人教B版 (2019)选择性必修 第一册直线与圆的位置关系教学设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册直线与圆的位置关系教学设计，共25页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
一、本节内容分析
圆是最常见、最简单、最重要的曲线之一,这节教材安排在学习了直线之后,学习三大圆锥曲线之前,旨在熟悉曲线和方程的理论为后续学习作好准备.同时有关圆的问题,特别是直线与圆的位置关系问题,也是解析几何中的基本问题,这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习,使学生确实掌握这单元的知识和方法.在学习中使学生进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力,是进一步学习圆锥曲线的基础,对于后续知识的学习具有相当重要的意义.另外,本部分的学习是通过由特殊到一般逐步展开的,可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及灵活处理问题的能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
二、学情整体分析
圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,本节之前又学习了建立平面直角坐标系求直线方程的方法,这些都为本节课的学习奠定了必要的基础.
高一时,学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解,具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力.通过五种直线方程的学习,对坐标系下建立方程进行了反复训练,这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备.
当然,由于学生对坐标法以及圆的标准方程认识还不深刻,在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难,在教学中一定要关注学生反馈的信息,循序渐进地开展教学.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.圆的标准方程
2.圆的一般方程
3.直线与圆的位置关系
4.圆与圆的位置关系
【教学目标设计】
1.运用待定系数法求圆的方程.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
3.在探索圆和圆的位置关系的过程中,学会运用数形结合的思想解决问题.
【教学策略设计】
新课程下的教学,力求知识的形成过程,为克服课堂时间不足,需要学生做好课前预习,在教师的引导下,学生已经具备一定探究与研究问题的能力.所以在设计问题时应考虑周全和灵活性,师生共同探讨,共同研究,让学生积极思考,主动学习.在教学过程中采用讨论法,向学生提供具备启发式和思考性的问题.因此,要求学生在课上讨论,提高学生的探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,力求体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,讨论法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.能运用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程.
2.直线与圆的位置关系的代数判别法和几何判别法
3.探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系.
难点
1.会根据不同的已知条件求圆的标准方程和圆的一般方程
2.用待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.
3.用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题
4.通过平移实验直观地探究圆和圆的位置关系,发展识图能力和动手操作能力.
【教学材料准备】
1.常规材料:圆规、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在日常生活中,可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象,如图(1)(2)所示
【情境设置】
探究直线与圆的位置关系
我们已经知道,在平面直角坐标系中,直线与圆都可以用方程来表示,一个点是否在直线上或圆上,只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可.那么,能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢?
师:本节课我们将学习直线和圆的位置关系.
【设计意图】
通过生活中常见的现象,让学生从情境中抽象出数学问题,感悟数学与生活的关联,让学生的思维由生活走进数学,再由数学走进生活.既要让学生在丰富的、现实的、与学生经验紧密联系的背景中建立数学理论,又要引导学生获得数学理论后能及时返回运用到生活中.
教学精讲
探究1 直线与圆的位置关系
师:同学们也许看过海上日出,如果我们把太阳看作一个圆,海平面看成一条直线,那么太阳在升起的过程中,它和海平面有几种位置关系?
【学生动手探究,回答问题】
生:三种位置关系.
它们分别是直线与圆相交、相切、相离.
师:当直线与圆只有一个公共点时,这条直线称为圆的切线,称公共点为切点.
当直线与圆有两个公共点时,称直线和圆相交,且称直线为圆的割线.
当直线与圆没有公共点时,称直线和圆相离.
师:能否根据点和圆的位置关系、点到圆心的距离d和半径r作比较,类似地推导出直线和圆的三种位置关系呢?
【以学定教】
通过具体的情境,帮助学生回顾初中几何中学习过的直线与圆的位置关系,同时提出运用方程思想解决问题的方法.
生:我们分别作出圆心到直线的距离d.
生:如图(1),圆心C到直线1的距离为d,圆的半径为r,当直线与圆相交时,dr.因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系.
师:由此可知,判断直线与圆的位置关系有两种方法.一种是用直线与圆的公共点的个数来断定:一种是用d与r的大小关系来断定.
【观察记忆能力】
学生动手实践画出直线与圆的位置,通过直观想象,观察直线与圆的位置关系,提升观察记忆能力.
【典型例题】
判断直线与圆的位置关系
例1 判断直线l:y=−x+5与圆x2+y2=12的位置关系,并说明理由.
【学生思考讨论后发现可以用以下3种方法来探究】
生解:(方法一)通过画图,大致判断直线与圆相切,如图所示.
(方法二)通过解方程组,得出结论.
因为从方程组中消去y可得x2+(−x+5)2=12,即2x2−10x+13=0,①
又因为(−10)2−4×2×13=−4r,直线与圆相离.
【活动学习】
学生经过动手操作,通过几何直观画图和代数计算,对比分析几何法的直观与代数法的精确,两者相辅相成,几何法也需要代数计算的支撑,很好地锻炼了学生的空间观念和形象思维能力.
师:通过以上三种不同方法可以看出,方法一很直观,但有时候不够准确,方法二与方法三都是通过计算进行判断,但是不难发现,方法二是纯粹的代数计算,通过公共点的个数得出结论,这里当然很准确,但似乎计算过程稍长,又少了一点点直观:方法三先计算圆心到直线的距离,通过与圆的半径比较得出结论,这里有计算,但量不大,有代数计算又有几何特征的应用,体现出来代数与几何的相辅相成,既准确又简练,显示出了数形结合的优越性.
师:那么,这两种方法之间又有什么关系呢?用这两种方法得出的结论会不会不一样呢?下面让我们来探究一下它们之间的关系.
师:给定平面中的一条直线l与⊙C,以⊙C的圆心为原点,以不垂直于直线l的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设直线l的方程为y=kx+b,⊙C的方程为x2+y2=r2.
从方程组中消去y可得x2+(x+b)2=r2,即
(1+k2)x2+2kbx+b2−r2=0,②
因为方程②的判别式
∆=(2kb)2−4(1+k2)(b2−r2)=4k2b2−4b2+4r2−4k2b2+4k2r2=4[(1+k2)r2−b2],
所以,
注意到表示的正好是圆心(0,0)到直线y=kx+b的距离,而∆>0说明方程②有两个不同的实数解,此时说明原方程组也有两组不同的实数解,因此当且仅当圆的半径大于圆心到直线的距离时,直线与圆相交.
师:类似地,可以得到直线与圆相切和相离的充要条件.
因此,这两种方法本质上是一致的,它们之间是相辅相成的.
【先学后教】
通过学生活动,用不同的方法解决统一问题,通过对比发现优越性,促进对不同方法的理解.
【深度学习】
通过对直线与圆的位置关系的探究和推导,理解代数法和几何法判断直线与圆的位置关系的基本方法,让学生进一步体会方程与曲线的关系,发展学生数学运算、数学抽象等核心素养.
【归纳总结】
直线与圆的位置关系
直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)
设圆心C(a,b)到直线的距离是d,,则有:
师:下面我们根据所学知识解决问题.
【概括理解能力】
通过上述活动与探究,归纳总结出判断直线与圆的位置关系的两种方法,提升概括理解能力.
【典型例题】
直线与圆的位置关系的应用
例2 已知直线y=x+b,圆x2+y2=2,分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围.
【教师要求学生从两个方面来考虑解决问题】
生解:(方法一)联立直线的方程与圆的方程,得方程组,
从方程组中消去y,整理得2x2+2bx+b2−2=0,③
这个方程的判别式∆=(2b)2−4×2(b2−2)=−4(b+2)(b−2).
当且仅当−2