数学人教B版 (2019)等差数列的前n项和教学设计

这是一份数学人教B版 (2019)等差数列的前n项和教学设计，共6页。教案主要包含了创设情境，提出问题，初步探究等差数列前n项和的求法，类比联想,解决问题，挖掘公式,深化认识，公式应用，课堂小结，作业布置等内容，欢迎下载使用。
一、创设情境，提出问题
如下左图，泰姬陵坐落于印度阿格拉市，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙·贾汗为纪念其爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界新七大奇迹之一.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下右图），奢靡之程度，可见一斑.
问题1：你知道这个图案一共用了多少宝石吗？
教师活动：利用多媒体展示泰姬陵图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况.
设计意图：（1）利用彩图呈现问题，使学生进入问题情境，激发学生的学习兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活.（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性.
二、初步探究等差数列前n项和的求法
问题2：如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层.
在不逐个相加的前提下，你能想办法算出这些钢管共有多少根吗？
学生先独立思考，然后小组讨论，汇报如下（若学生不能得出下列计算方法，教师可引导得出）：上图中的这些钢管,从上到下每一层的数量构成一个等差数列,这个数列的首项为,公差,而且该数列共有8项,第8项为.
设想在上图中的钢管旁边再放同样多数量的钢管,但是倒过来放置,如图所示.
这时,每一层的钢管数是相同的,都是根,因此这些钢管的总数为.
设计意图:引导学生理解图形倒置拼补的方法,为后面迁移到数式求和的倒序相加法做准备,从而突破本节课的难点.采用由特殊到一般的研究方法,从学生熟悉的知识背景出发,让学生在具体的问题情境中,经历知识的形成和发展过程,充分体现了新课标“以人为本”,强调“以学生发展为核心”的原则.
三、类比联想,解决问题
问题3:在公差为的等差数列中,定义前项和,如何求?
由前面的大量铺垫,学生应容易得出如下过程:设等差数列的前项和为,即
， = 1 \* GB3 ①
显然,. = 2 \* GB3 ②
又因为根据等差数列的性质有,
所以把 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②两边分别相加,可得,
因此.
这就是等差数列的前项求和公式.
四、挖掘公式,深化认识
为了更全面系统地掌握、理解公式,教师继续提出以下问题并组织学生小组讨论:
问题为什么有成立?(等差数列的性质)
提示:上式成立的实质是等差数列的重要性质—等距性(即,若,则)的应用.
设计意图:一方面巩固等差数列的性质,另一方面是理解公式的内涵.
问题5：（1）若将代入求和公式中又可得到怎样的式子?
提示:即.
教师还可以引导学生将式子变形成:.
（2）等差数列中,与的关系与以前学过的什么函数有关?
提示:由上面的式子可以看出,与的关系与以前学过的二次函数有关.
（3）如果数列的前项和的公式是,其中都是常数,那么一定是等差数列吗?为什么?
提示:不一定.
设计意图:培养学生思维的发散性,为用函数观点解决数列问题做铺垫.
问题6:两个公式有何异同点?
学生小组讨论后得出结论:两个公式都含有四个量,只是基本量不同:第一个公式含四个量,第二个公式含四个量.
设计意图:培养学生观察、比较、分析、归纳等能力.
问题7:从方程的角度来看,可以解决什么问题?
提示:知三求一的问题.
五、公式应用
例1 已知等差数列的公差为2,且,求这个等差数列前20项的和.
解 由等差数列的通项公式可得,由此可解得.因此.
例2 求等差数列的各项之和.
解 可以看出,所求数列是公差为7的等差数列.设共有项,则,解得.因此各项之和为.
设计意图:巩固求和公式,注意例2中项数容易求错,教师可通过错因辨析,再次强化学生利用通项公式求项数的训练,以帮助理解公式,为更好地运用公式奠定基础.
例3 已知数列的前项和公式为,
（1）求出数列的通项公式,并判断这个数列是否是等差数列;
（2）求的最小值,并求取得最小值时的值.
解 （1）当时,有.
当时,有.
又因为,所以时也成立,因此数列的通项公式为.
因为,所以是等差数列.
(2)方法一:因为,又因为是正整数,所以当或8时,最小,最小值是.
方法二:由可知数列是递增的等差数列,而且首项.
令,可得,解得,而且.
由此可知,或8时,最小,最小值是.
例4 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始,每个月的1日都存入1000元,共存入3年.
（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率为,则3年后李先生一次可支取本息共多少元?(设每月存款的利息不计入下月本金,下同.)
（2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是,则李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元?
解 （1）每1000元“教育储蓄”存一个月能得到的利息是(元).
第1个1000元存36个月,得利息(元),
第2个1000元存35个月,得利息(元),
……
第36个1000元存1个月,得利息(元).
因此,3年后李先生获得利息
(元).
所以三年后李先生可支取的本息和为(元).
（2）每1000元“零存整取”存一个月能得到的利息是元,
因此,若是“零存整取”,3年后李先生获得利息(元).
因此,李先生多收益(元).
即李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益元.
六、课堂小结
首先让学生自己回忆一节课的内容,然后抽取一位中等水平的同学来说本节课的主要内容,再次让成绩优秀的学生补充前面同学的遗漏部分,最后由教师进行总结.
1.等差数列前项和公式的推导:倒序相加法.
2.等差数列前项和公式两种形式.
3.等差数列前项和公式记忆方法.
4.等差数列前项和的应用(知三求二).
设计意图:让学生对主要知识进行回顾,使学生对本节内容有更深层次的认识和整体的把握.
七、作业布置
教材第26页练习第题.
板书设计
教学研讨
在教学活动中，重点突出学生的自主探究活动，让学生通过情境的例子以及具体的图形，自己探究发现求等差数列的前项和的方法—倒序相加法，从而渗透数形结合的思想.
在例题的设计过程中，遵循从易到难的基本原则，符合学生的认知水平，从基础到变式训练，加深了对公式的理解，强化了对公式的运用，让学生学会举一反三，知三求二，突出了教学的重难点.
等差数列的前项和
1.等差数列的前项和公式
2.例题
例1
例2
例3
例4