(人教A版数学必修二)2025春季学期讲义第39讲拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题(学生版+解析)

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第16讲 拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题 题型01点到平面距离（定值） 【典例1】（2024上·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）在直三棱柱中，，则点到平面的距离为 . 【典例3】（2022·重庆·统考模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为 【典例4】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为棱的中点． (1)证明：平面；(2)求点到平面的距离． 【变式1】（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）如图，已知长方体中，棱，，为中点，则点到平面的距离是 . 【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图1，已知直角梯形中，，，，M为CF的中点，将沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分别为AF，DM，DE，AE的中点，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1．    (1)求证：； (2)若点是线段AD上靠近的四等分点，，求点到平面的距离． 题型02点到平面距离（最值或范围） 【典例1】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ． 【典例2】（2021下·上海松江·高二上海市松江二中校考阶段练习）如图，已知四面体ABCD中，DA=DB=a，DC=b，，. （1）用a，b表示四面体ABCD的体积； （2）若a=2b，求二面角D-AB-C的大小（用反三角函数表示）； （3）若a+b=1，求点D到平面ABC距离的最大值. . 【变式1】（2020·山东·统考模拟预测）如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为 ，点到直线的距离的最大值为 . 【变式2】（2022下·福建泉州·高一福建省晋江市养正中学校联考期末）如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为 . 题型03求异面直线所成角（定值） 【典例1】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【变式1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），M，N分别为，的中点，若平面，当取得最小值时，异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 题型04异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（2023·山东·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023下·福建漳州·高一统考期末）如图，正方体中，，点分别为棱上的点（不与端点重合），且.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)点在平面内运动（含边界），当时，求直线与直线所成角的余弦值的最大值. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2023上·安徽黄山·高二统考期末）三棱台中，底面，，，，若是边的中点，点在侧面内，则直线与直线的夹角的余弦值可能是（    ） A． B． C． D． 题型05根据异面直线所成角求参数 【典例1】（2023·全国·模拟预测）在四面体中，平面，平面，，且异面直线与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023上·上海普陀·高二校考期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【典例3】（2023下·广东广州·高一校联考期末）在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为 ． 【变式1】（多选）（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（    ） A． B． C．5 D． 【变式2】（2023上·上海嘉定·高二校考期中）空间四边形ABCD中，，直线AD与BC所成角大小为60°，分别是的中点，则 ． 【变式3】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面． (1)求证：平面； (2)若直线与所成的角大小为，求的长． 题型06求线面角定值 【典例1】（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ． 【典例2】（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）已知P，A，B，C四点不共面，若，直线与平面所成的角为，则 . 【典例3】（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第十一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 ． 【变式1】（2024上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角的大小为 . 【变式2】（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）如图，在长方体中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为 .    【变式3】（2023上·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）已知等腰直角的斜边在平面内，与所成角为，是斜边上的高，则与平面所成角的正弦值为 . 题型07求线面角（最值或范围） 【典例1】（2023上·山东潍坊·高二统考阶段练习）如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（    ） A．3 B． C． D． 【典例3】（2023·河北石家庄·统考一模）长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是 . 【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则直线与平面所成的角正切值的最小值是（    ） A． B． C． D．              图（1）                          图（2） 【变式2】（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 . 【变式3】（2023·河南·模拟预测）三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面的距离为7，，.记与平面所成的角为，则的取值范围为 . 题型08根据线面角求参数 【典例1】（2024·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【典例2】（2023下·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（ ） A．224 B．448 C． D．147 【典例3】（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且，若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是 .    【变式1】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面， A． B． C． D． 【典例3】（2023下·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023上·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024上·北京房山·高二统考期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ；平面与平面夹角的余弦值为 ． 【变式3】（2024上·安徽合肥·高二合肥一中校考阶段练习）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 . 题型10求二面角（最值或范围） 【典例1】（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023上·浙江温州·高二浙江省平阳中学校联考期中）如图，三角形中，，，为中点，为上的动点，将沿翻折到位置，使点在平面上的射影落在线段上，则当变化时，二面角的余弦值的最小值是 .    【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，则在翻折过程中，二面角的大小为，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023上·福建泉州·高二期末）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 题型11根据二面角求参数 【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .    【典例3】（2023上·北京房山·高二北师大良乡附中校考阶段练习）、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成的二面角（如图），则的正切值为 【典例4】（2023上·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知为等腰直角三角形，是斜边且长度为，是等边三角形，若二面角大小为，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·上海·高二专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 . 【变式3】（2023下·福建·高一福建师大附中校考期末）在矩形ABCD中，，沿AC将折起，当二面角为直二面角时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 . 【变式4】（2023下·重庆·高一统考期末）在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则 ．    第16讲 拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题 题型01点到平面距离（定值） 【典例1】（2024上·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知当平面平面时四面体的体积最大时， 因为为正三角形，，， 所以， 则， 当平面平面时， 取线段中点，则点为直角三角形的外心， 连接，则易知平面， 所以四面体外接球球心在上， 因为为正三角形， 所以四面体外接球球心即为的中心， 则， 设点到面的距离为，点到面的距离为， 由得， 因为边长为2，所以， ， 中，， 所以， 则， 所以点到面的距离为. 故选：C 【典例2】（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）在直三棱柱中，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】因为，所以，又三棱柱为直棱柱，所以平面，又平面， 所以平面平面，又平面平面 平面，所以平面， 易得, 在△中由余弦定理：得，故， 于是， 由棱柱性质得，平面，平面，所以平面，点到平面的距离即点到平面的距离，设为d 因为，所以,解得 故答案为： 【典例3】（2022·重庆·统考模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为 【答案】 【详解】令三棱锥外接球球心为O，正所在平面截球面所得小圆圆心为，连接，如图， 则平面ABC，而正边长为2，即有， 因平面ABC，则三棱锥外接球球心为O在过线段PA中点，且垂直于线段PA的平面内， 显然过线段PA中点垂直于线段PA的平面与平面ABC平行，则， 于是得球O的半径， 取PB中点，AB中点D，连接， 因是直角三角形，则是平面PAB截球O所得截面小圆圆心，因此，平面PAB， 而，，则平面ABC，必有，，于是得四边形是平行四边形，， 由球面的性质知，点Q是经过点的球面直径端点且球心在点与Q之间时，点Q到平面PAB的距离最大， 此最大距离为， 所以点Q到平面PAB的距离的最大值为. 【典例4】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面平面，平面平面，，平面 平面， 平面， ， 又平面， 平面， 又分别为棱的中点， 平面． （2）分别为棱的中点，， ， 又． 由第（1）问得平面，平面， ，， 平面， ． 平面， ． 设点到平面的距离为， 则， 解得， 所以点到平面的距离为． 【变式1】（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）如图，已知长方体中，棱，，为中点，则点到平面的距离是 . 【答案】/ 【详解】设点到平面的距离为， 因为，，为中点， 所以，所以为等边三角形， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 故答案为：. 【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图1，已知直角梯形中，，，，M为CF的中点，将沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分别为AF，DM，DE，AE的中点，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） Q，H分别是DM，DE的中点，， 平面，平面，平面． 如图，连接PN， N，P分别是AF，AE的中点，，． 易知，， ∵Q是DM的中点，，， ，，四边形QMNP为平行四边形， ． 不在平面，平面，平面． ，平面PQH， 平面平面PQH． （2） 如图，取ME的中点O，连接OQ，OH，PO，PD， 易知四边形DEFM是边长为2的正方形，， 平面平面DEFM，平面平面， 平面DEFM， P是AE的中点， ，，平面DEFM． Q，H分别为DM，DE的中点， ，，． 在中，， 在中，， 是边长为的正三角形， ，． 设点D到平面PQH的距离为d， ， ，， 点D到平面PQH的距离为． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1．    (1)求证：； (2)若点是线段AD上靠近的四等分点，，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）如图，过点作于点，连接. 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 因为 又∵四边形是菱形，是等边三角形，所以， 所以，故为的中点. 因为平面，所以平面， 又平面，所以. （2）由题意可得：. 连接，， 由（1）得：，平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在中，， 所以，故， 在中，， 所以. 所以， . 设点到平面的距离为，则， 得. 所以点到平面的距离为. 题型02点到平面距离（最值或范围） 【典例1】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ． 【答案】 【详解】由于，故点在以为球心，半径为的球面上， 设到平面的距离为，则由等体积法可得, 而,所以, 故， 因此点到平面的距离的最大值为， 故答案为： 【典例2】（2021下·上海松江·高二上海市松江二中校考阶段练习）如图，已知四面体ABCD中，DA=DB=a，DC=b，，. （1）用a，b表示四面体ABCD的体积； （2）若a=2b，求二面角D-AB-C的大小（用反三角函数表示）； （3）若a+b=1，求点D到平面ABC距离的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）该四面体可看作以为底面，以为高的三棱锥，DA=DB=a， ，所以为等边三角形，， 所以. （2）取的中点，连接 则，因为，且DA=DB，所以，则，所以，则为二面角D-AB-C 的平面角. 因为，即，，，所以平面，即，又，，所以，所以，即二面角D-AB-C的大小为. . （3）三棱锥可看作以为底面，以为高的三棱锥，也可看作以为底面，为顶点的三棱锥，设到底面的距离为，则有. 由（2）可知，为等腰三角形，，则；即 ，解得：，令 当且仅当时等号成立， 所以 【变式1】（2020·山东·统考模拟预测）如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为 ，点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【详解】边长为，则中线长为， 点到平面的距离为， 点是以为直径的球面上的点， 所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离， 最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径. 又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4， 以下求过和的两个平行平面间距离， 分别取中点，连， 则，同理， 分别过做， 直线确定平面，直线确定平面， 则，同理， 为所求，， ， 所以到直线最大距离为. 故答案为:；. 【变式2】（2022下·福建泉州·高一福建省晋江市养正中学校联考期末）如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为 . 【答案】 【详解】绕旋转一周得到的几何体是圆锥，故点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像如下图所示，根据图像作法可知，当位于圆心的正下方点位置时，到平面 的距离最大.在平面内，过作，交于.在中，,.所以①.其中，，所以①可化为. 故答案为： 题型03求异面直线所成角（定值） 【典例1】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线与所成角为或其补角， 又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱， 所以， 所以， 故选：A. 【典例2】（2024·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图,取的中点,取的中点,连接 则,且,,则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面,所以平面,所以. 因为,,所以, 所以由勾股定理得, 又,, 所以在△中,由余弦定理得, 故异面直线与所成角的余弦值为． 故选:A． 【典例3】（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【详解】如图，取的中点，连接， 则，则，可知或其补角为异面直线与所成的角．    因为，即为等边三角形， 不妨取，连接，则， 过点作于点，则，可得， 连接，则， 过点作，垂足为，连接，则， 所以，则， 又，所以， 故异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 【变式1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方体棱长为2，连接，如图， 因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 在直角三角形中，， 故选：D 【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），M，N分别为，的中点，若平面，当取得最小值时，异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取的中点的中点，连接，，，所以, 又M，N分别为，的中点，所以， 故，平面,所以平面， 又,所以四边形为平行四边形，故， 平面,平面， 又，平面，，故平面平面， 所以当平面时，平面，则点在线段上， 当时，取得最小值，易知， 则此时为线段的中点．（等腰三角形中三线合一） 由可得，所以为异面直线与所成的角， 且由平面几何知识可知，，，， ． 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D． 【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】设平面平面，因为平面，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，， 因为平面平面，且平面平面， 同理可证，异面直线与所成的角即所成的 在正四棱柱中，底面是正方形，且， ，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 题型04异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（2023·山东·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，，， 在△ABC中，由余弦定理，得， 由正弦定理，得，∴. ∵，，， 在△BCD中，由余弦定理，得, ∴ ， 当，即时，取得最大值，即BD的最大值为. 过做交于， 设直线与所成角为， 又因为， 由此可知越大，直线与所成角的余弦值越大； 当平面与平面垂直时，直线与垂直，，即此时所成角的余弦值最小值0， 当与 共面，即将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中的初始和结束状态时，余弦值最大， ,解得： ，，所以 此时直线与所成角余弦值 综上所述，直线与所成角的余弦值的取值范围是, 故选：B. 【典例2】（2023下·福建漳州·高一统考期末）如图，正方体中，，点分别为棱上的点（不与端点重合），且.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)点在平面内运动（含边界），当时，求直线与直线所成角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为正方体，所以， 又因为， 所以≌，所以， 所以，即. 又因为平面，且平面，所以. 又因为，平面， 所以平面. （2）设，其中，则， 所以，当且仅当取等号. 因为三棱锥的高， 所以三棱锥的体积的最大值为. （3）因为平面平面，所以， 在正方形中，， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，点在平面内运动（含边界），且平面平面， 所以点，所以点的轨迹为线段， 把原正方体扩展成长方体，连结，    依题意∥，则为直线与直线所成的角， 设， 则， 所以 且在上为减函数. 所以当时，即与重合， 直线与直线所成的角的余弦值的最大值为. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取中点，连接，， ，， ， ， 为正三角形， 取中点，连接， 则，且， 易知平面， ，平面， ，在图中圆上， 当与，重合时，最大， 当与，重合时，最小． 故选：A. 【变式2】（多选）（2023上·安徽黄山·高二统考期末）三棱台中，底面，，，，若是边的中点，点在侧面内，则直线与直线的夹角的余弦值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】如图，分别取的中点，连接， 取的中点，连接， 由三棱台的性质知，，则四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 又为的中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为为的中点，所以，， 故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角， 要判断直线与AP夹角的余弦值的可能值，则需求其范围， 要使直线与AP夹角的余弦值最大，则需直线与AP夹角最小，即直线与AP夹角的正弦值最小，故需点到AP的距离最小， 又点P在侧面内，则点到AP的距离最小时，为点到面的距离， 因为底面，，所以底面， 设点到面的距离为，利用等体积法知， 即，即，, 在直角中，，， 又在中，，， ， ，又， 设直线与AP夹角的最小值为，则， 此时，即直线与AP夹角的余弦值最大值为， 又当点与点重合时，易得为直线与AP夹角， 易得，则为正三角形， 所以，则， 综上：直线与AP夹角的余弦值最大值为，同时至少要大于或等于， 从而选项ABC都满足要求，选项D不满足. 故选：ABC. 题型05根据异面直线所成角求参数 【典例1】（2023·全国·模拟预测）在四面体中，平面，平面，，且异面直线与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，将四面体放在一个长方体中，设， 因为，所以即， 因为，所以异面直线与的夹角为， 在，即， 联立 解得， 所以 设， ， 所以，的最大值为. 故选：B 【典例2】（2023上·上海普陀·高二校考期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【答案】或 【详解】取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，，且，. 又异面直线所成角的大小为， 所以，或. 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，； 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，. 综上所述，或. 故答案为：或. 【典例3】（2023下·广东广州·高一校联考期末）在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为 ． 【答案】/ 【详解】取的中点，连接，如图，    因为是的中点，则，于是是异面直线与所成的角或其补角， 令，而两两互相垂直，则，， 在等腰中，，，解得， 显然平面，所以四面体的体积为. 故答案为： 【变式1】（多选）（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】BD 【详解】   取中点，连接，， 因为，分别为，的中点，，， 所以，，，， 所以异面直线与所成角与直线和所成角相等，即或， 当时，根据余弦定理得，，解得； 当时，根据余弦定理得，，解得. 故答案为：BD. 【变式2】（2023上·上海嘉定·高二校考期中）空间四边形ABCD中，，直线AD与BC所成角大小为60°，分别是的中点，则 ． 【答案】或. 【详解】取的中点为，分别连接 因为分别是的中点，所以 故为直线与所成的角或其补角, 所以或者， 在中， 所以当时，,当时， 故或 故答案为：或. 【变式3】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面． (1)求证：平面； (2)若直线与所成的角大小为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1） 平面，平面， ， 又底面为正方形，则 且，平面， 平面． （2）平面， ，为锐角， 又 ， 为直线与所成的角， ，在中，， ， 在中，，，于是． 题型06求线面角定值 【典例1】（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ． 【答案】/ 【详解】因为，D分别是，BC的中点，所以， 所以平面，平面，所以平面， 平面，平面平面， 所以，，所以， 所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角， 因为为直径，所以，因为，即， 又因为平面， 平面，所以，平面， 所以平面，过点作交于点， 因为平面，所以，， ，平面，所以平面， 所以为交线l与平面所成角， 因为，， . 所以，结合图知. 故答案为：. 【典例2】（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）已知P，A，B，C四点不共面，若，直线与平面所成的角为，则 . 【答案】/ 【详解】    在上任取一点D并作平面，连接，则就是直线与平面所成的角. 过点O作，，连接，. ∵平面，平面，所以， 因为面，面， 所以面，面， 又面，面， 则，. 所以，∴，∴. ∵， ∴点O在的平分线上，即. 设，∵，∴. 在直角中，，，则. 在直角中，，，则， 即直线与平面所成角的余弦值是. 故答案为：. 【典例3】（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第十一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 ． 【答案】 【详解】因为底面，底面，所以， 由，所以， 又因为，且平面，所以平面， 且平面，则， 设，取的中点，连接，， 因为，可得， 且，平面，所以平面， 则即为与平面所成的角， 由，可得，所以， 在直角中，， 所以与平面所成的角的正切值为. 故答案为：. 【变式1】（2024上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角的大小为 . 【答案】 【详解】如下图    取的中点，连接，， ∵是等边三角形，，∴，， ∵是正三棱柱， ∴平面，又∵平面， ∴， 又∵，平面，平面， ∴平面，又∵平面，平面， ∴，是与侧面所成的角. ∵，， ∴在中，， 又∵，∴， 即与侧面所成的角是. 故答案为：. 【变式2】（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）如图，在长方体中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为 .    【答案】 【详解】   过点作于点，连接，， 因为为长方体，所以平面平面， 因为，平面平面，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， ，，， . 故答案为：. 【变式3】（2023上·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）已知等腰直角的斜边在平面内，与所成角为，是斜边上的高，则与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】如图所示，过作于，连接， 则为与平面所成角，同理分别是与平面所成的角， 又平面，则， 由题意可得，设，则有， 在中，. 故答案为：. 题型07求线面角（最值或范围） 【典例1】（2023上·山东潍坊·高二统考阶段练习）如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，， 故四边形为正方形，且，， 又由点关于折叠而来，故，且， 又、平面，且， 故平面，过点作于点， 由、，故，又平面， 故平面，连接，则为与平面所成角， 由平面，故， 故与平面所成角的正切值即为， 由，，， 故与全等，故， ， 过点作于点，则有， 设，则， 当点在线段上（可在点，不可在点）时，则， 有， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 故， 当点在线段上（不在两端）时，， 则， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 此时， 综上所述，， 即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为. 故选：D. 【典例2】（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同， 且取底面的外心为，连接，且取其中点为，连接如下所示： 因为三棱锥外接球的表面积为，设外接球半径为，则，解得； 对直三棱柱，其外接球球心在的中点处，也即， 故在中，因为，设外接圆半径为， 则，解得； 在中，因为，且，故可得，即， 再由正弦定理可得，则，又为锐角，故； 则，即是以为顶角的等腰三角形； 因为平面，故与平面的夹角即为，则， 又的最小值即为边上的高线，设其长度为，则. 故当最大时，为，即直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为. 故选：B. 【典例3】（2023·河北石家庄·统考一模）长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是 . 【答案】/ 【详解】由题意，为动直线与底面所成角，只需求旋转过程中直线与面所成角的最大角即可， 又面面，只需求直线与面最大夹角正弦值， 过作，交延长线于，连接，显然△△， 所以，故为平行四边形，则，，， 所以△为等腰三角形，过作于，则必在线段上， 综上，绕旋转过程中，点轨迹是以为圆心，为半径的圆上， 设，则，故， 所以，解得，则，， 绕旋转过程中，是为轴，圆为底面的圆锥的母线， 所以为圆锥轴截面顶角的一半，且恒定不变，又，， 而直线与面夹角为，且，， 令，则，而， 令，则，而 综上，，故的最大值是. 故答案为： 【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则直线与平面所成的角正切值的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图（1）所示，作平面，连接，，， 因为直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为， 所以，，即， 以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图（2）平面直角坐标系， 则有，，设， 由有，，化简可得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线与平面所成的角为，则， 又①， 又点满足，即=，代入①式得， 令，则表示圆与定点连线的斜率， 又由与圆相切时，可得， ，解得，，即， 故当时，取得最小值为，此时最小， 最小值为， 故选：A.              图（1）                          图（2） 【变式2】（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 . 【答案】 【详解】   如图，取的中点为，连接，则可知， 所以，即为直线与平面所成的角. 设边长为2，则，设，，， 则，，. 因为，所以. 又是的中点，所以. 又， 所以有，整理可得. 因为，，所以有. 在中，有. 令，， 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递减. 又，， 所以， 所以，. 故答案为：. 【变式3】（2023·河南·模拟预测）三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面的距离为7，，.记与平面所成的角为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心， 则为的中点，平面， 过点作平面，为垂足，则，， 作，垂足为，则四边形为矩形， ，得，， 则，所以， 故，所以， 则，即， 则， 所以. 故答案为：. 题型08根据线面角求参数 【典例1】（2024·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为平面，所以即为直线与平面所成的角， 所以， 因为，所以， 所以点位于矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上， 则点的轨迹为圆弧. 连接，则， 因为，， 所以， 则弧的长度， 所以. 故选：C. 【典例2】（2023下·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（ ） A．224 B．448 C． D．147 【答案】B 【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图， .   因为四棱台上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等， 所以底面，又，所以底面， 所以是四棱台其中一条侧棱与底面所成的角，则， 因为，所以，， 易知四边形是等腰梯形，则， 所以在中，，则， 即四棱台的高为， 则该四棱台的体积. 故选：B． 【典例3】（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且，若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是 .    【答案】/ 【详解】如图，自点引平面的垂线，垂足为，因为，    则两点在以为高，以为母线的圆锥的底面圆周上， 因为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 所以当两点运动到公共棱上时，最大，则最长，此时在中为定值，最大，所以AD最大. 自点引公共棱的垂线，则由题意得， 所以，，所以， 因为，所以， 因为，所以为的中点，所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中由余弦定理得, 故答案为： 【变式1】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，过点作于，为的中点，设的外心是，半径是，连接， 由正弦定理得，则， 为的中点，， ，所以， 因为平面平面，于，平面平面，则平面，所以直线与平面所成的角是，则，即，因为，所以，则，故， 设三棱锥外接球球心是，连接，，过作于， 则平面，于是，从而是矩形， 所以外接球半径满足， 解得， 所以外接球的表面积为． 故选：B． 【变式2】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连，因为平面，所以是与平面所成的角， 所以，所以， 设，则，即， 又，所以，所以， 即，所以，， 因为该长方体外接球的直径是，所以半径， 所以该外接球的表面积为. 故选：B 【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接交平面于，连接， 由题意可知平面， 所以是与平面所成的角， 所以＝. 由可得，即. 在四面体中，,    , 所以四面体为正三棱锥，为的重心， 如图所示： 所以解得 ，, 又因为， 所以 ， 即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆， 所以. 故答案为:. 题型09求二面角定值 【典例1】（2023上·上海长宁·高二上海市复旦中学校考期中）在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：是中点，连接，，设正方体边长为，    ，则；，则， 平面，平面， 故是二面角的平面角，故. 故选：C 【典例2】（2023上·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示：为中点，连接，，则，， 平面平面，且平面，平面， 故为二面角的平面角，    在中，，， 在中，. 故选：A 【典例3】（2023下·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，所以为直角三角形， 取的中点，则为的外心， 所以球心在过底面的外心（中心）且垂直底面的直线上，也在过 外心且垂直侧面的直线上，如下图，    因为三棱锥外接球的表面积为，即，解得， 取的中点，连接，则， 所以都与垂直， 所以是二面角的平面角， 又，， 在中，， 在 中, ， 所以，所以， 在中，， 由平面得，又， 所以平面， 由面得，又， 所以平面， 又平面，平面有公共点， 所以四点共面， 所以 即二面角的大小为，其余弦值为. 故选：A. 【变式1】（2023上·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在四面体中，取的中点，连接，如图，    由，得， 因此是二面角的平面角， 在中，， 由余弦定理得， 而，则，所以二面角的大小为. 故选：A 【变式2】（2024上·北京房山·高二统考期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ；平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 / 【详解】由于，所以是异面直线与直线所成角或其补角， 而四边形是正方形，所以. 连接交于，则，连接， 由于，是的中点，所以， 所以是平面与平面夹角， 设正方体的边长为，则， 所以在直角三角形中，. 故答案为：； 【变式3】（2024上·安徽合肥·高二合肥一中校考阶段练习）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 . 【答案】 【详解】取和的中点分别为，， ，分别是，的中点， ,, 由于且为正三角形， ，故, 由于，分别是，的中点，因此， 故, 由于截面侧面，所以,进而可得, 由于 故为侧面与底面的二面角的平面角， 设， ，， 在直角中， ， 故答案为： 题型10求二面角（最值或范围） 【典例1】（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过作的垂线交与，交于，于， 设在平面内的投影为，则在直线上， 过作的垂线，垂足为，则为二面角的平面角， 设，由题意，， 则， 由，，得， 所以， 所以， 令，可得，则， 所以，当即，也即时，取到最大值， 此时最大，即二面角取得最大角. 故选：B 【典例2】（2023上·浙江温州·高二浙江省平阳中学校联考期中）如图，三角形中，，，为中点，为上的动点，将沿翻折到位置，使点在平面上的射影落在线段上，则当变化时，二面角的余弦值的最小值是 .    【答案】/. 【详解】过点作交于点，连接，如下图所示： 因为在平面内的射影为点，所以平面，所以， 又因为，，所以平面，所以， 所以二面角的平面角为，且， 又因为，所以，易知三点共线，且，则， 在平面中建立平面直角坐标系如下图所示： 设，因为在平面内的射影为点，所以可知， 又，所以，， 所以，，所以， 所以， 设，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 所以， 故答案为： 【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，则在翻折过程中，二面角的大小为，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过作 的垂线交与，交于，于，    设在平面内的投影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为， 则为二面角的平面角，设 由题意 ，， 由，，， ， ， 令，可得解得， 所以； 故选：C． 【变式2】（2023上·福建泉州·高二期末）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 【答案】 / 【详解】 第一空 取的中点，连接， 因为，所以； 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以，， 所以三棱锥的体积为 因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故三棱锥的体积的最大值为. 第二空 解法一： 由平面，又平面，所以，过作于， 连接，因为平面，，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 题型11根据二面角求参数 【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又因为二面角的大小为，即，则， 因为，由图易知，， 所以， . 故选：C. 【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .    【答案】 【详解】   如图，作，交于，则， 过作交于点，连接. 因为为直三棱柱，则平面，且， 则平面，且平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 则是二面角的平面角， 即的正切值为. 故答案为： 【典例4】（2023上·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知为等腰直角三角形，是斜边且长度为，是等边三角形，若二面角大小为，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】取的中点，连接，， 为等腰直角三角形，为等边三角形， ，， 为二面角的平面角， 二面角为直二面角，， 故,又，平面， 平面， 又是三角形的外心， 故三棱锥的外接球的球心在上， 由于, 故, 设外接球的半径为，则， 即，解得， 三棱锥外接球的表面积为， 故答案为： 【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接、， 因为、都是边长为的等边三角形，且为的中点，则，， 所以，二面角的平面角为，且， 设、分别为、的外心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设， 易知，同理可得， ，，，平面， 平面，，同理可得， 所以，四边形是边长为的正方形， 由正弦定理可得，， 因此，四面体的外接球的表面积为. 故选：D. 【变式2】（2024·上海·高二专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 . 【答案】/ 【详解】解：因为矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点. 故设， 所以，，即，解得， 所以，， 所以， 因为二面角成直角， 所以，异面直线所成角为， 所以，. 故答案为：. 【变式3】（2023下·福建·高一福建师大附中校考期末）在矩形ABCD中，，沿AC将折起，当二面角为直二面角时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 . 【答案】/0.2 【详解】沿AC将折起后位置为，且为矩形，则，    所以异面直线AB与CD所成角，即为与CD所成角或其补角， 作于，连接，显然， 由二面角为直二面角，即面面，面面， 面，则面，而面，故， 由，且，故，则， 所以，又， 则. 故答案为： 【变式4】（2023下·重庆·高一统考期末）在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则 ． 【答案】. 【详解】设，连结，因为平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以为中点，又点为的重心，故在上，过作于，由到平面的距离为，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得，，所以， 故答案为：.