沪教版（五四制）（2024）二年级下册三角形与四边形同步达标检测题

这是一份沪教版（五四制）（2024）二年级下册三角形与四边形同步达标检测题，共32页。试卷主要包含了如图，是等腰三角形，，等内容，欢迎下载使用。
题型01 三角形有关的线段
题型02 勾股定理
题型03 全等的判定与性质
题型04 相似的判定与性质
题型05 多边形的角、边、对角线
题型06 平行四边形的判定与性质
题型07 矩形的判定与性质
题型08 菱形的判定与性质
题型09 正方形的判定与性质
题型01
三角形有关的线段
1．（2025·河北保定·一模）下列五边形具有稳定性的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（ ）
A．2B．5C．6D．4
4．（2025·河北邢台·一模）如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（ ）
A．角平分线B．高线C．中位线D．中线
5．（2025·甘肃陇南·一模）如图，在中，点，分别是，上的中点，连接，，若的面积为10，则的面积为（ ）
A．5B．C．D．
6．（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·广东深圳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部
B．所有的等边三角形都是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
8．（2025·河北·一模）如图，在中，，，点D在边上，点O为的内心，当为钝角三角形时，，则和的值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ．
10．（2025·广西来宾·一模）如图，是等腰三角形，，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母）
(2)若，，求的周长．
题型02
勾股定理
1．（2025·海南·一模）如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·海南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段向右平移到，若四边形为菱形，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·海南·一模）如图，在中，，，，点在边上（不与点，重合）．将线段绕点顺时针旋转到，连接，若是等腰直角三角形，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河南南阳·一模）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点B作于点F，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．3
5．（2024·天津·一模）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，，，，则的长为（ ）
A．7B．C．8D．10
6．（2025·广西贵港·一模）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（ ）
A．B．C．D．
7．（2017·广东广州·一模）如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（ ）
A．12B．14C．16D．18
8．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么 ．

9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，且，当为等腰三角形时，的长为 ．
10．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、C在x轴上，将该矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点F．已知，．则点F的坐标为 ．
11．（2025·江苏连云港·一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，那么的值为 ．
12．（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元．
13．（2025·甘肃定西·一模）如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为
题型03
全等的判定与性质
1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（ ）
A．24B．12C．6D．8
2．（2025·天津西青·一模）如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A．B．
C．D．
3．（2025·山东济南·一模）如图，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东济南·一模）如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
5．（2025·黑龙江大庆·一模）下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．的平方根是2
D．是分数
6．（2025·湖南张家界·一模）如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·安徽合肥·一模）如图1，菱形中，，，点，分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)求的最小值；
(3)如图2，线段的中点是点，连接，，求四边形的面积．
8．（2025·河南南阳·一模）华师大版教材八年级下册页有一道习题：
解决下列问题：
(1)该习题不添加辅线，只需证明______，即可得到结论．
(2)如图1，正方形中，点、分别在边、上．
①过点G作交于点．（要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹）．
②求证：．
(3)如图2，黄金矩形（）中，点、、分别在边、、上，且，若．请直接写出线段的长（用含的式子表示）．
9．（2025·陕西汉中·一模）如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，连接、，．求证：．
10．（2025·宁夏银川·一模）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长.
11．（2025·山东淄博·一模）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．
(1)如图，当点E在上时，求证：；
(2)当为何值时，？不画图形，请直接写出结论．
12．（2025·河南郑州·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点O．
(1)尺规作图：在菱形的边上方找一点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，求证：．
题型04
相似的判定与性质
1．（2025·湖南长沙·一模）如图，下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·上海松江·一模）已知命题：
①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似；
②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似．
下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①和②都是真命题B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题
3．（2025·上海嘉定·一模）下列两个三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形B．有一个内角为的两个直角三角形
C．两个等腰三角形D．有一个内角是的两个等腰三角形
4．（2013·吉林白城·一模）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·广东湛江·一模）若，，的周长是8，则的周长是（ ）
A．27B．18C．15D．12
6．（2025·安徽合肥·一模）如图，，若，，则与的相似比为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·湖南·一模）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·广西河池·一模）小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·辽宁·一模）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是 ．
10．（2025·福建·一模）如图，四边形是一张矩形纸片，点、在边上，沿着折叠，使边落在边上，点落在点处；沿着折叠，使边落在边上，点落在点处．若矩形与原矩形相似，则为 ．
11．（2025·河南鹤壁·一模）如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为
12．（2025·贵州黔南·一模）如图，在中，是的直径，C 是上一点，在上找一点D，使得连接，过点C作的垂线，垂足为E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求阴影部分的面积．
13．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知正方形的对角线相交于点，平分交于点，，交于点，交于点．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求证：．
14．（2025·山西阳泉·一模）如图，已知矩形及对角线．
(1)过点作的垂线，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)结合图形猜想，请将下面的证明过程补充完整．
证明：四边形是矩形，
___________，②___________（矩形的对边平行，每个角都是直角）．
（③___________）．（填写推理的依据）
，
．
．
（④___________）．（填写推理的依据）
15．（2025·湖北·一模）（1）如图1，在中，于点H，求证：；
（2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值；
（3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值．
16．（2025·湖南张家界·一模）如图，线段与相交于点，，，，．求证：．
17．（2025·河南·一模）如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式．
(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，与是否总相似，并说明理由．
18．（2025·河南开封·一模）（1）计算：．
（2）如图，是的边上的一点，连接，已知．求证：．
19．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
(1)当点与点重合时，的值为________；
(2)用含的代数式表示长；
(3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值；
(4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值．
20．（2025·陕西渭南·一模）大象寺塔是渭南的一座回音塔，是当地的一大奇观，这里的建筑风格独特，回音效果让人叹为观止．林轩和王飞想利用所学知识测量大象寺塔的高度．测量方案如下：如图，林轩在地面上立即点处，放置一个小平面镜（大小忽略不计），并沿着方向移动，当移动到点处时，他刚好在小于曲镜内看到该塔最高点的像，此时，测得米，林轩眼睛与地面的距离米．土（红色）的另一侧的点处，测得该塔顶部的仰角，测得点A、P之间的距离为米．已知图中所有点均在同一平面内，、，点P、C、E、A在同一水平直线上．请根据以上信息计算大象寺塔的高度．（参考数据：，，）
题型05
多边形的角、边、对角线
1．（2025·山东济南·一模）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2025·浙江宁波·一模）如图，多边形是边长为1的正六边形，则（ ）

A．B．C．D．
3．（2025·河北邢台·一模）如图，已知正六边形的顶点在直线上，是的中点，连接并延长交直线于点，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河南周口·一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·云南昆明·一模）若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．（2025·河南南阳·一模）清代文人魏崧在《壹是纪始》中写到：“不倒翁起始于唐朝”．现在“不倒翁”已成为益智的玩具．如图：“不倒翁”平面示意图是由等边与围成的图形．已知：，等边的中心是的圆心．则这个“不倒翁”的平面示意图的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则它的面积是（ ）

A．B．12C．D．24
10．（2025·陕西咸阳·一模）如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 ．（填“大”或“小”）
11．（2025·陕西榆林·一模）在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为 ．
12．（2025·辽宁大连·一模）一个多边形的内角和为，则它的边数为 ．
13．（2025·重庆·一模）若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ．
14．（2025·山东枣庄·一模）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ．
15．（2025·广东清远·一模）图1窗棂的外边框为正六边形（图2），则该正六边形每个外角的度数为 ．
16．（2025·陕西渭南·一模）若一个正多边形的每个外角的度数都是，则这个正多边形的中心角是 °．
17．（2025·陕西渭南·一模）如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是 ．
题型06
平行四边形的判定与性质
1．（2025·河北邢台·一模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在四边形中，垂直平分，过点作，以为顶点，在的左侧作交于点．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．SAS，B．SSS，
C．SAS，D．SSS，
2．（2024·河北沧州·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
4．（2025·陕西汉中·一模）如图，四边形为平行四边形，对角线与相交于点O，E、F、G、H分别为边，，，的中点，连接，，，，四边形为菱形，若，则的长为（）
A．6B．5C．4D．3
5．（2025·陕西渭南·一模）如图，在菱形中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·山东日照·一模）如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点分别为的中点．若，则的长为 ．
7．（2025·山东临沂·一模）如图，为等边三角形，，在的圆周上，，为圆周上一动点，为的中点，当在圆周上运动时，的最小值为 ．
8．（2025·江苏淮安·一模）如图，四边形为平行四边形，点为延长线上一点且．连接、、．求证：
(1)四边形为平行四边形；
(2)当满足________条件时，四边形是矩形，并证明你的结论．
9．（2025·云南玉溪·一模）如图，在中，，，点D在上，过点D作交于点E，延长到点F，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
10．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，已知点B，C在线段上，，，．求证：四边形为平行四边形．
11．（2025·吉林长春·一模）如图，的两条中线相交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为，直接写出的面积为______．
12．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求的长．
13．（2025·重庆·一模）学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹）
(2)已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分．
求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
，①__________，
．
平分，平分，
，．
②__________，
③__________
，，
四边形是平行四边形．
实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④__________．
题型07
矩形的判定与性质
1．（2025·福建泉州·一模）一块截面为四边形的玉片，已测得两组对边分别平行，再测量得下列条件，仍不能判定这块玉片的截面为长方形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·福建三明·一模）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量是否有三个角是直角B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否互相垂直
3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在矩形中，，E为中点，连接．将沿翻折，使点B落在对角线上的点F处，且．连接，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
4．（2025·河北·一模）如图，已知在矩形中，，，点在边上，且，点为射线上一动点，连接，过点作于，交直线于．则有下列结论：
的正切值为时，的长为；
在点运动过程中，的最小值为；
当点在射线上运动时，的最小值为；
其中，正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．（2025·山东潍坊·一模）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形B．圆内接四边形的对角互补
C．一个凸多边形的内角中最多有三个锐角D．三角形的外心都在三角形的外部
6．（2025·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 ．
7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，，以点A为圆心、的长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为 ．
8．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，，E为边上一点．请用尺规作图法在四边形内部求作一点P，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法）
9．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，点分别在边上，且．
(1)求证：；
下面是小轩的证明过程：
证明：四边形是平行四边形，
．①
，
，②
在与中，
，
；
上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程．
(2)请添加一个条件___________，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由）
10．（2025·江苏扬州·一模）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
11．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，是中线，点是的中点，连结并延长至点，使，连结、．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)若，则与四边形的周长比为_______．
题型08
菱形的判定与性质
1．（2025·河南信阳·一模）已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽宿州·一模）已知四边形的对角线与交于点，．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
3．（2025·山东济南·一模）如图．以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点． 作射线交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于，两点．作直线，交，分别于点，． 若，， ，则的长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东济南·一模）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于两点；分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于，连接分别交于，两点，若，则的长为（ ）
A．6B．5C．4.5D．4
5．（2025·陕西咸阳·一模）如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 ．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，等边的边长为8，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上一动点，则的最小值是 ．
7．（2025·山东潍坊·一模）如图，将矩形沿对角线翻折，点C落在处，交于点E．过点作，交，分别于点P，F，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求线段的长．
8．（2025·山西吕梁·一模）如图，，平分，交于点E．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明．
9．（2025·福建龙岩·一模）如图，是半圆的圆心，直径．
(1)分别在半圆上的取点和点，顺次连接各点，构成以，，，为顶点的菱形，请用直尺和圆规求作符合要求的菱形；
(2)求（1）中菱形的面积．
10．（2025·云南昆明·一模）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连接并延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作于点，求的长．
11．（2025·山东临沂·一模）如图，已知线段，分别以端点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，分别连接，，，，．若点为的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．求证：．
12．（2025·山东淄博·一模）如图，，线段的垂直平分线交于点，分别交，于点，，连接，．
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)若如果，，，求四边形的面积．
题型09
正方形的判定与性质
1．（2025·安徽合肥·一模）在矩形中，，，，分别在边，，，上（不与顶点重合），顺次连接得到四边形．对于任意矩形，下面结论一定正确的有（ ）个
①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③存在无数个四边形是菱形；④至少存在一个四边形是正方形
A．B．C．D．
2．（2025·海南·一模）如图，在正方形中，，连接．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交的延长线于点，则的长为（ ）
A．3B．C．4D．
3．（2025·陕西汉中·一模）如图，正六边形与正方形的边长均为4，则正六边形与正方形的面积之差为 ．（结果保留根号）
4．（2025·山东菏泽·一模）如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由．
5．（2025·广东珠海·一模）如图，在中，，，点在线段上运动，绕点逆时针旋转得到线段，连接、、．
(1)求证：当时，四边形是正方形；
(2)若，为的外接圆，设的面积为．
①求的取值范围（结果保留）；
②连接，直线能否与相切，如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
6．（2025·山东聊城·一模）综合与实践
在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究．
动手操作：第一步，任意画出一个四边形．第二步，取四边形四条边的中点．第三步，顺次连接四个中点，得到一个新的四边形．（叫做中点四边形）根据以上操作，老师展示了四位同学的四个图形，并共同进行了探究，请你根据这四位同学作出的图形解决下列问题．
(1)通过作图、测量，猜想：中点四边形的形状与原四边形对角线的数量关系和位置关系有关．请你根据图形填写下表．
(2)请你根据图④写出已知、求证、证明．
7．（2025·甘肃·一模）如图1是东罗马鎏金银盘，这只鎏金银盘是舶来品，专家鉴定为东罗马帝国的产品．不过，它大约是一千五六百年前舶来的，现今落脚于甘肃省博物馆，成为众多馆藏文物中的“异类”——正是这个“异类”见证了千年前丝绸之路东西方贸易的繁荣．如图2，把它看作一个圆，点为圆心，点为上一点．
(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在图2中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和于点，，若的半径为，则的长为______________．
8．（2025·山东日照·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，点B，D的横坐标分别为m，n（），以线段为对角线作矩形，轴．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)如图2，若反比例函数的图象过点A．以点O为圆心，长为半径作．
① （用含m，n的代数式表示）；
②若，当与相切时，求k的值．如图，在正方形中，．
求证：
求证：四边形是平行四边形．
证明：垂直平分，
，又，
（①），
，
_____②______
，
四边形是平行四边形．
原四边形对角线关系
中点四边形形状
图形
不相等、不垂直
平行四边形
图①
图②
图③
图④
原四边形对角线关系
中点四边形形状
图形
不相等、不垂直
平行四边形
图①
不相等、垂直
矩形
图②
相等、不垂直
菱形
图③
相等、垂直
正方形
图④