新教材2023_2024学年高中数学第五章数列综合训练课件新人教B版选择性必修第三册

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第五章综合训练123456789101112131415161718192021221.[2023新疆二模]在各项均为正数的等比数列{an}中,若2a5,3a4,4a6依次成等差数列,则{an}的公比为(　　)D 解析 设等比数列{an}的公比为q,由题可知q>0.∵2a5,3a4,4a6依次成等差数列,∴6a4=2a5+4a6,即6a1·q3=2a1·q4+4a1·q5,∴2q2+q-3=0,即(q-1)(2q+3)=0,解得q=1或 (不合题意,舍去).故选D.123456789101112131415161718192021222.在等比数列{an}中,若a5=9,则log3a4+log3a6=(　　)A.2 B.3 C.4 D.9C解析 等比数列{an}中,因为a5=9,所以a4a6= =81,所以log3a4+log3a6=log3(a5)2=log381=4.故选C.123456789101112131415161718192021223.[2023广东深圳龙华期末]若数列{an}的通项公式an=1+(-1)n,则{an}的前9项和S9=(　　)A.4 B.6 C.8 D.10C解析 ∵数列{an}的通项公式an=1+(-1)n,∴n=2k-1(k∈N+)时,an=0;n=2k(k∈N+)时,an=2.则{an}的前9项和S9=5×0+4×2=8.故选C.123456789101112131415161718192021224.[2023重庆渝中高二模拟]已知{an}为递增的等差数列,等比数列{bn}以a1,a2为前两项且公比为3,若b5=am,则m的值为(　　)A.13 B.41 C.57 D.86B解析 设等差数列{an}的公差为d,由题意可得 =3,所以a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1,所以an=a1+(n-1)d=(2n-1)a1,又因为{bn}为公比为3的等比数列,所以b5=a1×34=81a1=am=(2m-1)a1,解得m=41.故选B.12345678910111213141516171819202122A123456789101112131415161718192021226.[2023重庆九龙坡高三开学考试]在数列{an}中,已知对任意正整数n,有a1+a2+…+an=2n-1,则 等于(　　)A.(2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D 解析 ∵a1+a2+…+an=2n-1,①∴a1+a2+…+an+an+1=2n+1-1,②②-①得an+1=2n,又a1=2-1=1=20,∴an=2n-1,123456789101112131415161718192021227.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)A.3 699块 B.3 474块C.3 402块 D.3 339块C12345678910111213141516171819202122解析 由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an},其前n项和为Sn.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.123456789101112131415161718192021228.[2023陕西咸阳二模]数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点(n,Sn)在D 12345678910111213141516171819202122解析 由题意知Sn=n2+2n,①当n=1时,S1=a1=3,当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+2(n-1)=n2-1,②①-②得an=Sn-Sn-1=2n+1,又a1=3符合上式,∴an=2n+1(n∈N+),123456789101112131415161718192021229.[2023湖南株洲一模]已知各项均为正数的等差数列{an},且an+1>an,则(　　)A.a3+a7=a4+a6B.a3a7>a4a6C.数列{a2n+1}是等差数列D.数列{a2n}是等比数列AC12345678910111213141516171819202122解析 设等差数列{an}的公差为d(d>0),对于A,因为{an}是等差数列,且3+7=4+6,则由等差数列性质可得a3+a7=a4+a6,故A正确;对于B,a4·a6-a3·a7=(a1+3d)·(a1+5d)-(a1+2d)·(a1+6d)=3d2>0,则a3·a70,则当Sn<0时,n的最大值为2 022AB12345678910111213141516171819202122解析 对于A,由通项公式,知数列是严格递减数列,又a1>a2>a3>a4>a5>0>a6>…,∴数列{an}的前5项的和最大,A对;∴S8=5S4,又2(S8-S4)=S4+S12-S8⇒8S4=S12-4S4⇒S12=12S4,2(S12-S8)=S8-S4+S16-S12⇒14S4=S16-8S4⇒S16=22S4,12345678910111213141516171819202122∴不是充要条件,C错;对于D,{an}为等差数列,a1 011<0,a1 011+a1 012>0,1234567891011121314151617181920212211.[2023安徽安庆一中高二阶段练习]已知等比数列{an}的公比q=- ,等差数列{bn}的首项b1=12,若a9>b9且a10>b10,则以下结论正确的有(　　)A.a9·a10<0 B.a9>a10C.b10>0 D.b9>b10AD 12345678910111213141516171819202122解析 对于A,∵等比数列{an}的公比 ,∴a9和a10异号,∴a9a10<0,故A正确;对于B,因为不确定a9和a10的正负,所以不能确定a9和a10的大小关系,故B不正确;对于CD,设{bn}的公差为d.∵a9和a10异号,且a9>b9且a10>b10,∴b9和b10中至少有一个数是负数,又b1=12>0,∴d<0∴b9>b10,故D正确,∴b10一定是负数,即b10<0,故C不正确.故选AD.1234567891011121314151617181920212212.[2023江苏泰州高三期中]螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”,平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线,如图(1)所示.如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案,它的画法是这样的:正方形ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q,作第3个正方形MNPQ,以此方法一直继续下去,就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD的边长为a1,后续各正方形边长依次为a2,a3,…,an,…;如图(2)阴影部分,直角三角形AEH面积为b1,后续各直角三角形面积依次为b2,b3,…,bn,…,下列说法正确的是(　　)12345678910111213141516171819202122A.第3个正方形MNPQ的面积为10 D.数列{bn}的前n项和Sn<4对任意n∈N+恒成立 图(1) 图(2) 答案 BCD 12345678910111213141516171819202122故A错误,B正确; 123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212213.[2023江苏南通如东高二期末]已知等比数列{an}的公比不为1,a1=1,且a2,a4,a3成等差数列,则a5=　　　　　. 解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0,1),由a1=1,且a2,a4,a3成等差数列,12345678910111213141516171819202122解析 ∵等比数列{an}中,各项都是正数,且 成等差数列,故公比q大于0且不等于1.∴a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,即为q2-2q-1=0,1234567891011121314151617181920212215.数列{an}满足a1=3,且对于任意的n∈N+,都有an+1-an=n+2,则a39=　　　　. 820解析 因为an+1-an=n+2,所以a2-a1=3,a3-a2=4,a4-a3=5,……an-an-1=n+1(n≥2),上面n-1个式子左右两边分别相加,1234567891011121314151617181920212216.等差数列{an}的公差d≠0,an∈R,前n项和为Sn,则对正整数m,下列四个结论中:①Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,也可能成等比数列;②Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,但不可能成等比数列;③Sm,S2m,S3m可能成等比数列,但不可能成等差数列;④Sm,S2m,S3m不可能成等比数列,也不可能成等差数列.正确的是　　　　　.(填所有正确的序号) ②④12345678910111213141516171819202122解析 根据等差数列的性质,S2m-Sm=Sm+m2d,S3m-S2m=Sm+2m2d,所以(S3m-S2m)-(S2m-Sm)=(S2m-Sm)-Sm=m2d,所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,1234567891011121314151617181920212217.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.(1)求数列{an}的通项公式;(1)解∵Sn=n2+2n,∴a1=S1=3.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.将n=1代入上式,可得a1=3,故n=1时满足上式,∴an=2n+1.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212218.[2023山西晋城高二期末]已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;解(1)设{an}的公差为d.∵S4=14,且a1,a3,a7成等比数列,∴4a1+6d=14,(a1+2d)2=a1(a1+6d).∵d≠0,∴d=1,a1=2,∴an=n+1.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122解选择①②:根据题意,设等差数列{an}的公差为d(d>0), 123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122所以b10),若a4+a5=8且S10=50,123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212220.[2023山东临沂高二月考]已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=5,an+1=3an+6.(1)证明:数列{an+3}为等比数列;(2)求{an}的通项公式及Sn.(1)证明由an+1=3an+6,得an+1+3=3an+6+3=3(an+3),∵a1+3=5+3=8,∴数列{an+3}是以8为首项,3为公比的等比数列.(2)解由(1)可得an+3=8×3n-1,∴an=8×3n-1-3,∴Sn=a1+a2+a3+…+an=(8×30-3)+(8×31-3)+(8×32-3)+…+(8×3n-1-3) =8(30+31+32+…+3n-1)-3n=8× -3n=4×3n-3n-4.1234567891011121314151617181920212221.已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn>0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.求:(1)数列{anbn}的通项公式;(2)数列{anbn}的前n项和Tn.12345678910111213141516171819202122解(1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.∵在等差数列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,则b2=5.设等差数列{bn}的公差为d,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2.∵bn>0,∴d=-10应舍去,∴d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1.故anbn=(2n+1)·3n-1.12345678910111213141516171819202122(2)由(1),知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②①-②,得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3+2× -(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n.∴Tn=n·3n.1234567891011121314151617181920212222.[2023上海浦东新区模拟]记Sn为数{an}的前n项和,已知Sn= an+n2+1(n为正整数).(1)求a1+a2的值,并证明数列{an+an+1}是等差数列;(2)求Sn的表达式.12345678910111213141516171819202122∴a1+a2=6, ∴an+2+an+1=4(n+1)+2,∴(an+2+an+1)-(an+1+an)=4,∴数列{an+an+1}是首项为6,公差为4的等差数列.12345678910111213141516171819202122(2)由(1)得an+an+1=4n+2,∴当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=6+14+…+(4n-2)