人教B版高中数学选修3 第五章《数列》综合测试题 含答案

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《数列》综合测试一、单项选择题1.数列的通项公式( ).A.B.C.D.2.已知数列满足.若是递增数列,则实数的取值范围是( ).A.B.C.D.3.在等差数列中,若是方程的两根,则的值是( ).A.B.C.2D.4.已知数列是首项为8,公比为的等比数列,则等于( ).A.8B.32C.64D.1285.首项为,公差为的等差数列的前项和为,满足,则的取值范围为( ).A.或B.C.D.6.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织六尺,今一月织十一匹三丈(1匹尺,一丈尺),问:日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织6尺,一月织了十一匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为( ).(1尺)A.B.C.D.7.设数列满足,则数列的前200项和是( ).A.20100B.20200C.40200D.404008.各项均为正数的等差数列的前项和为,则等于( ).A.38B.20C.10D.9二、多项选择题9.已知数列为等差数列,其前项和为,且,则下列结论正确的是( ).A.B.最小C.D.10.下列关于公差的等差数列的四个命题中真命题是( ).A.数列是递增数列B.数列是递增数列C.数列是递增数列D.数列是递增数列11.已知数列的前项和为,若存在两项,使得,则( ).A.数列为等差数列B.数列为等比数列C.D.为定值12.若数列满足:对任意正整数为递减数列,则称数列为“差递减数列”.给出下列数列）,其中是“差递减数列”的有( ).A.B.C.D.三、填空题13.已知等比数列的前项和满足,则________.14.已知数列满足,且成等差数列,若,则________.15.已知正项数列中,若存在正实数,使得对数列中的任意一项也是数列中的一项,称数列为“倒置数列”,是它的“倒置系数”,若等比数列的项数是,数列所有项之积是,则________.(用和表示）.16.已知正项等比数列满足,若存在两项使得,则的最小值是________,此时________.四、解答题17.(2021宿迁三校八省联考模拟)已知①,;②从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列是等差数列,其前项和为,若_______(注,若选多个条件分别解答,按第一个解答计分).(1)求的通项公式;(2)对任意的,将中落入区间内项的个数记为,求数列的通项公式和数列的前项和.18.(2021宝鸡高三月考)已知正项数列的前项和为,当且时,.(1)求数列的通项公式;(2)请判断是否存在三个互不相等的正整数成等差数列,使得也成等差数列.19.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的正整数存在,求的值;若不存在,请说明理由.设为等差数列的前项和,是等比数列,.是否存在,使得且?20.(2021兰州高二期中)新星家具厂开发了两种新型拳头产品,一种是模拟太空椅,一种是多功能办公桌.2020年该厂生产的模拟太空椅获利48万元,以后它又以上年利润的倍的速度递增;而多功能办公桌在同年获利75万元,这个利润是上年利润的,以后每年的利润均以此方式产生.预期计划若干年后两产品利润之和达到174万元.从2020年算起.（1）设第年模拟太空椅获利万元,求的值;（2）哪一年两产品获利之和最小?（3）至少经过几年即可达到或超过预期计划?21.已知等差数列满足:的前项和为.(1)求及;(2)令,求数列的前项和.22.数列满足.(1)证明:数列知等差数列;(2)求数列的通项公式;(3)设,求数列的前项和.参考答案1.答案：C解析：依题意,数列的前几项为;,则其通项公式.故选.2.答案：B解析：若是递增数列,则即即即,即实数的取值范围是.故选.3.答案：C解析：等差数列中,∵是方程的两根,∴.故选.4.答案：C解析：数列是首项为8,公比为的等比数列,则.同理,.则.故选.5.答案：A解析：因为,则,整理可得有解,故,解得或.故选.6.答案：C解析：由题意可得,每天织布的量组成了等差数列,(尺),(尺),设公差为尺,则,解得.则.7.答案：B解析：,可得1),,数列的前200项和为20200,故选.8.答案：C解析：由,利用等差数列的性质可得,解得,则.故选.9.答案：ACD解析：因为数列为等差数列,,即,即,故正确;因为,所以,但是无法推出数列的单调性,故无法确定是最大值还是最小值,故错误;因为,所以,故正确;,所以D正确.故选.10.答案：AD解析:∵等差数列的公差,即,∴数列是递增数列,是真命题;对于数列,第项与第项的差等于,不一定是正实数,是假命题;对于数列,第项与第项的差等于,不一定是正实数,是假命题;对于数列,第项与第项的差等于,数列是递增数列,是真命题.故选.11.答案：BD解析：,可得时,,即2.时,,化简为,则为首项为2,公比为2的等比数列,故错误,B正确;由,可得,则,故错误;存在两项,使得64,可得,即,故D正确.故选.12.答案：CD解析：A.∵数列不为“差递减数列”.同理可得B不为“差递减数列”.C.∵数列为“差递减数列”.同理可得为“差递减数列”.故选.13.答案：解析：根据题意,知等比数列的前项和满足,则有,两式相减可得,即,变形可得,即等比数列的公比为2.在中,令可得,即,解得.14.答案：解析：由题意可得,,即,即数列为等比数列.由等比数列的性质可得,.又∵,则.15.答案：解析：数列是项数为的有穷正项等比数列,取,对数列中的任意一项也是数列中的一项,由“倒置数列”的定义可知,数列是“倒置数列”.又数列所有项之积是,则.16.答案： 20解析：根据题意,设正项等比数列的公比为,由满足,则有,解得或(舍去),若存在两项使得,即,变形可得,则有,则.又由,当且仅当时,等号成立,则,此时.17.答案：见解析解析:(1)若选①:设的公差为.,.又,,.若选②:,,,又是等差数列,.若选③:由题意得当时,,当时,又又.18.答案：见解析解析:(1)当且时,有,可得,且满足该式,可得当时,有,平方后可得.当且时,有,可化为,有,由,得,可得数列是以1为首项,2为公差的等差数列,则.故数列的通项公式为.(2)由题意有,又由(1)可知,有.由,知,则.,可得.故不存在三个互不相等的正整数成等差数列,使得,也成等差数列.19.答案：见解析解析:(答案不唯一)选择①:.设的公差为的公比为,又,则,解得,.假设存在使得且,则,即,解得,即存在,使得,且.20.答案：见解析解析:(1)(万元).(万元)（2）设第年模拟太空椅获利万元,多功能办公桌获利万元,则,,当且仅当时取“”.故第2021年两产品获利之和最小.(3)令,又令,则有,∴或(舍去),∴当时,;当时,,当时,.故至少经过7年即可达到或超过预期计划.21.答案：见解析解析:(1)设等差数列的首项为,公差为.因为,所以解得所以,所以.(2)由(1)为,所以.,所以.,即数列的前项和.22.答案：见解析解析：(1)证明:由已知可得,即,即数列是公差为1的等差数列.(2)解:由(1)知.(3)解:由知.,两式相减得