可知，将△ABC旋转60°后得到△DBE，根据等边三角形的判定方法确定D正确，其他三项逐项进行排除即可；
【详解】解：A、由题意可知，DE=AC不一定等于CB，故A选项错误；
B、由于D、B、C不一定在同一个直线上，故∠EBA不一定等于60°，故B选项错误；
C、由题意可知，AD≠PD，故∠CAD≠∠APD，故∠EPC≠∠CAD，C选项错误；
D、由旋转的性质可知，△ABD为等边三角形，故D选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转60°后所形成的等边三角形是解决本题的关键．
【变式3-1】（2018·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）如图，M在BC上，MB=12MC，如果△ABC绕点M按顺时针方向旋转180°后与△FED重合，则以下结论中不正确的是（ ）
A．△ABC和△FED的面积相等B．△ABC和△FED的周长相等
C．∠A+∠ABC=∠F+∠FDED．AC∥DF，且AC=DF
【答案】C
【分析】由题意得：△ABC≌△FED，利用全等三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵△ABC绕点M按顺时针方向旋转180°后与△FED重合，
∴△ABC≌△FED，
∴△ABC和△FED的面积相等，△ABC和△FED的周长相等，
∠A=∠F，∠ABC=∠FED，∠C=∠D，
∴AC∥DF，且AC=DF．
A、△ABC和△FED的面积相等，选项正确，不符合题意；
B、△ABC和△FED的周长相等，选项正确，不符合题意；
C、∠A+∠ABC≠∠F+∠FDE，选项错误，符合题意；
D、AC∥DF，且AC=DF，选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握旋转后重合的两个三角形全等，以及全等三角形的性质是解题的关键．
【变式3-2】（2022·广东深圳·校考一模）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是( )
A．∠BCB′＝∠ACA′B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′ACD．B′C平分∠BB′A′
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB=∠A'CB'，
∴∠ACB-∠ACB'=∠A'CB'-∠ACB'，
∴∠BCB′＝∠ACA′，故A正确；
∵△ABC≌△A′B′C，
∴BC=B'C，
∴∠B=∠BB'C，
∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，
∴∠ACB＝2∠B，故B正确；
∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠A=∠A'，
∵无法判断B'C和B'A是否相等，
∴∠B′CA和∠A不一定相等，
∴∠B′CA和∠B′AC不一定相等，故C错误；
∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠B=∠A'B'C，
∵∠B=∠BB'C，
∴∠BB'C=∠A'B'C，
即B′C平分∠BB′A′，故D正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式3-3】（2023·山东淄博·统考二模）如图，△ABC≌△DEF，点E在AC上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若∠A=40°,∠CED=35°，则下列结论正确的是（ ）

A．EF=EC,AB=FCB．EF≠EC,AE=FC
C．EF=EC,AE≠FCD．EF≠EC,AE≠FC
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE，∠D=∠A=40°，AC=DF，则EF=EC，由于∠D≠∠CED，则CE≠CD，则AE≠CF，由此即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，∠D=∠A=40°，AC=DF，
∴EF=EC，
∵∠D=40°≠∠CED=35°，
∴CE≠CD，
∴AE≠CF，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．
题型04 利用全等三角形的性质求解
【例4】（2023·广东深圳·统考二模）如图，A，B是反比例函数y=kxx>0图象上两点，C-2,0，D4,0，△ACO≌△ODB，则k= ．
【答案】7225
【分析】由题意可设A(m,km)(m>0,k>0)，可得OC=2，OD=4，根据三角形全等的性质可得AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，则12OC⋅yA=12OD⋅yB，进而得到点B的坐标(2m,k2m)，由AO=BO得m2+(km)2=(2m)2+(k2m)2，以此得到k=2m2，则A(m,2m)，再根据AC=4，根据两点间距离公式列出方程，求出m即可求解．
【详解】解：∵点A在反比例函数y=kx(x>0)图象上，
∴设A(m,km)(m>0,k>0)，
∵C(-2,0)，D(4,0)，
∴OC=2，OD=4，
∵△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，
∴ 12OC⋅yA=12OD⋅yB，即12×2×km=12×4×yB，
∴ yB=k2m，
∵点A在反比例函数y=kx(x>0)图象上，
∴ k2m=kx，
∴x=2m，
∴B(2m,k2m)，
∵AO=BO，
∴AO2=BO2，即m2+(km)2=(2m)2+(k2m)2，
整理得：4m4=k2，
∴k=2m2或-2m2（舍去），
∴A(m,2m)，
∵AC=4，
∴(m+2)2+4m2=16，
整理得：m=65或-2（舍去），
∴A(65,125)，
将点A代入反比例函数y=kx得：125=k65，
∴k=125×65=7225．
故答案为：7225．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、两点间的距离公式，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
【变式4-1】（2022·北京海淀·校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的 ．

【答案】点D
【分析】设图中小正方形的边长为1，由勾股定理可计算出△MNF的三边长，再计算出点M、F分别与A、B、C、D四点的距离，即可作出判断．
【详解】解：设图中小正方形的边长为1，
∵MN=MF=2，
由勾股定理得：MP=32+32=32，NP=32+12=10，
由于AF⊥MF，显然点A不可能是点Q；
∵MD=32+32=32，FD=12+32=10，
∴MD=MP，FD=NP，
∴△MNP≌△MFD，即点D是点Q；
∵MB=32+22=13≠MP，FB=12+22=5≠NP，
∴点B不是点Q；
同理，点C不是点Q；
∴点Q可能是图中的点D；
故答案为：点D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求得各线段的长度是关键．
【变式4-2】（2023·江苏扬州·统考二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知A点的坐标是3,-3，则B点的坐标是 ．

【答案】(-3,3)
【分析】如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，连接AO，BO，证明∠BOE=∠AON,可得A,O,B三点共线，可得A,B关于O对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，连接AO，BO，

∴ 三个正六边形，O为原点，
∴BM=MO=OH=AH,∠BMO=∠OHA=120°,
∴△BMO≌△OHA,
∴OB=OA,
∴∠MOE=120°-90°=30°,∠MBO=∠MOB=12180°-120°=30°,
∴∠BOE=60°,∠BEO=90°,
同理：∠AON=120°-30°-30°=60°,∠OAN=90°-60°=30°,
∴∠BOE=∠AON,
∴A,O,B三点共线，
∴A,B关于O对称，
∴B(-3,3).
故答案为：(-3,3)．
【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键．
【变式4-3】（2023·广东广州·统考二模）如图，直线y=-2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A，若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与△AOB全等，则AD的长为 ．

【答案】2或5/5或2
【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD=∠OBA，分别从∠ACD=90°或∠ADC=90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD=AB，或△ACD≌△BAO时，AD=OB，即可得出结论．
【详解】解：∵直线y=-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y=0时，即0=-2x+2，
解得：x=1．
当x=0时，y=2，
∴A(1，0)，B(0，2)．
∴OA=1，OB=2．
∴AB=OA2+OB2=5．
∵AP⊥AB，点C在射线AP上，
∴∠BAC=90°，即∠OAB+∠CAD=90°．
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA．
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD=90°或∠ADC=90°，即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，

当△ACD≌△BOA时，∠ACD=∠AOB=90°，AD=AB=5；
如图2所示，

当△ACD≌△BAO时，∠ADC=∠AOB=90°，AD=OB=2．
综上所述，AD的长为2或5．
故答案为：2或5．
【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式4-4】（2023·河南三门峡·统考二模）如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=2，BC=4，点D为AB的中点，点E在AB的延长线上，将△DEF绕点D顺时针旋转α度0AB．已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为△ABC三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图，设BC=a，AC=b，AB=c，OA=x，OB=y，OC=z，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
【答案】 角平分线 y+c+b+z
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，进行作答即可；
（2）根据题意，得到三条路线，在BC上截取BE=BA，连接OE，证明△ABO≌△EBOSAS，利用三角形的三边关系，即可得到最短路径．
【详解】解：（1）∵厂房O到每条公路的距离相等，
∴点O为△ABC三条角平分线的交点；
故答案为：角平分线．
（2）如图：
有三条路线可走：d1=x+c+a+z,d2=x+b+a+y,d3=y+c+b+z，
在BC上截取BE=BA，连接OE，
∵点O为△ABC三条角平分线的交点，
∴∠ABO=∠OBE，
在△ABO和△EBO中，
AB=BE∠ABO=∠OBEBO=BO，
∴△ABO≌△EBOSAS，
∴OA=OE，AB=BE，
在△ECO中，y-x