高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列第1课时教学设计

5.2　等差数列

5.2.1　等差数列

第1课时　等差数列的定义

情境导学

1．等差数列的概念

一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．

拓展：等差数列定义的理解

(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．

(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．

2．等差数列的通项公式及其推广

若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)．

思考：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？

[提示]　d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数．

3．等差数列的单调性

等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数列4,4,4，…是等差数列．  (　　)

(2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4，则{an}(n>4)一定是等差数列．

  (　　)

(3)等差数列{an}中，a1，n，d，an任给三个，可求另一个． (　　)

(4)等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．下列数列中不是等差数列的为(　　)

A．6,6,6,6,6 B．－2，－1,0,1,2

C．5,8,11,14 D．0,1,3,6,10

D　[A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；

B中给出的数列是等差数列，公差为1；

C中给出的数列是等差数列，公差为3；

D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．]

3．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________.

6－2n　[∵a1＝4，d＝－2，

∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.]

4．在等差数列{an}中，若a2＝1，a5＝3，则公差d＝________.

　[d＝＝＝.]

合作探究

【例1】　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列．

[思路点拨]　可以利用a1和d写出bn的通项公式，也可以直接利用定义判断bn＋1－bn是不是常数．

[解]　法一：由题意可知an＝a1＋(n－1)d(a1，d为常数)，则bn＝3an＋4＝3[a1＋(n－1)d]＋4＝3a1＋3(n－1)d＋4＝3dn＋3a1－3d＋4.

由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d＝0时)，

故{bn}是等差数列．

法二：根据题意，知bn＋1＝3an＋1＋4，则bn＋1－bn＝3an＋1＋4－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d(常数)．

由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列．

等差数列的判定方法有以下三种：

1定义法：an＋1－an＝d常数n∈N＋⇔{an}为等差数列；

2等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N＋⇔{an}为等差数列；

3通项公式法：an＝an＋ba，b是常数，n∈N＋⇔{an}为等差数列.

但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.

1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列(　　)

A．是公差为4的等差数列

B．是公差为3的等差数列

C．是公差为－3的等差数列

D．是首项为4的等差数列

C　[∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3.

∴{an}是公差为－3的等差数列．]

2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，试证明数列是等差数列．

[证明]　∵an＋1＝，

∴＝＝＋，

即－＝2，∴是首项为，公差d＝2的等差数列．

[探究问题]

1．若{an}是等差数列，试用am，an表示公差d，其中n≠m.

[提示]　d＝.

2．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则该数列是等差数列吗？

[提示]　是．因为an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k，故{an}是等差数列．

【例2】　(教材P19例5改编)(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；

(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．

[思路点拨]　设出基本量a1，d.利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．

[解]　(1)法一：∵a4＝7，a10＝25，

则得

∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，

∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．

法二：∵a4＝7，a10＝25，

∴a10－a4＝6d＝18，

∴d＝3，

∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．

(2)法一：由

得

解得a1＝，d＝－.

∴a15＝a1＋(15－1)d

＝＋14×＝－.

法二：由a7＝a3＋(7－3)d，

即－＝＋4d，

解得d＝－.

∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.

1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，

得求出a1和d，从而确定通项公式．

2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用an＝am＋(n－m)d较为简捷．

3．若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于________．

　[∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，

∴

∴＝1，

即＝，

故＝.]

4．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？

[解]　由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，

得这个数列的通项公式为

an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.

由题意知，－401＝－4n－1，

得n＝100，即－401是这个数列的第100项.

课堂小结

1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：

(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；

(2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．

2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式；反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．

1．已知等差数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的通项公式为(　　)

A．an＝2n－1 B．an＝2n＋1

C．an＝n－1 D．an＝n＋1

A　[an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1.]

2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为(　　)

A．2 B．3

C．－2 D．－3

C　[d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2，故选C.]

3．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________.

18　[公差d＝＝＝2，

∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.]

4．{an}是首项a1＝2，公差d＝3的等差数列，若an＝2 021，则n＝________.

674　[∵a1＝2，d＝3，

∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1.

由3n－1＝2 021得n＝674.]

5．若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列．

[解]　∵an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，

∴an＋1－an＝10＋(n＋1)lg 2－(10＋nlg 2)＝lg 2.

∴{an}为等差数列．