湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 两根互为相反数
【答案】B
【解析】解：一元二次方程，
，，，
，
则一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
两根不是相反数；
故选：B．
3. 如图，紫荆花绕它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意得：正五边形的边所对的圆心角为，
∴该紫荆花绕它的旋转中心进行旋转时，只需满足旋转角度是的整数倍即可；
故选C．
4. 如图，AB是⊙O的直径，∠C＝30°，则∠BAD＝（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴．
∵∠C＝30°，
∴，
∴．
故选：D．
5. 若是方程的一个根，则的值为（ ）
A. 2024B. C. D. 1015
【答案】A
【解析】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
则，
故选：A．
6. 用配方法解方程时，配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】移项，得，
两边加上，得，
即．
故选：B．
7. 函数和函数（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴在y轴右侧，故选项错误；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴在y轴右侧，故选项正确；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的象应该开口向上，故选项错误．
故选：．
8. 小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为，
建立如下图所示平面直角坐标系，
，
点的横坐标为，
把x=6代入，
可得：，
顶点坐标为，，
点到轴的距离为，
杯子的高度为．
故选：A．
9. 如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】D
【解析】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，
由题意得
，
解得：或，
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
当时，平行于墙的一边的长为，符合题意；
∴该矩形场地长为，
故选：D．
10. 如图，开口向上的抛物线（）与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④当时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（ ）
A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ①②④
【答案】B
【解析】解：∵开口向上的抛物线（）与x轴交于点，其对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为
∴当时，
∴，故①错误；
∵对称轴为直线
∴，即，故②正确；
∵对称轴为直线，开口向上
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∵对称轴为直线，开口向上，
∴当时，抛物线是最小值
∴当时，直线与抛物线有两个交点
∴当时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，其中正确的结论是②③④．
故选：B．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12. 抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后的图象解析式为______．
【答案】
【解析】解：抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
平移后图象的解析式为，
整理可得：
故答案为： ．
13. 如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为_____．
【答案】10
【解析】解：连接，
为的直径，弦于，
，
设的半径为，则，
，即
解得，
故答案为10
14. 已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为______．
【答案】10.5或10
【解析】等腰三角形的三边为a，b，c，
当以a为底边时，，
∴关于x的方程有两个相等实数根，
∴，
即，
解得或，
当时，，解得，
则三角形的周长为；
当时，，解得，不符合题意，舍去．
当以a为腰时，或，
将代入原方程，得，
解得，
∴方程为，
解得，
所以这个三角形的周长是．
故答案为：10或10.5．
15. 如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为______．
【答案】
【解析】解：连接，
，
，
，
，
要使取得最小值，即需取最小值，
连接，交于点，此时取得最小值，
过点作轴于点，
则，
，
，
，
，

故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解方程：
（1）；
（2）.
解：（1），，，
，
，
，；
（2）因式分解，得，
或，
，．
17. 已知二次函数．
（1）写出该函数图象的开口方向；
（2）求出该函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x满足什么条件时，y随x增大而减小？
解：（1），
∴抛物线开口向下；
（2），
，，
∴函数图象的对称轴是，顶点坐标是；
（3）∵开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求.
19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
解：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
m的取值范围是；
（2）由根与系数的关系得，
，，
，
解得：，
，
．
20. 如图，已知抛物线和直线相交于点和．
（1）求m和n的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）结合图象直接写出满足的x的取值范围．
解：（1）把和代入得，，，
，；
（2）把和代入得，
，
解得，
抛物线的解析式；
（3）由图可知的图象是在点的左侧和点右侧部分的图象，
∵和，
∴x的取值范围是或．
21. 如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F．
（1）如图①，若，求证：；
（2）如图②，若，，求的半径．
解：（1）证明：如图①，连接，，
，
，
，
∵点D为的中点，
，
，
，
；
（2）解：如图②，连接，
，为的直径，
，，，
，
，
，
，
，
设的半径为r，则，
在中，，
，
解得，
的半径为．
22. 我市某镇是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2022年的产量是5000千克，2024年的产量达到7200千克．
（1）若平均每年蓝莓产量的增长率相同，求该蓝莓基地产量平均每年的增长率是多少？
（2）已知该蓝莓的种植成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为50元/千克时，每天可销售400千克，为扩大市场占有率，在保证盈利的情况下，基地采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．设批发价每千克降m元时，基地每天的利润为w元，当降价多少元时，蓝莓基地每天的利润最大，最大利润为多少元？
解：（1）设该蓝莓基地产量平均每年的增长率为x，根据题意得，
，
解得：，（舍）；
答：该蓝莓基地产量平均每年的增长率为．
（2）根据题意得，，
，
∴当时，w最大为9800，
答：当降价6元时，蓝莓基地每天的利润最大，最大利润为9800元．
23. 【问题情景】综合与实践课上，陈老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
实践操作】陈老师让同学们先画出两个等腰直角和，，将绕点O旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”同学们连接，，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论；
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们认为，当点N恰好在边上时，若，，就可以求出的长，请你写出求解过程；
【类比探究】
（3）“智慧组”的同学们认为，当点A，M，N在同一条直线上时，，，之间一定存在某种数量关系，若，，请你探究后直接写出的长．
解：（1），，理由如下：
和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，；
（2）如图②，连接，
，
，即，
和是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（3）①如下左图，当点N在线段上时，连接，过点O作于H，
，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，是等腰直角三角形，
，
在中，，
；
②如下右图，当点M在线段上时，连接，过点O作于H，
同理可得，，
，
综上所述：的长为或．
24. 如图①，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点A-2,0和点C，与x轴的另一交点为B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；
（3）如图②，点是线段上的一个动点，过点M作y轴的平行线交直线于点D，交抛物线于点E，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积S随着m的增大而增大时，求m的取值范围．
解：（1）抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
A-2,0为抛物线与x轴的一个交点，
点B的横坐标为，
点B的坐标为；
（2）设抛物线的解析式为，
把A-2,0代入得，，
解得，
抛物线解析式为，
联立和，
解方程组得，，
∴点C的坐标为；
（3）∵点，
，，
①当点D在点C左侧时，，
，
，
，
∴当时，S最大，
∴当时，S随m的增大而增大；
②当点D在点C右侧时，，
，
，
，
∴当时，S最小，
∴当时，S随m的增大而增大；
综上可得，当或时，S随m的增大而增大．