小学北京版三角形课时训练

这是一份小学北京版三角形课时训练，共12页。试卷主要包含了知识点梳理，易错辨析，概念比较，比较角的大小，平行线中的角平分线，三角形中线求面积，角平分线与高的夹角问题等内容，欢迎下载使用。

知识点1 三角形的边和角
一、知识点梳理
1.三角形的定义与元素
三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。它有三个顶点、三条边和三个角。
2.三角形的分类
按边分，三角形可分为等边三角形（三条边相等）、等腰三角形（两条边相等）和普通三角形（三条边都不相等）。按角分，三角形可分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）和钝角三角形（有一个角是钝角）。
3.三角形的三边关系
对于任意一个三角形，其三边长度a、b、c满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。特殊地，等边三角形的三边相等，等腰三角形的两边相等，直角三角形满足勾股定理，即a²+b²=c²（其中c为斜边）。
4.三角形的角度关系
三角形的三个内角的和等于180°。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。特殊地，等边三角形的三个内角均为60°，等腰三角形的两个底角相等，直角三角形的两个锐角互余。
二、易错辨析
1.三角形的三边关系判断
在判断三条线段能否构成三角形时，只需判断两条短边的和是否大于第三边。如果大于第三边，则可以构成三角形。
2.三角形的高的画法
三角形每条边上仅有一条高，画高时要用虚线，并标出直角符号。锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条直角边互为底和高，钝角三角形有一条高在三角形内部，两条高在三角形外部。
3.等腰三角形的性质
等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等。但等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，不能仅凭等腰就判断其角度类型。
三、概念比较
1.等边三角形与等腰三角形
等边三角形是三条边都相等的三角形，也是等腰三角形的一种特例。等腰三角形是两条边相等的三角形，但不一定三条边都相等。
2.直角三角形的勾股定理与普通三角形的三边关系
直角三角形满足勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。而普通三角形的三边关系则是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
知识点2 三角形的中线、角平分线、高
一、概念比较
1.三角形中线：连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段。一个三角形有三条中线，这三条中线都在三角形的内部，并交于一点，称为三角形的重心。每条中线将三角形分为面积相等的两个子三角形。
2.三角形角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段。三角形的角平分线是线段，而非射线。一个三角形有三条角平分线，它们的交点称为三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。
3.三角形高：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。一个三角形有三条高，它们可能位于三角形内部（锐角三角形）、三角形上（直角三角形）或三角形外部（钝角三角形）。
二、易错辨析
1.角平分线与三角形的角平分线：角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是线段。在解题时，需明确区分这两个概念。
2.三角形的中线与高：中线是连接顶点和边中点的线段，而高是从顶点向对边作垂线得到的线段。在绘制和识别时，注意它们的方向和位置。
3.钝角三角形的高：钝角三角形的高可能位于三角形外部，这是初学者容易忽视的地方。在作图和分析时，需特别注意。
三、重点记忆
1.三角形的三条中线交于一点，称为重心。重心将每条中线分为两段，其中较长段是较短段的两倍（在直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边的一半）。
2.三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。
3.三角形的高是从一个顶点向对边作垂线得到的线段。在锐角三角形中，所有高都在三角形内部；在直角三角形中，有两条高与直角边重合，另一条高是斜边上的高；在钝角三角形中，有两条高在三角形外部。
掌握这些知识点，有助于更好地理解三角形的性质和解决相关问题。
考点一、组成三角形的条件
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．3，4，8C．4，5，6D．5，5，11
2．在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ）
A．3，4，7B．6，8，15C．5，12，13D．5，5，11
考点二、比较边的大小
1．如图，已知平面上三点．
(1)请画出图形
①画直线；．
②画射线；
③画线段；
(2)比较线段 线段（填“”“” “=”号），根据是 ．
2．如图，点P是△ABC内一点，比较BP+CP与AB+AC的大小．
3．如图，在平面内有不共线的三个点．

(1)按下列要求作图：
分别作直线、射线，连接．
(2)思考：在线段上任取一点（不与点重合），连接．
①若分别是线段和的中点．则线段的长为______；
②比较与的大小，并说明理由．
考点三、画三角形的中线、角平分线、高
1．按要求画图，并描述所作线段．
(1)过点A画三角形的高线；
(2)过点B画三角形的中线．
2．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形．
(1)将向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到；（的对应点分别为A、B、C）
(2)线段与的关系 ；
(3)画边上的中线和高线．（利用网格点和直尺画图）
3．如图，△ABC，按要求完成下列各题：
①画△ABC的中线CD；
②画△ABC的角平分线AE；
③画△ABC的高BF；
④画出把△ABC沿射线BF方向平移3cm后得到的△A1B1C1 ．
考点四、比较角的大小
1．如图①，试比较的大小；如图②，试比较的大小．

2．如图，点在射线上，比较，和的大小关系，并证明你的结论．
3．如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于，试比较和的大小．

考点五、平行线中的角平分线
1．如图，与相交于点E， ，．
(1)若，求的度数；
(2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分．
2．如图，在中，，垂足为D，点E在的延长线上，，垂足为F，与相交于点G，．求证：平分．
3．如图，已知，平分，试说明：．
考点六、三角形中线求面积
1．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积．
2．如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为18，的面积为3，求四边形的面积．
3．如图，在中，为边上的中线．
(1)若的面积为4，则的面积为______；
(2)若，比的周长多2，则______．
考点七、角平分线与高的夹角问题
1.如图，在中，，于，平分
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
2.如图，在中，是边上的高，平分的平分线，若，，求的度数．
3．如图，在中，平分，，若，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
知识导图记忆
1．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对B．乙对C．甲、乙均对D．甲、乙均不对
2．以下列各组数为边，能组成三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，是的中线，是上的一点，连接，．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．4C．3D．
6．开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可）
7．用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ．
8．如图，在中，是边上的中线，的面积是，则的面积为 ．
9．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 .
10．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ．
11．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边．
12．观察图形．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来；
(2)写出的边、顶点及三个内角；
(3)以为内角的三角形有哪些？
(4)以AB为边的三角形有哪些？
13．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长．
14．如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空．
(1)画出的边上的高；
(2)过点D画，直线交边于点F；
(3)点A到直线的距离是线段________的长度；
(4)写出图形中面积相等的两个三角形：________．
15．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
教材习题01
1．如图，点D是的边上任意一点，求证：．

教材习题02
如图，已知△ABC．
(1)画角平分线BD；
(2)画中线CE；
(3)画高AD．
教材习题03
阅读下列材料，并完成相应的任务.
基本性质：三角形中线等分三角形的面积.
如图，是的边上的中线，
则
理由：过点作于点
∵是的边上的中线.
∴又∵，
∴
∴三角形中线等分三角形的面积.
任务：
（1）如图，延长的边到点，使，连接，则和的数量关系为_________.
（2）如图，点是的边上任意一点，点分别是线段，的中点，且的面积为，请同学们借助上述结论求的面积.