高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册等差数列的前n项和教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册等差数列的前n项和教案，共9页。
板书设计
教学环节
教学设计
设计意图
复习回顾
1.等差数列的定义:为常数.
2.等差数列的通项公式:.
3.等差数列中,若,则,.
通过复习等差数列的定义、通项公式及等差数列的性质，以旧悟新为学习新知识埋下伏笔.
引入情境，分析展示课题
200多年前,德国著名数学家Gauss(高斯)10岁读小学时,教师出了一道数学题:?据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,高斯经过思考后很快得出其结果是5050.
师:“小高斯快速算出的和,成为千古美谈.同学们,我们也能成长为高斯.这节课我们研究等差数列的前项和,就是与高斯比一比,我们也能快速算出,并且把这种方法推广到更一般的等差数列前项和的求法中去.”
这个问题实际上就是本节课要学习的内容(板书课题).
5.2.2等差数列的前项和
一般地,等差数列的前项和用表示,即
现在分小组讨论探究下面的问题:
（1）从数列角度来看,这是什么数列?高斯是用什么方法快速算出这个数列的和的?
（2）高斯的算法妙处在哪里?这种方法能够推广到求一般数列的前项和吗?
（3）这些方法用到了等差数列的哪一个性质?
（4）能否用高斯的速算法求下列等差数列的前项和?
= 1 \* GB3 ①计算?
= 2 \* GB3 ②计算?
学生阅读、小组讨论时,教师要眼观六路,耳听八方,对每个学生在小组讨论中遇到的难题,要进行适当点拨,使他们的学习走上正轨,然后各小组汇报研究性学习成果,进行全班交流.
组小组长:是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列,高斯的算法是:
.
B组小组长:也可以写成算式的形式:
师:很好,这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法,我们把这种方法称为“倒序求和法”.这种倒序求和法运用了等差数列的哪一个性质?
B组小组长:运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质.即在等差数列中,若,则.
以高斯的故事吸引学生的注意力，调动学生学习的积极性，使学生快速进入学习状态中.
以问题激发兴趣，以问题产生好奇.
学生小组合作探究等差数列前n项和的求法，充分发挥学生的主观能动性，发展数学运算和逻辑推理核心素养.
推导公式
教师因势设问:“能把倒序求和法推广到求一般的等差数列的前项和吗?”
C组小组长:可以运用倒序求和法计算:
因为
,
所以,
所以.(I)
D组小组长:同理运用倒序求和法也可计算:
所以.（II）
E组小组长:由下列算法也可以得到公式（I）：
所以.()
以代入上式也可得到公式(II)的形式.
师:非常好.公式（I）（II）称为等差数列的前项和公式,用这些公式可求得等差数列的前项和.
引导学生比较得出:若已知等差数列首项为,末项为,项数为,可直接运用公式()求和;若已知等差数列首项为,公差为,项数为,则直接运用公式(II)求和较为简便.从公式的结构特点可知,两个公式中共包含五个量,只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量.
思考:（1）比较两个公式（I）（II），说说它们分别从哪些角度反映了等差数列的性质?
（2）等差数列中,与的关系与以前学过的什么函数有关?
提示:二次函数.
（3）如果数列的前项和的公式是,其中,都是常数,那么一定是等差数列吗?为什么?
提示::不一定.时是等差数列.
将等差数列的前n项和的公式的推导过程变成学生研究性思维学习成果的展示过程.在这个“过程”中，锻炼学生的学习、思考和语言表达能力，在连续的变式推理过程中，使学生的创造性思维品质在不断地追问、假设、探究和想象中培养起来.
对求和的两个公式进行比较，得出它们分别适用的情景.
培养学生思维的发散性，为用函数观点解决数列问题做铺垫.
熟悉公式，初步应用
请同学们解下列一组题.
计算下列各题:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
生:直接利用等差数列的前项的公式(I)求得:
（1）原式(这是正整数列之和).
（2）原式(这是正奇数列之和).
（3）原式(这是正偶数列之和).
师:第（4）题中的数列不是等差数列,但在解题时我们应仔细观察,由此及彼,由表及里,去伪存真,寻找规律,可能某局部成等差数列(学生在教师引导下悟到).
生甲:把正数项与负数项分开,正好组成正奇数列与正偶数列之差.
所以原式
.
生乙:原数列虽然不是等差数列,但还有一个规律,相邻两个正整数之差为,即依次相邻两项结合都为,可得另一解法:
原式
.
师:从以上解题过程反思,可以看到一些题目表面上好像没有什么规律,在解题时只要我们仔细观察,寻找规律,是能找到好的解题方法的.
推导出求和公式之后，通过常用的正整数列、正奇数列、正偶数列的求和，使学生初步熟悉等差数列的前n项和的公式的应用.
通过练习（4），使学生明白一些题目表面看来没有等差数列的规律，只要认真观察，深入分析，进行适当分组，局部是符合等差数列规律的.
从而培养学生的观察分析能力，提高拓展能力和创新能力，也培养“联系与转化”的理性思维，为进一步运用等差数列的前n项和的公式解应用题打下知识基础和思想方法基础.
建立数学模
型解应用题
例1 求集合且的元素个数,并求这些元素的和.
引导学生清楚地认识到,要找到解这类题的方法,必须抽象出数量关系,建立相应的数学模型,这是寻找解题方法的关键.求等差数列的和,要特别注意数列的项数是多少.
师:元素的个数应根据什么条件确定?
生:应根据的范围条件确定,由,得,
所以,又因为,
所以满足上面不等式的正整数共有14个,
所以集合的元素共有14个.
师:请把这14个元素从小到大列出来.
生:.
师:这是一个什么数列?
生:这个数列是等差数列,记为,其中首项,末项,项数,公差,根据等差数列的前项和公式得:
答:集合共有14个元素,它们的和等于735.
师:可以用公式(II)解答吗?
生:可以,有:.
师:比较一下,这两种方法有什么不同之处?
生:用公式(I)要先求出,再运用公式.用公式(II)不需求就可以直接运用公式,显然用公式(II)方法简单.
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元,为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元,那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
对此例题,教师先启发引导,然后让学生练习,如有不懂再点拨.实施“校校通”工程的经费,每年是多少?总投入经费是多少?想一想这个问题的数量关系与我们所学过的哪些数学规律类似?500万,50万,未来10年的“10年”,工程总投入等相当于数学理论中什么量?从中建立求解的数学模型.
生甲:根据题意,从2001年起到2010年该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万,可以建立一个等差数列,表示从2001年起每年投入的资金.其中.由公式（II）可知,投入金额为:
(万元).
生乙:也可以用公式()求解:
，
（万元）.
答:从2001年起到2010年,该市在“校校通”工程中总投入资金为7250万元.
在应用等差数列的前n项和的公式解题时使学生学会抽象出数量关系，建立相应的数学模型，即等差数列模型，从而获得解题方法，培养学生学数学、用数学的意识和能力.
分别用公式（I）、公式（Ⅱ）解答，使学生认识到掌握题目的数量关系后，可以从多角度去解题，培养学生的发散思维.
巩固学生的解题程序和强化应用意识，加深学生对解应用题必须要建立数学模型的重要性的认识，进一步掌握建立数学模型的方法，发展数学建模核心素养.
巩固练习
1.求集合且的元素个数,并求这些元素的和.
2.一位技术人员计划用下面的办法测试一种赛车:从时速开始,每隔速度提高.如果测试时间为,测试距离有多长?
3.请同学们参考例和课堂练习题自己编写一道求等差数列前项和的练习题并解答.
再次强化数学建模等解题程序.
通过学生自己编题来练习，进一步巩固对等差数列的前项和的公式的理解，培养学生求异、发散等思维能力.
归纳总结
师:谁来总结一下,本节课学习了什么内容和方法?
生:（1）本节课学习了等差数列的前项和公式
（II）
.(II)
（2）学习了一种崭新的数学方法一一倒序求和法.
师:总结得很好,我们还应注意以下几点：
（1）公式（I）（II）共有五个量,只要知道其中三个量,就可以求出其他两个量.
（2）求等差数列的前项和,要特别注意公式中的项数是多少.
（3）解应用题时,必须运用理论联系实际的方法,抽象出数量关系,建立相应的数学模型,才能找到适当的解题方法.
启发、引导学生归纳总结，一方面可以了解学生课堂接受能力的情况，另一方面可以培养学生归纳总结的能力，使学生系统记忆本节课所学习的知识.
布置作业
1.教材第26页练习B第1~5题.
2.自己编写一道求等差数列的前n项和的练习题.
3.写一篇学习“等差数列的前n项和”的心得.
4.预习：教材5.3.1等比数列.
复习巩固课堂学习的知识.
通过学生自己编题和写小论文，让学生深层理解课堂所学习的知识，提高应用知识的能力，这是当前教改的新措施.
预习可以培养学生的自觉能力，使学生成为学习的主人.
等差数列的前项和
1.等差数列的前项和公式
推导过程:
公式:
2.例题
例1
例2
3巩固练习
4归纳总结
5布置作业