【易错精编讲义】苏教版数学四年级下册：第13讲《三角形的概念及特征》知识梳理讲义+易错练习

第13讲 三角形的概念及特征（讲义）

（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）

1、三角形的定义。

三角形是由三条线段首尾相接围成的封闭图形，三角形有3条边、3个角和3个顶点。

2、三角形底和高。

从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

3、三角形高的画法。

（1） 把三角尺的一条直角边与指定的底边重合；

（2） 沿底边平移三角尺，直到三角尺的另一条直角边与该底边相对的顶点重合；

（3） 从该顶点起沿三角尺的另一条直角边向底边画一条虚线段，在垂足处标上直角符号，这条虚线段就是三角形的高。

4、三角形三边的关系。

三角形任意两边的长度的和大于第三边。

1、三角形是由3条线段围成的，而且3条线段必须是首尾相连的。

2、从三角形的一个顶点到对边的线段中，只有垂直线段才是高。

3、三角形有三个顶点，三条边，从任意一个顶点都可以作对边的垂直线段，因此三角形有三条高。

4、三角形任意两边之和一定大于第三边。

【易错一】添上一根长度是整厘米数的吸管，与图中的两根吸管首尾相接，围成一个三角形。添上的这根吸管最长是（    ）厘米。

A．11 B．12 C．10

【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。

【详解】8＋3＝11（厘米）

8－3＝5（厘米）

则这根吸管的长度小于11厘米，大于5厘米，最长的10厘米。

故答案为：C

【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。

【易错二】某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎了，如图，现在要到玻璃店配一块一模一样的玻璃，若只带一块，则应带(        )号去。

【分析】只要确定三角形的一条边和两个角，就能确定这个三角形的形状，据此即可解答。

【详解】①仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能确定三角形的形状；②仅保留了原三角形的部分边，不能确定三角形的形状；③不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，可以确定三角形的形状，所以应该拿这块。

所以，应带③号去。

【点睛】本题主要考查学生对三角形知识的掌握和灵活运用。

【易错三】张爷爷要给自家的菜地围上篱笆，下面围法中，（    ）的围法更牢固些。

A． B． C．

【分析】根据平行四边形容易变形，不稳定；三角形具有稳定性，不容易变形，即可解答。

【详解】A．围成的是平行四边形，容易变形，不牢固，不符合题意；

B．围成的是平行四边形，容易变形，不牢固，不符合题意；

C．围成的是三角形，不容易变形，最牢固，符合题意。

故答案为：C

【点睛】本题考查了三角形的稳定性的应用。

【易错四】一个三角形的两条边长度分别为5厘米和8厘米，这个三角形的周长最长是(        )厘米，最短为(        )厘米。（边长取整厘米数）

【分析】三角形三条边的总长度是这个三角形的周长，要使这个三角形的周长最长，则三角形第三条边的长度要最长；要使这个三角形的周长最短，则三角形第三条边的长度要最短；

三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此计算并填空即可。

【详解】5＋8＝13（厘米），8－5＝3（厘米）

3厘米＜第三边的长度＜13厘米

13－1＝12（厘米）

3＋1＝4（厘米）

5＋8＋12＝25（厘米）

5＋8＋4＝17（厘米）

即这个三角形的周长最长是25厘米，最短是17厘米。

【点睛】此题考查的是三角形的周长的计算，熟练掌握三角形三边的关系是解答此题的关键。

【易错五】熊要建一座漂亮的房子，请你帮它选择3根木料作为房子的三角架，并说明你选择的理由。

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”；据此解答。

【详解】第一种：可以选两根6米的和1根5米的，因为6＋5＞6，能够组成三角形；

第二种：可以选两根3米的和1根5米的，因为3＋3＞5，能够组成三角形；

第三种：可以选两根6米的和1根3米的，因为6＋3＞6，能够组成三角形；

答：选5米一根和3米的两根的木料作为房子的三角架，因为这样搭成的是等腰三角形更美观。（答案不唯一）

【点睛】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系。

【易错六】

（1）上面三幅图中，（    ）应用了三角形的稳定性。

（2）在三角板中，如果以它的AC边为高，那么对应的底是线段（    ）。

（3）你认为晓玲上学走哪条路最近？为什么？

【分析】（1）三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。据此可知，将篱笆设计成三角形，是应用了三角形的稳定性。

（2）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。据此解答即可。

（3）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间线段最短。据此解答即可。

【详解】（1）上面三幅图中，篱笆应用了三角形的稳定性。

（2）在三角板中，如果以它的AC边为高，那么对应的底是线段BC。

（3）我认为晓玲上学走中间这条路最近，因为两点间所有连线中线段最短。

【点睛】本题主要考查三角形的稳定性、三角形的高和两点之间线段最短等知识点。生活中还有很多利用三角形稳定性的例子，比如三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂和高压输电线的铁塔等。三角形的高的垂足所在的边即为底。

【易错七】建筑工人要做一个三角形的钢架，已经找到两根钢材，第一根长4米，第二根长6米，第三根钢材可能长多少米（长为整米数）？

【分析】三角形三条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，此题依此解答即可。

【详解】6－4＝2（米）

6＋4＝10（米）

2米＜第三根的长度＜10米

因此第三根钢材可能长3米、4米、5米、6米、7米、8米、9米。

答：第三根钢材可能长3米、4米、5米、6米、7米、8米、9米。

【点睛】熟练掌握三角形三条边之间的关系是解答本题的关键。

一、选择题

1．所有的三角形都有（    ）条高。

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图三角形ABC中，BC边上的高是（    ）。

A．线段BD B．线段AC C．线段AB

3．小明用三根小棒围成了一个三角形，这三根小棒的长度可能是（    ）。

A．3cm，3cm，6cm B．6cm，13cm，8cm C．7cm，2cm，4cm

4．数一数，图中共有（    ）个三角形。

A．4 B．5 C．6

5．明明和静静用下面的三根小棒分别摆了一个三角形，这两个三角形（    ）。

A．形状相同，大小不等 B．形状相同，大小相等

C．形状不同，大小相等 D．形状不同，大小不等

6．下面图（    ）用到了三角形的稳定性。

A． B．

C． D．

7．一个三角形两条边分别是13厘米和7厘米，第三条边可能是下面的（    ）厘米。

A．3 B．5 C．9 D．21

二、填空题

8．用三根木条钉成一个三角形，用力拉，这个三角形不会(        )，这是三角形的(        )性。

9．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的(        )性。

10．如图，一共有______个三角形。

11．明明不小心将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有数字①、②、③、④的四块），现要配一块与原来完全相同的三角形玻璃，应该带第(        )块到玻璃店去。（填序号）

12．画出下面三角形已知底边上的高。

（1）画三角形的高要用（    ），从一个顶点到它的（    ）作一条垂线，并标上（    ）。

（2）三角形（    ）条高，且底和高是（    ）的。

13．把一根长16厘米的铁丝剪成(        )厘米、(        )厘米、(        )厘米的三段就能围成一个三角形。

14．如图，小棒AB长15厘米，把它剪开围成一个三角形。第一次从C点剪开，其中AC长8厘米；第二次应选小棒(        )剪开。三根小棒分别长(        )厘米、(        )厘米、(        )厘米。（每段长取整厘米数）

15．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是3厘米和4厘米，另一条边最长可以是(        )厘米，最短可以是(        )厘米。

16．明明不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，如果他只能带其中的一块，他需要带去的是第(        )块。

三、作图题

17．画出下面三角形底边上的高。

18．画一画。

①在锐角三角形中，过点A作BC的平行线。

②画出三角形指定底边上的高。

四、解答题

19．说一说三角形有几条边，几个角，几个顶点。

（1）画一画：请你利用手中的三角板，画一个三角形。

（2）说一说：再跟同桌交流一下你是怎样画这个三角形的？

（3）判一判：那么这两个图形是三角形吗？为什么？

（4）看一看：三角形有几条边，几个角，几个顶点。

（5）议一议：什么样的图形叫三角形？

20．王老师用一根铁丝围成一个边长15厘米的正方形。如果用这根铁丝围成一个正三角形，这个正三角形的每条边长多少厘米？

21．把一根长15厘米的铁丝剪成三段（取整厘米数），围成一个三角形。可以怎样剪？请写出两种剪法。并选择其中一种，在图上表示出来。

（1）（    ）厘米、（    ）厘米、（    ）厘米；

（2）（    ）厘米、（    ）厘米、（    ）厘米。

（3）

22．如果三角形的两条边的长分别是6厘米和3厘米，那么第三条边的长可以是多少？（边长为整厘米数）

23．

（1）上面三幅图中，（    ）应用了三角形的稳定性。

（2）在三角板中，如果以它的AC边为高，那么对应的底是线段（    ）。

（3）你认为晓玲上学走哪条路最近？为什么？

24．某体育器材厂家生产篮球架。如下图所示，如果厂家想让篮球架更牢固，你会有什么建议？请先作图再说明。

（1）在“篮球架”上作图。

（2）这样设计的道理：_________________________。

25．在长度分别为3cm、4cm、5cm、6cm、7cm的五根小棒中，任取三根摆成三角形，你能摆出几种不同的三角形？

26．仔细观察下图，说一说图中一共有几个三角形？

参考答案

1．C

【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，三角形有三条边、三个顶点，每个三角形都有3条高，据此解答。

【详解】

分析可知，所有的三角形都有3条高。

故答案为：C

【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握高的意义，注意直角三角形的两条高在三角形上、钝角三角形的两条高在三角形外。

2．C

【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，依此选择。

【详解】三角形ABC中，BC边上的高是线段AB。

故答案为：C

【点睛】熟练掌握三角形的高及画法是解答此题的关键。

3．B

【分析】根据三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边；进行解答即可。

【详解】A．3cm，3cm，6cm：3＋3＝6，不符合要求。

B．6cm，13cm，8cm：6＋8＞13，13－6＜8，符合要求。

C．7cm，2cm，4cm：2＋4＜7，不符合要求。

故答案为：B

【点睛】熟悉三角形的三边关系，能够结合题意列出合理的不等式，是解答此题的关键。

4．C

【分析】单个的三角形有3个，由2个三角形组成的大三角形有2个，由3个三角形组成的大三角形有1个，依此计算出三角形的总个数即可。

【详解】3＋2＋1＝6（个），即图中共有6个三角形。

故答案为：C

【点睛】熟练掌握三角形的特点是解答本题的关键。

5．B

【分析】三角形的三边长度确定了，三角形的形状和大小就确定了，三角形具有稳定性。

【详解】根据分析可知：这两个三角形形状相同，大小相等。

故答案为：B

【点睛】熟悉三角形具有稳定性的特征是解答此题的关键。

6．C

【分析】三角形具有稳定性，不易变形的特点，生活中很多设计都是运用这一特性设计的，据此解答。

【详解】用由分析可得：到了三角形的稳定性，其它选项中的设计都应用到了平行四边形的不稳定性。

故答案为：C

【点睛】本题考查了三角形具有稳定性的应用。

7．C

【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此即可解答。

【详解】13＋7＝20（厘米）

13－7＝6（厘米）

6＜第三边＜20，选项中符合条件的只有9厘米。

故答案为：C

【点睛】熟练掌握三角形三边之间的关系是解答本题的关键。

8．     变形     稳定

【详解】用三根木条钉成一个三角形，用力拉，这个三角形不会变形，这是三角形的稳定性，房屋梁做成三角形、摄影师用的三角支架、自行车的三角架都利用了三角形的稳定性。

9．稳定

【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性，进行解答即可。

【详解】对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的稳定性。

【点睛】此题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的运用。

10．6

【分析】数出组合图形中三角形的总数，只含3个节点的三角形有3个，含5个节点的三角形有3个，据此解答即可。

【详解】（个）

故一共有6个三角形。

【点睛】此题的解题关键是根据三角形的特征数出三角形的个数，注意不要遗漏。

11．①

【分析】只要确定三角形的一条边和两个角的度数，就能确定这个三角形的形状，据此即可解答。

【详解】④仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能确定三角形的形状；②③仅保留了原三角形的部分边，不能确定三角形的形状；①不但保留了原三角形的两个角，还保留了其中一个边，可以确定三角形的形状，所以应该拿这块。

【点睛】判断出哪一块能确定三角形的形状是解答本题的关键。

12．图见详解

（1）虚线，对边，垂足；

（2）3，互相对应

【分析】三角形有三条边，所以对应有三个底，也就有三条高，从三角形的一个顶点向它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，注意高要用虚线画，且要标明垂足，三角形的的和高是互相对应的，据此解答。

【详解】如下图：

（1）画三角形的高要用（虚线），从一个顶点到它的（对边）作一条垂线，并标上（垂足）。

（2）三角形（3）条高，且底和高是（互相对应）的。

【点睛】本题考查三角形的高的画法，熟练掌握并灵活运用。

13．     7     5     4

【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此可知，这个三角形的周长是16厘米，最长的一条边应小于周长的一半，即小于8厘米。可以是7厘米，剩下两条边的长度和是9厘米，可以是5厘米和4厘米。据此解答。

【详解】16÷2－1

＝8－1

＝7（厘米）

16－7＝9（厘米）

5＋4＝9（厘米）

这三条边可以是7厘米、5厘米和4厘米。即把一根长16厘米的铁丝剪成7厘米、5厘米、4厘米的三段就能围成一个三角形。

（答案不唯一）

【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是明确最长的边应小于8厘米。

14．     AC     4     4     7

【分析】能组成三角形，三条边必须要符合三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。

已知AB长15厘米，AC长8厘米，那么BC长7厘米，如果选BC剪开，因为7＜8，不符合三角形的三边关系，所以要选AC剪开，把8分成两个整数即可得解。

据此解答。

【详解】BC：15－8＝7（厘米）

8＞7，所以第二次应选小棒AC剪开。

8＝4＋4

三根小棒分别长4厘米、4厘米、7厘米。（答案不唯一）

【点睛】本题考查三角形的三边关系的应用。

15．     6     2

【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。

【详解】3＋4＝7（厘米）

4－3＝1（厘米）

则另一条边的长度比7厘米短，比1厘米长。最长可以是6厘米，最短可以是2厘米。

【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。

16．③

【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案。

第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，延长两条边，不能确定边长，不能带第①块去。

第②块，仅保留了原三角形的一部分边，延长两条边，一边能相交，另一边不能确定边长，不能带第②块去。

第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了部分边，延长两条边，能相交，能确定边长，能确定原来三角形，所以应该拿这块去。

【详解】明明不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，如果他只能带其中的一块，他需要带去的是第（③）块。

【点睛】想到通过延长边长确定原来的三角形是解答此题的关键。

17．见详解

【分析】从三角形底边相对的顶点作底边上的垂线段即为底边上的高，据此画图即可解答。

【详解】

【点睛】熟练掌握三角形高的画法是解答本题的关键。

18．①见详解②见详解

【分析】①把直角三角尺的一条直角边与线段BC重合，使得点A在另一条直角边上，将直尺与三角尺的这一条直角边重合，沿着另一条直角边过点A作直线即为所求平行线。

②把直角三角尺的一条直角边与线段AC重合，使得点B在另一条直角边上，沿着这条直角边过点B向线段AC作线段即为底边AC上的高。

【详解】①

②

【点睛】考查学生作垂线段与平行线的方法，作图时借助三角尺与直尺。

19．（1）见详解；

（2）在平面上任意画三个点（这三个点不在同一条直线上），用线段把每两个点连接起来就围成了一个三角形；

（3）不是，第一个图形不是封闭的图形；第二个图形没有首尾相接，所以它们不是三角形；

（4）三角形有3条边，3个角，3个顶点；

（5）由平面上不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

【分析】由平面上不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形；三角形有三条边，三个顶点，三个角；在平面上任意画三个点（这三个点不在同一条直线上），用线段把每两个点连接起来就围成了一个三角形，据此解答。

【详解】（1）如下图：

（2）在平面上任意画三个点（这三个点不在同一条直线上），用线段把每两个点连接起来就围成了一个三角形；

（3）不是，第一个图形不是封闭的图形，第二个图形没有首尾相接，所以它们不是三角形；

（4）三角形有3条边，3个角，3个顶点；

（5）由平面上不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

【点睛】本题考查三角形的特征以及如何画三角形，熟练掌握并灵活运用。

20．20厘米

【分析】等边三角形也叫正三角形。根据题意，先利用正方形的边长×4求出正方形的周长，也是等边三角形的周长，等边三角形的三条边相等，利用周长除以3即可。据此解答。

【详解】15×4÷3

＝60÷3

＝20（厘米）

答：这个正三角形的每条边长20厘米。

【点睛】本题考查了等边三角形的特征及周长的应用。牢记正方形周长计算公式和等边三角形三边关系是解决此题的关键。

21．（1）2；6；5；

（2）3；6；6；

（3）见详解

【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差一定小于第三边；进行解答即可。

【详解】（1）2＋6＋7＝15（厘米）

2＋6＞7

可以剪成2厘米、6厘米和7厘米长的三段。（答案不唯一）

（2）3＋6＋6＝15（厘米）

3＋6＞6

可以剪成3厘米、6厘米和6厘米长的三段。（答案不唯一）

（3）可以剪成2厘米、6厘米和7厘米长的三段，画图如下：

【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用。

22．8厘米、7厘米、6厘米、5厘米、4厘米

【分析】三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，此题依此计算并解答即可。

【详解】6厘米＋3厘米＝9厘米，6厘米－3厘米＝3厘米，

3厘米＜第三边的长度＜9厘米，因此第三条边的长可以是8厘米、7厘米、6厘米、5厘米、4厘米。

答：第三条边的长可以是8厘米、7厘米、6厘米、5厘米、4厘米。

【点睛】熟练掌握三角形三条边之间的关系是解答本题的关键。

23．（1）篱笆

（2）BC

（3）见详解

【分析】（1）三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。据此可知，将篱笆设计成三角形，是应用了三角形的稳定性。

（2）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。据此解答即可。

（3）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间线段最短。据此解答即可。

【详解】（1）上面三幅图中，篱笆应用了三角形的稳定性。

（2）在三角板中，如果以它的AC边为高，那么对应的底是线段BC。

（3）我认为晓玲上学走中间这条路最近，因为两点间所有连线中线段最短。

【点睛】本题主要考查三角形的稳定性、三角形的高和两点之间线段最短等知识点。生活中还有很多利用三角形稳定性的例子，比如三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂和高压输电线的铁塔等。三角形的高的垂足所在的边即为底。

24．（1）图见详解过程

（2）三角形具有稳定性

【分析】（1）要使篮球架更为牢固，则在篮球架上做一个三角形结构，据此作图即可；

（2）根据三角形具有稳定性，解答此题即可。

【详解】（1）如图所示：

（2）这样设计的道理：三角形具有稳定性。

【点睛】熟练掌握三角形的特性，是解答此题的关键。

25．9种

【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。

【详解】其中的任意三条组合有：

3cm、4cm、5cm；

3cm、4cm、6cm；

3cm、5cm、6cm；

3cm、5cm、7cm；

3cm、6cm、7cm；

4cm、5cm、6cm；

4cm、5cm、7cm；

4cm、6cm、7cm；

5cm、6cm、7cm；

所以任取三根摆成三角形，能摆出9种不同的三角形。

【点睛】此题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形。

26．15个

【分析】一个三角形地数有5个，两个三角形组成一个三角形有4个，三个三角形组成一个三角形有3个，四个三角形组成一个三角形有2个，五个三角形组成一个三角形有1个。

【详解】5＋4＋3＋2＋1

＝9＋3＋2＋1

＝12＋2＋1

＝14＋1

＝15（个）

答：图中一共有15个三角形。

【点睛】考查了组合图形中三角形的计数，注意按照一定的顺序数，做到不重复不遗漏。