湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共32页。
祝考试顺利
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．
3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 二次函数最小值是（ ）
A. B. 3C. D. 4
4. 下列成语所描述的事件属于必然事件的是（ ）
A. 画饼充饥B. 缘木求鱼C. 水滴石穿D. 水中捞月
5. 若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 4
6. 如图，中，弦，的半径长为，则圆心O到的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作轴于点B，连接，则的面积为（ ）
A B. 10C. D. 5
8. 如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，是的直径，P是延长线上的一点，切于点C，，，则的半径等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
10. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为______．
12. 已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______．
13. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为______．
14. 我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？
答：阔为______步；长为______步．
15. 如图，在中，于H，点O中点，连接，则______．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．
17. 如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：．
18. 有两张长，宽的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）．
（2）若图1中裁去的小正方形边长为，则做成的纸盒的底面积是______．
（3）若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？
19. 如图，为直径，点D在上，．
（1）尺规作图：作出弧的中点C（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，交与点E，求扇形的面积．
20. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像；
（2）根据函数图像，直接写出不等式的解集；
21. 如图，是的直径，与相交于点B，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求弧的长度．
22. 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标．
（3）如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标．
宜城市2024-2025学年度上学期期末学业质量测试题
九年级数学
（本试题卷共8页，满分120分，考试时间120分钟）
祝考试顺利
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．
3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：方程整理得：，
解得：．
故选：B．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形、轴对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；
D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
3. 二次函数最小值是（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：二次函数中，，
当时，二次函数有最小值，最小值为，
故选：A．
4. 下列成语所描述的事件属于必然事件的是（ ）
A. 画饼充饥B. 缘木求鱼C. 水滴石穿D. 水中捞月
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断．
【详解】解：A、画饼充饥，是不可能事件，故A不符合题意；
B、缘木求鱼，是不可能事件，故D不符合题意；
C、水滴石穿，是必然事件，故C符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，故B不符合题意；
故选：C．
5. 若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
6. 如图，中，弦，的半径长为，则圆心O到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．过点作交于点，连接．根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，过点作交于点，连接．
，，
，
在中利用勾股定理，得，
圆心到距离为．
故选：A．
7. 如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作轴于点B，连接，则的面积为（ ）
A. B. 10C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题的关键．直接根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
【详解】解：点为反比例函数的图象上一点，过作轴于点，
．
故选：D．
8. 如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可证明，再利用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出对应边的比值．
【详解】解：∵
∴
∴根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可知对应边的比为．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，主要有①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
9. 如图，是的直径，P是延长线上的一点，切于点C，，，则的半径等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质．证明，得，所以，可将的长求出，进而可得的半径．
【详解】解：如图，连接，，，
切于点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
即，
解得，
，
故的半径为2．
故选：A．
10. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果．
【详解】解：根据函数图象可得：开口向上，，对称轴为，
，
，③正确；
函数图象与轴的交点在轴负半轴，
，
∴，①错误；
根据图象可得，函数图象与轴有两个交点，
∴对应方程有两个根，
∴，即，②正确；
当时，，
，
，
即，④正确；
综上可得：②③④正确，
故选：C．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵方程的两根为，，
∴．
故答案为：．
12. 已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大是解决问题的关键．先根据反比例函数的性质判断出的符号，再写出符合条件的函数关系式即可．
【详解】解：反比例函数，当时随的增大而增大，
的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）
13. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．根据题意列举随机闭合两个开关的所有情况，以及能使小灯泡发光的情况，从而完成求解．
【详解】解：由题意得，随机闭合两个开关有 、 、 、 、 、 六种情况，其中能使小灯泡发光的有 、 ，即2种，
∴小灯泡发光的概率为；
故答案为：．
14. 我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？
答：阔为______步；长为______步．
【答案】 ①. 24 ②. 36
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设阔为步，则长为步，根据直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【详解】解：设阔为步，则长为步，
根据题意得：，
整理得：，
解得：(不符合题意，舍去)，
，
阔为24步，长为36步．
故答案为：24，36
15. 如图，在中，于H，点O是中点，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】在上截取，连接，在中，由勾股定理求出，证明和相似，利用相似三角形的性质得，，则，，证明和全等得，，由此得，则是等腰直角三角形，然后再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
在中，，，点是中点，
，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的难点．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．
【答案】；-4
【解析】
【分析】把 代入方程计算求出 的值， 进而求出另一根即可；
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有一个根是 ，
解得： ，
把 代入方程得： ，
设另一根为 ，可得 ，
解得：，
则 的值为 3 ，方程另一根为 -4；
【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键
17. 如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键，由旋转的性质可得，由正方形的性质得到，从而推出，再利用，即可证得．
【详解】解：∵绕点D顺时针旋转至位置，
∵四边形为正方形，
，
，
即．
在与中，
，
．
18. 有两张长，宽的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）．
（2）若图1中裁去的小正方形边长为，则做成的纸盒的底面积是______．
（3）若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？
【答案】（1）图2 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、长方体的平面展开图等知识，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）根据长方体的平面展开图特点即可得；
（2）先求出底面长方形的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可得；
（3）设剪去的小正方形的边长为，根据按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为建立方程，解方程即可得．
【小问1详解】
解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2，
故答案为：图2．
【小问2详解】
解：∵图1中裁去的小正方形边长为，
∴底面长方形的长为，宽为，
∴做成的纸盒的底面积是，
故答案为：．
【小问3详解】
解：设剪去的小正方形的边长为，
由题意得：，
解得：或，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
答：剪去小正方形的边长为．
19. 如图，为的直径，点D在上，．
（1）尺规作图：作出弧的中点C（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，交与点E，求扇形的面积．
【答案】（1）见解答 （2）
【解析】
【分析】（1）作的垂直平分线，利用垂径定理解答即可；
（2）先根据垂径定理可得，则，最后由扇形的面积公式即可解答．
【小问1详解】
解：如图1所示：点即为所求；
【小问2详解】
解：如图2，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
扇形的面积．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，直角三角形的性质，基本作图-线段垂直平分线等知识，掌握垂径定理是解题的关键．
20. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像；
（2）根据函数图像，直接写出不等式的解集；
【答案】（1），，见解析
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象直接写出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，
，解得，．
一次函数的表达式为：，
反比例函数的表达式为：．
图象如图：
【小问2详解】
解：把代入，得，
，
根据函数图象不等式的解集为：或．
21. 如图，是的直径，与相交于点B，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求弧的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）要证明是的切线，只需证明即可；
（2）利用含有角的直角三角形性质，可求出和的关系，的度数而，，根据其值，进而求出的半径长度，根据弧长公式即可求得答案．
小问1详解】
证明：是直径，
，即，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：设半径长度为，则，
是的切线，
，
，
，，
，
，，，
，
，
弧的长度．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理和切线的判定，弧长公式等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
22. 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【答案】（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
【解析】
【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．
（2）根据利润计算公式列式即可；
（3）进行配方求值即可．
【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得解得：
∴y=－2x+200（30≤x≤60）
（2）W=（x－30）（－2x+200）－450
=－2x2+260x－6450
=－2（x－65）2 +2000）
（3）W =－2（x－65）2 +2000
∵30≤x≤60
∴x=60时,w有最大值为1950元
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
考点：二次函数的应用．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【解析】
【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
【详解】解：当时，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
成立如图3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
．
由有，∽，
，
，
，
如图4图5图6，连接EF．
在中，，，
，
如图4，当E在线段AC上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，或舍
如图5，当E在AC延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍，
③如图6，当E在CA延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或（舍），
综上：或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标．
（3）如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）最大值为，
【解析】
【分析】利用待定系数法求解即可；
作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令即可求得点G；
结合题意可得是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设与交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P．
【小问1详解】
解：根据题得，，解得，
则抛物线的解析式为；
【小问2详解】
作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图：
则，
∵抛物线的解析式为，
∴，
∵，
设直线解析式为，则，解得
则的解析式为，
当时，，解得，
∴；
【小问3详解】
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
，解得，
则直线的解析式为，
设与交于点C，如图，
∵轴于点N，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴
∵，
∴当时，的最大值为，此时．
【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义．