湖北省襄阳市宜城市五校2024-2025学年九年级下学期期中学业质量监测数学试卷（解析版）

这是一份湖北省襄阳市宜城市五校2024-2025学年九年级下学期期中学业质量监测数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，一定不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】、不是中心对称图形，该选项符合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
故选：．
2. 据统计，在发布后的18天内，全球下载数量达到16000000次，是的同期下载数量的2倍．将16000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】．
故选D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、不能合并，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算正确，符合题意；
C、，原运算错误，不符合题意；
D、，原运算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为，，，，
用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即，，
所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是＝，
故选：B．
5. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】卯的俯视图是，
故选：C．
6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
解①得，
解②得，
∴，
在数轴上表示为：
故选：D．
7. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设AB与EF交于点M，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∵,
∴=，
故选：A．
8. 如图，在中，以为直径的经过点．以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线分别交弦、劣弧于点，连接．下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 点为弦的中点D. 点为劣弧的中点
【答案】D
【解析】∵以为直径的经过点，∴，
由作图可知，
∴，即点为劣弧的中点，
故D选项正确，其他选项无法证明，
故选：D．
9. 《九章算术》中有这样一道题：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，，
故选：A．
10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】①根据图象开口向下可知，与轴交点坐标位于轴正半轴可知，
，
故①正确；
②根据顶点坐标可知，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点在和之间，
则另一交点在和之间，
当时，代入得：，观察图象可知，即，
故②正确；
③根据顶点坐标公式可得，，整理得，故③正确；
④一元二次方程，可看作抛物线与直线相交情况，经过观察图象可知抛物线和这条直线无交点，
∴一元二次方程没有实根，故④正确．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______.
【答案】
【解析】代数式有意义，可得：，所以，
故答案为.
12. 化简：___________．
【答案】
【解析】．
13. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是____________．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，∴，
故答案为：．
14. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为____________．
【答案】
【解析】如图，过点A作于H．
在中，
∵，，
∴，
∴.
15. 如图，在矩形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处，当是直角三角形时，_________．
【答案】或
【解析】在矩形中，，
，，
E是的中点，，
，
由折叠知，
矩形中，，
．
设，则，
是直角三角形时，分两种情况：
当时，
，，
，
，即，解得，；
当时，
，，，
，即，解得，
．
三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
解：原式．
17. 已知是关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根：
（2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值．
（1）证明：，
故方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
18. 如图，在平行四边形中，点分别在上，与相交于点，且．
（1）求证：；
（2）连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
（1）证明：∵，∴，
∴，，
在与中，，
∴；
（2）解：添加．
理由：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
19. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为，其中，线段和均表示测角仪，然后测量出的距离为米，连接并延长交于点G．根据这些数据，请计算旗杆的长约为多少米．
解：∵米，
∴米，
设，
∵，
∴，，
∵，∴，
解得：，
∵米，
∴米，
答：旗杆的长约为12米．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数表达式和m值
（2）请根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最大值为______．
解：（1）将代入得，解得，
∴一次函数解析式是，
∵在一次函数的图象上，
∴，
∴；
（2）由（1）得点，
一次函数与反比例函数的交点分别为点和，
由图可得，的解集为：或；
（3）∵点P是线段上一点，
∴设，，
∴，
∵，且，
∴当时，S有最大值，且最大值是2．
21. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是切线；
（2）解：连接、，交于点，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为9m，当球出手后水平距离为5m时到达最大高度4.6m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式；
（2）问甲投出的这个球能否准确命中；
（3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？
解：（1）根据题意，球出手点的坐标，最高点即顶点坐标是，
∴设二次函数解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴；
（2）一定能投中；理由如下：
将代入抛物线解析式，
∵篮圈中心的坐标是，
∴一定能投中；
（3）盖帽不能获得成功；理由如下：
将代入，得，
∵，
∴乙的最大摸高没有超过此时球的运行高度，
∴盖帽不能获得成功．
23. 已知正方形中，，P为边上一点，过P作，垂足为
（1）如图1，若平分，求证：
（2）如图2，若点P是边的中点，连接，求的长
（3）如图3，若点E是线段的中点，的延长线交于点F，当时，求的长
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
平分，
，
在和中，，
；
（2）解：如图，连接交于点O，
在正方形中，，
，
，
为中点，，
∴,，
∴，
∴，
点H为中点，
，
在中，；
（3）解：延长交于J，
点E是中点，，
，
，
，，
，
，
设，，则，，
，
，
，
∴，
，
，
整理得，①，
在中，，
在中，，
，
整理得，
将①代入②得，
解得，
24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）连接 ，当时，求t的值；
（3）设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S，
①求S关于t的函数解析式；
②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况．
解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，∴，∴，
∴该二次函数的解析式为；
（2）∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．如图，
∴点P的纵坐标为4，∴，
∴或，∴，∴．
（3）①令，则，
∴或，∴，∴．
当点P在的上方时，即，，
过点P作于点D，如图，
则，，
∴，
∴
．
当点P在的下方时，即，，
过点P作于点E，如图，
则，
∴．
综上，S关于t的函数解析式为；
②当时，，
∵，∴当时，S有最大值为16，∴．
当时，，∴．
画出函数的大致图象，如图：
由图象可知：
当时，存在3个符合条件的点P；
当时，存在2个符合条件的点P；
当时，存在1个符合条件的点P．