湖北襄阳市宜城市2025年秋九年级数学学业质量测试题上学期期末（试卷+解析）

这是一份湖北襄阳市宜城市2025年秋九年级数学学业质量测试题上学期期末（试卷+解析），共28页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．
3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（ ）
A. B. 2C. D. 4
2. 农历乙巳蛇年快到了，乐乐准备到集市上买一些漂亮窗花，请你帮她挑选出既是中心对称图形，又是轴对称图形的窗花（ ）
A B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 方程的根的情况是（ ）
A. 两实根的和为B. 两实根的积为3
C. 有两个不相等正实数根D. 没有实数根
6. 点P在半径为内，的长度不可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 点（－2，1）在它的图象上B. 它的图象在第一、三象限
C. 它的图象经过原点D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
8. 如图，已知，，则的长为（ ）
A. B. 6C. 5D. 以上都不对
9. 在下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为（ ）

A. B. C. 5D.
10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若点，为函数图象上的两点，则
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 一元二次方程所有实数根的积是_______．
12. 已知一个反比例函数的图象分布在第二、四象限，请任写一个符合该条件的反比例函数________．
13. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________．
14. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是____．
15. 如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是________；②________．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解方程：
（1）
（2）
17. 如图，在梯形中，，，E是延长线上的点，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的长．
18. 在两个不透明的袋中均装有3个完全相同的乒乓球，袋1中三个球上面分别标号为2、4、6，袋2中三个球上面分别标号为1、3、5．
（1）从两个袋中分别取出一个球，则两球上数字和为7的概率为______；
（2）小明和小华做游戏，规则是：小明从袋1中取出一个球，记下数字并将该球放入袋2中，搅拌均匀后，小华从袋2中取出一个球，并记下数字，若小明记下的数字大则他获胜，否则小华获胜．你认为该游戏公平吗？并说明理由．
19. 在公园绿化改造项目中，王师傅想直接从根部把树放倒，他担心这样会损坏距离这棵树处的花园，通过测量发现，，，．请通过计算说明王师傅的担心是否有必要（结果精确到0.01）．（参考数据：，，，，，，）
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）连接，，求的面积．
21. 如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
22. 某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？
23. 在中，延长到，使，是上方一点，且，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，，如果，求的长；
（3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
（1）求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
（2）是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2025年秋九年级数学学业质量测试题
（本试题卷共8页，满分120分，考试时间120分钟）
祝考试顺利
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．
3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的定义．
将已知根代入方程即可求出m的值．
【详解】解：∵是方程的根，
∴将代入方程得：，
即，
∴，
解得．
故选：A．
2. 农历乙巳蛇年快到了，乐乐准备到集市上买一些漂亮的窗花，请你帮她挑选出既是中心对称图形，又是轴对称图形的窗花（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
据此即可求解．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
4. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
根据各类函数的增减性规律判断即可．
【详解】解：∵在中，，
∴当时，随的增大而减小，故A错误；
∵在中，，图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故B正确；
∵在中，，
∴随的增大而减小，故C错误；
∵在中，，图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故D错误；
故选：B．
5. 方程根的情况是（ ）
A. 两实根的和为B. 两实根的积为3
C. 有两个不相等正实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根判别式的意义；
利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可．
【详解】解：在方程中，，，．
，
∴方程没有实数根．
故选：D．
6. 点P在半径为的内，的长度不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．
根据点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径判断即可．
【详解】解：∵点P在半径为的内，
∴的长度小于，
∵，其余选项的长度均小于，
∴的长度不可能是．
故选C．
7. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 点（－2，1）在它的图象上B. 它的图象在第一、三象限
C. 它的图象经过原点D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小
【详解】A. 把点（-2，1）代入反比例函数得1≠-1不成立，故选项错误；
B. ∵k=2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项正确；
C. 不能经过原点，故选项错误；
D. 当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项错误．
故选：B
本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
8. 如图，已知，，则的长为（ ）
A. B. 6C. 5D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据，得，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
解得
故选：B
9. 在下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为（ ）

A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】作边上的高，根据算出，由即可求解．
【详解】解：由图可知：,
作边上的高，如图：

则
∴
故选：B
本题考查求解一个角的正弦值．将所求角度放在直角三角形中是解题关键．
10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若点，为函数图象上的两点，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与轴的交点情况判断A，根据对称轴，增减性判断B，D，根据抛物线上点的坐标特点判断C．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点，
，即，选项A不正确；
抛物线的对称轴是直线，
∴，
，选项B不正确；
点，对称轴为直线，
抛物线的对称轴是直线，
∴，
∵
∴，选项C不正确；
关于直线的对称点坐标为，
当时，随的增大而减小，，
，选项D正确；
故选：D．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 一元二次方程所有实数根的积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的两根之积为，直接利用该关系计算方程所有实数根的积即可．
【详解】解：∵在一元二次方程中，，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴所有实数根的积是．
故答案为．
12. 已知一个反比例函数的图象分布在第二、四象限，请任写一个符合该条件的反比例函数________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据反比例函数的图象所在象限确定反比例函数解析式，解题关键掌握根据反比例函数的图象所在象限确定反比例函数解析式．
先根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，确定比例系数的符号，再写出反比例函数解析式．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∴，
∴答案不唯一，如：，
故答案为：．
13. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“成功”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“成功”字样的结果数有2种结果，
所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“成功”字样的概率为：，
故答案为：．
14. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程、圆的面积公式，由题图易得，圆的直径为，则半径则为，圆的面积为，再根据题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：由题图易得，圆的直径为，则半径则为，圆的面积为，
可得方程，
故答案为：．
15. 如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是________；②________．
【答案】 ①. ##120度 ②.
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形．
过点E作交的延长线于，由三角形的内角和定理可得，，由，可解，从而求出及，最后在中运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点E作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴在中，有，，
，
∴，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：，．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据公式法求解即可；
（2）根据因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：对于方程
，，
解得：
【小问2详解】
解：
因式分解得
∴或
解得：，
17. 如图，在梯形中，，，E是延长线上的点，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和相似三角形的判定即可求出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，，，
∴．
由（1）知，，
∴，即，
∴．
本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和与判定，本题属于基础题型．
18. 在两个不透明的袋中均装有3个完全相同的乒乓球，袋1中三个球上面分别标号为2、4、6，袋2中三个球上面分别标号为1、3、5．
（1）从两个袋中分别取出一个球，则两球上数字和为7的概率为______；
（2）小明和小华做游戏，规则是：小明从袋1中取出一个球，记下数字并将该球放入袋2中，搅拌均匀后，小华从袋2中取出一个球，并记下数字，若小明记下的数字大则他获胜，否则小华获胜．你认为该游戏公平吗？并说明理由．
【答案】（1）
（2）公平，见解析
【解析】
【分析】（1）利用列表法，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两球上数字和的情况，再根据概率公式求解；
（2）利用树状图法分别求得小明与小华获胜的概率，比较概率的大小，即可得出结论．
【小问1详解】
解：由题意可得：
共9种等可能结果，其中两球上数字和为7有3种，
∴两球上数字和为7的概率为，
故答案为：
【小问2详解】
解：由题意可得：

共12种等可能结果，其中小明能够获胜的情况有6种，小华能够获胜的情况有6种，
∴小明和小华的获胜概率均为，
∴此游戏公平．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
19. 在公园绿化改造项目中，王师傅想直接从根部把树放倒，他担心这样会损坏距离这棵树处的花园，通过测量发现，，，．请通过计算说明王师傅的担心是否有必要（结果精确到0.01）．（参考数据：，，，，，，）
【答案】王师傅的担心没有必要，说明见解析
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形在实际生活中的应用．
根据特殊角的三角函数值求出长，再利用的正切值可得树高，与12进行比较，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴王师傅的担心没有必要．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：设直线与轴交于点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的面积．
21. 如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，弧长公式．
（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而得结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得，由圆周角定理得到，根据弧长公式计算即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
∴，
∴
，
∴，
∴．
22. 某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？
【答案】（1）（且为整数）
（2）每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元
（3）不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用；
（1）根据销售利润单件利润销量即可列出函数关系式，再根据每件售价不能高于20元得到x的取值；
（2）将二次函数的解析式转化为顶点式，即可解答；
（3）令，得到一元二次方程，解方程，即可解答，
【小问1详解】
解：根据题意可得单件利润为元，销量为件，
可得函数关系式，
每件售价不能高于20元，
，即且为整数，
与的函数关系式为（且为整数）；
【小问2详解】
解：，
因为，
所以当时，y有最大值640，此时售价为元，
答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元；
【小问3详解】
解：当时，可得，
解得，
∵且为整数，
∴均不符合自变量的取值范围，
∴不存在符合条件的售价，
答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元．
23. 在中，延长到，使，是上方一点，且，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，，如果，求的长；
（3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据“一线三等角”模型论证，进而得出结论；
（2）根据中，结合，得出的长，进而利用勾股定理得到的值，则等边三角形中可求；
（3）根据，可得，进而得出，
设，则，利用相似所得的比例线段得到，即可求出的值．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∵，
∴即：，，
∴，
∴；
【小问3详解】
答：，
理由如下：
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
由翻折可知：，
∴，，
∴，
∴，
设，则
∴解得：
∴.
本题考查了全等三角形的性质及判定、翻折、等边三角形的性质及判定、勾股定理、相似三角形的性质及判定，关键是全等三角形的论证．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
（1）求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
（2）是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，，直线解析式为
（2）
（3）存在，或或或．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可；
（3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴当时，，当时，，解得：，
∴，
∵直线经过点A，B
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
∵点P的横坐标为，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵P是第二象限内抛物线上的一个动点，
∴；
∴；
【小问3详解】
存在，设点，
∵，
∴，
∵，
∴；
①当点为直角顶点时：，解得：，
∴；
②当点为直角顶点时，，解得：，
∴；
③当点为直角顶点时：，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
2
4
6
1
2+1=3
4+1=5
6+1=7
3
2+3=5
4+3=7
6+3=9
5
2+5=7
4+5=9
6+5=11