湖北省襄阳市宜城市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

2021-2022学年湖北省襄阳市宜城市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.）

1．（3分）已知一元二次方程有一个根为3，则的值为　　

A． B．4 C． D．2

2．（3分）用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家一共握了21次手，设参加这次聚会的同学共有人，根据题意得方程　　

A． B． C． D．

4．（3分）下列交通标志中，是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

5．（3分）二次函数的图象的对称轴为　　

A． B． C． D．

6．（3分）二次函数与轴的交点坐标是　　

A． B．、 C．、 D．、

7．（3分）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，，则的度数为　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为　　

A．16 B．20 C．18 D．22

9．（3分）如图，点，，为上的三点，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

10．（3分）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.）

11．（3分）若方程是一元二次方程，则的值为 　　．

12．（3分）已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则第三边长是 　　．

13．（3分）把二次函数的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 　　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且．将绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标为 　　．

15．（3分）如图，在中，，，点、在上，边、分别交于、两点，点是的中点，则　　．

16．（3分）如图，半圆的半径为1，是半圆上一点，且，是上的一动点，则四边形的面积的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共9个小题，计72分.）

17．（6分）阅读下列材料，完成相应任务：

我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解．

将方程整理，得．第1步

变形得．第2步

得．第3步

于是得，即．第4步

当时，得．第5步

得，．第6步

当时，该方程无实数解．第7步

学习任务：

（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是 　　；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是 　　．

（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：．

18．（6分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标，若将绕点逆时针旋转，画出旋转后的△，则点坐标为 　　，坐标为 　　，坐标为 　　．

19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，把矩形绕点顺时针旋转角，得到矩形．设与交于点，且，

（1）当时，判断的形状．

（2）若，求点的坐标．

20．（6分）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832份万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．

（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；

（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？

21．（7分）如图，二次函数的图象经过坐标原点，且与轴交于．

（1）求此二次函数解析式及顶点的坐标；

（2）在抛物线上有一点，满足，直接写出点的坐标．

22．（8分）如图，在圆中，弦的垂直平分线交弦于点，交圆与点、，连接，，圆的半径为4．

（1）若，求弦的长；

（2）证明：．

23．（10分）某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是（件与销售单价（元之间的函数关系如图中的线段．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）

（1）求出与之间的函数表达式．

（2）该商品每月的总利润（元，求关于的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，该月进货数量应定为多少？

（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？

24．（10分）探究问题：

（1）方法感悟：

如图①，在正方形中，点，分别为，边上的点，且满足，连接，求证．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，由旋转可得：

，，，，

，

因此，点，，在同一条直线上．

．

，．

即　 　．

又，

　 　．

　 　，故．

（2）方法迁移：

如图②，将沿斜边翻折得到，点，分别为，边上的点，且．试猜想，，之间有何数量关系，并证明你的猜想．

（3）问题拓展：

如图③，在四边形中，，，分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

25．（13分）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程有两个实数根；

（2）如果抛物线与轴交于、两个整数点（点在点左侧），且为正整数，求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，点关于轴的对称点为，设此抛物线在之间的部分为图象，如果图象向右平移个单位长度后与直线有公共点，求的取值范围．

参考答案与解析

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.）

1．（3分）已知一元二次方程有一个根为3，则的值为　　

A． B．4 C． D．2

【解答】解：把代入方程得：，

移项合并得：，

解得：．

故选：．

2．（3分）用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：方程，

移项得：，

配方得：，即．

故选：．

3．（3分）在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家一共握了21次手，设参加这次聚会的同学共有人，根据题意得方程　　

A． B． C． D．

【解答】解：设参加这次聚会的同学共有人，由题意得：

，

即：，

故选：．

4．（3分）下列交通标志中，是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：．不是中心对称图形，不符合题意；

．不是中心对称图形，不符合题意；

．是中心对称图形，符合题意；

．不是中心对称图形，不符合题意；

故选：．

5．（3分）二次函数的图象的对称轴为　　

A． B． C． D．

【解答】解：二次函数，

抛物线对称轴为直线．

故选：．

6．（3分）二次函数与轴的交点坐标是　　

A． B．、 C．、 D．、

【解答】解：二次函数，

当时，，

解得，，

二次函数与轴的交点坐标是，，

故选：．

7．（3分）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：绕点顺时针旋转得到，

，

，，

．

．

故选：．

8．（3分）如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为　　

A．16 B．20 C．18 D．22

【解答】解：延长交于，作于．

，

，

为等边三角形，

，

，

又，

，

，

，

．

故选：．

9．（3分）如图，点，，为上的三点，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

是等边三角形，

，

，

故选：．

10．（3分）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，错误；

、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，交于轴的正半轴，错误；

、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，错误．

、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于同一点，正确；

故选：．

二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.）

11．（3分）若方程是一元二次方程，则的值为 　　．

【解答】解：方程是一元二次方程，

且，

解得：，

故答案为：．

12．（3分）已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则第三边长是 　5　．

【解答】解：

，

解得：，，

，

无法构成三角形，

第三边长是5．

故答案为：5．

13．（3分）把二次函数的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 　　．

【解答】解：把二次函数的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为．

故答案为．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且．将绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标为 　　．

【解答】解：由题意，，

将先绕点逆时针旋转，得到的对应点的坐标，

故答案为．

15．（3分）如图，在中，，，点、在上，边、分别交于、两点，点是的中点，则　　．

【解答】解：如图，连接，

，

是的直径，

点是的中点，

，

在中，，，

，

，

故答案为：．

16．（3分）如图，半圆的半径为1，是半圆上一点，且，是上的一动点，则四边形的面积的取值范围是　　．

【解答】解：如图，过点作垂直于点，过点作垂直于点，

，，

，

，

则面积最小的四边形面积为无限接近点，所以最小面积无限接近但是不能取到，

面积确定，

要使四边形面积最大，则要使面积最大．

以为底为高．要使面积最大，则最长．

当时最长为半径，

．

，

故答案为：．

三、解答题（本大题共9个小题，计72分.）

17．（6分）阅读下列材料，完成相应任务：

我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解．

将方程整理，得．第1步

变形得．第2步

得．第3步

于是得，即．第4步

当时，得．第5步

得，．第6步

当时，该方程无实数解．第7步

学习任务：

（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是 　平方差公式　；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是 　　．

（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：．

【解答】解：（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是平方差公式；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是转化；

故答案为：平方差公式，转化；

（2），

移项，二次项系数化为1，得，

整理，得，

变形，得，

得，

得，

得，

解得，．

18．（6分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标，若将绕点逆时针旋转，画出旋转后的△，则点坐标为 　　，坐标为 　　，坐标为 　　．

【解答】解：如图所示，△为绕点旋转所得，根据图形可得：坐标为，坐标为，坐标为，

故答案为：；；．

19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，把矩形绕点顺时针旋转角，得到矩形．设与交于点，且，

（1）当时，判断的形状．

（2）若，求点的坐标．

【解答】（1）解：矩形绕点顺时针旋转角，得到矩形，

，，

是等边三角形．    

（2）解：四边形是矩形，，，

，，

，

，

，

，

，．

20．（6分）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832份万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．

（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；

（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？

【解答】解：（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为，

根据题意，得：，

解得：，（舍，

答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为；

（2）9月份的快递件数为（万件），

而，

所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务．

21．（7分）如图，二次函数的图象经过坐标原点，且与轴交于．

（1）求此二次函数解析式及顶点的坐标；

（2）在抛物线上有一点，满足，直接写出点的坐标．

【解答】解：（1）将、代入解析式，得，，

解得，，

所以二次函数解析式：，

顶点坐标；

（2），，

点的纵坐标为：，

，

当是此方程无实数根，

当时，

解得：，，

，．

22．（8分）如图，在圆中，弦的垂直平分线交弦于点，交圆与点、，连接，，圆的半径为4．

（1）若，求弦的长；

（2）证明：．

【解答】（1）解：设交于，连接，如图，

，

而，

，

，

，

，

，

；

（2）证明：，，

，

，，

．

，

，

，

．

．

23．（10分）某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是（件与销售单价（元之间的函数关系如图中的线段．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）

（1）求出与之间的函数表达式．

（2）该商品每月的总利润（元，求关于的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，该月进货数量应定为多少？

（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？

【解答】解：（1）设与的函数关系式为，

点，在函数上，

，

解得，

即与的函数关系式为；

（2）由题意可得，

，

当时，取得最大值，此时，

即关于的函数表达式是，销售单价为70元时利润最大，该月进货数量应定为300件；

（3）设销售利润为元，

，

该商店进货350件，

，

解得，

当时，取得最大值，

即销售单价定为65元时，当月月利润最大．

24．（10分）探究问题：

（1）方法感悟：

如图①，在正方形中，点，分别为，边上的点，且满足，连接，求证．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，由旋转可得：

，，，，

，

因此，点，，在同一条直线上．

．

，．

即　　．

又，

　 　．

　 　，故．

（2）方法迁移：

如图②，将沿斜边翻折得到，点，分别为，边上的点，且．试猜想，，之间有何数量关系，并证明你的猜想．

（3）问题拓展：

如图③，在四边形中，，，分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

【解答】解：（1）根据等量代换得出，

利用得出，

，

故答案为：；；；

（2）证明：延长，作，

将沿斜边翻折得到，点，分别为，边上的点，且，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

在和中，

，

，

，

；

（3）当与满足时，可使得．

25．（13分）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程有两个实数根；

（2）如果抛物线与轴交于、两个整数点（点在点左侧），且为正整数，求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，点关于轴的对称点为，设此抛物线在之间的部分为图象，如果图象向右平移个单位长度后与直线有公共点，求的取值范围．

【解答】（1）证明：由根的判别式，可得：△，

，

△，

原方程有两个实数根；

（2）解：令，那么，

解得：，，

抛物线与轴两个交点的横坐标均为整数，且为正整数，

，

抛物线的解析式为：；

（3）如图，

当时，，

，

当时，，，

又点在点的左侧，

，，

点与点关于轴对称，

，

设直线的解析式为：，

，解得：，

直线的表达式为：，

又当时，，

点，，

平移后，点，的对应点分别为，，，

当直线经过点时，得：，解得：，

当直线经过点，，时，得：，解得：．

的取值范围是．